Notes sur la théorie moderne des portefeuilles - 2° partie, Notes de Management
Sylvestre_Or
Sylvestre_Or13 January 2014

Notes sur la théorie moderne des portefeuilles - 2° partie, Notes de Management

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Notes de gestion sur la théorie des files d'attente - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le taux de rendement actuariel d'une obligation, bons de sousbscription, contats à terme, les options.
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Le taux de rendement actuariel d'une obligation est donc le taux x qui annule la différence

entre la valeur du prix d'émission E et la valeur actuelle des flux futurs qu'elle génère. Ce taux

est calculé au jour du règlement et figure obligatoirement dans les brochures d'émission. Pour

l'acheteur de l'obligation, le taux actuariel représente le taux de rentabilité qu'il obtiendrait en

gardant l'obligation jusqu'à son remboursement et en réinvestissant les intérêts au même taux

actuariel.

Voyons quelques autres définitions utiles relatifs aux obligations :

Définitions:

D1. Le "coupon échu" (C.E.) d'une obligation est payé à son propriétaire sous déduction

de d'impôts anticipés. Ainsi, le calcul du coupon net annuel d'obligations à X.- (valeur

monétaire) à rendement de est trivialement donné par :

(25)

D2. "L'intérêt couru" (I.C.) est le montant de l'intérêt qui s'est accumulé depuis la dernière date

de paiement de l'intérêt, mais qui n'est pas encore dû. Il est gagné par une obligation depuis sa

dernière échéance et est déterminé lors d'une vente ou d'un inventaire. Son calcul est

trivialement donné par :

(26)

où est bien évidemment le nombre de jours compris entre la date de la dernière échéance

et la date de jouissance (l'année commerciale étant définie comme ayant 360 jours).

Remarque: Donc pour obtenir la valeur effective d'une obligation, nous ajoutons à sa valeur

cotée l'intérêt couru depuis la dernière échéance.

D3. Par extensions, si nous cherchons à calculer la valeur nette de X coupons à Y% dont la

valeur nominale vautZ avec un impôt anticipé de IA% , nous calculons le "coupon annuel net à

l'échéance" (C.P.A.E.) par la relation triviale :

(27)

Contrairement au calcul de l'intérêt couru , le calcul du dividende couru est impossible. Le

cours de l'action est toutefois influencé par la date plus ou moins proche du paiement du

dividende.

BONS DE SOUSCRIPTION

Définition: Un "bon de souscription", également appelé "option de souscription" ou "stock-

option", est un titre financier permettant (donc il n'y a pas obligation!) de souscrire pendant une

période donnée, dans une proportion et à un prix fixé à l'avance (souvent une moyenne des

cours de la bourse avant l'émission des bons), à un autre titre financier sous-jacente (action,

obligation, voire un autre bon...).

Le bon permet donc d'être intéressé à la hausse ou à la baisse d'une action sans avoir à y

consacrer le même montant de capitaux qu'en achetant directement des actions. Ainsi, lors de

l'acquisition, si le titre sous-jacent à une valeur plus élevée que sur le bon de souscription,

l'acquéreur fera un bénéfice qui est appelé "plus-value d'acquisition". Ensuite, l'acquéreur qui

possède maintenant les titres sous-jacents peut très bien vendre ceux-ci lorsque le prix est

plus élevé que lorsqu'il en a fait l'acquisition et cela engendre alors un (pseudo) second

bénéfice appelé "plus-value de cession".

Un bon de souscription peut être donc attaché à l'émission d'une action ou d'une obligation.

Alors, selon les cas, nous parlons "d'actions à bons de souscription d'actions" (ABSA) ou

"d'obligations à bons de souscription d'actions" (OBSA) mais également "d'obligations à bons de

souscription d'obligations" (OBSO) ou "d'actions à bons de souscription d'obligations" (ABSO).

Dès l'émission de ces valeurs composées, le tout se scinde en parties : les actions ou les

obligations redeviennent des titres classiques et les bons acquièrent une vie propre. Ils sont

cotés séparément après l'émission.

Les "plans de souscription", plus connus sous le nom de "plan de stock-options", sont des

paquets d'émission de bons de souscription (nominatifs) destinés aux employés méritant

méritant d'une entreprise et visent très souvent à renforcer l'association au développement

entre cette même entreprise et ses salariés. Ainsi, ces derniers lors de l'acquisition des titres

seront des actionnaires à part entière, recevant des dividendes et pouvant participer aux

assemblées des actionnaires. Ce qui est censé accroître la motivation de l'employé (...).

Par ailleurs, les stock-options (données par l'entreprise), sont des actifs financiers sans risques

puisqu'il n'y a aucune obligation des les appliquer et qu'ils ont été offerts... Précisons aussi que

bon nombre d'entreprises annulent les bons de souscription des employés qui les quittent...

Exemple:

Le bon de la société X permet de souscrire à une action de cette société au prix de 500.-

jusqu'au 30 avril 2004. Si l'action X dépasse le niveau de 525.-, le bon qui permet de se

procurer une action à un coût inférieur au cours de Bourse se révèle un placement gagnant. Si

l'action X vaut par exemple 1'000.- en avril 2004, le bon vaudra 475.- (1'000.- moins le prix

d'exercice de 525.-).

Remarque: Le développement de la liquidité sur les marchés d'actions et d'obligations a incité les

établissements financiers à émettre des bons de souscription permettant de faire l'acquisition de

titres financiers existants indépendamment des opérations financières de la société concernée.

Sauf exception, ceux-ci ne concernent que les investisseurs entre eux et ne permettent donc pas

le financement de l'entreprise. Ces bons (également cotés) sont fréquemment appelés "warrants"

ou, plus précisément "covered warrants" (warrants couverts) car, dès l'émission, l'établissement

financier se couvre en rachetant des titres sur le marché.

D'un point de vue conceptuel, un bon est assimilable à une option d'achat (Call) vendue par une

société sur des actions à émettre ou existantes (voir plus loin la définition détailée de ce qu'est

une option). Le prix d'exercice de cette option est le prix auquel le détenteur du bon peut

acheter le titre financier correspondant et l'échéance de l'option est celle du bon.

Cependant, l'évaluation d'un bon présente quelques particularités par rapport à une option :

- Un bon a généralement une durée de vie longue (2 à 4 ans) et rend difficilement acceptable

l'hypothèse de constance des taux d'intérêt utilisée par le modèle de Black & Scholes (voir la

démonstration de ce modèle plus loin).

- Toute opération de l'entreprise émettrice qui modifie la valeur du titre sous-jacent affecte la

valeur du bon. Effectivement, les entreprises ont le droit de réserve légal d'émettre un nouveau

contrat pour les bons de souscription et d'en changer la valeur et la période de temps de

validité!

- Si le titre sous-jacent est une une obligation, son prix évoluant dans le temps et sachant que

plus une obligation se rapproche de son échéance, plus sa valeur tend vers son prix de

remboursement. Sa volatilité se réduit progressivement ce qui rend inapplicable le modèle de

Black & Scholes qui postule la constance de la volatilité dans le temps!

Les opérateurs utilisent alors des modèles dérivés de Black & Scholes pour remédier à ces

lacunes et évaluer le prix des bons de souscription.

CONTRATS À TERME

Ce type de contrat est symétrique, c'est-à-dire que chaque contrepartie a autant de chance de

gagner ou de perdre de l'argent.

Définition: Un "contrat à terme" ou "forward" est un contrat d'achat ou de ventre d'un produit

financier, passé entre deux contreparties, dont toutes les caractéristiques sont fixées à l'avance

: date de réglement, prix à terme, etc. Le prix conclu est appelé "cours à terme" ou aussi...

"forward", et l'échange se fera à ce prix quelque soit le cours du marché à la date de livraison.

Deux types d'exécution peuvent se produire :

- Les "physical settlement" : le sous-jacent est effectivement échangé (ce qui est rare)

- Les "cash settlement" : si le cours du sous-jacent est en dessous du prix fixé, l'acheteur (du

contrat à terme) se fournit sur le marché et vers la différence au vendeur et inversement.

L'intérêt des contrats à terme pour les intervenants est de figer des cours dans le futur : il s'agit

dans ce cas d'une opération de couverture.

Exemple: Un industriel suisse sait qu'il doit recevoir en dollars une forte somme d'argent

dans six mois. Pour se couvrir contre une baisse du dollar, il achète un contrat à terme,

d'échéance 6 mois sur le dollar, en francs suisse. Notons que cette opération de couverture du

risque de change peut lui être défavorable si dans six mois, le contrat cête moins que le taux de

change.

OPTIONS

Les options sont des "actifs conditionnels" ("contingent claim"), c'est-à-dire une forme

particulière d'un titre (contrat), donnant à son détenteur contre le paiement d'une somme

d'argent le droit, et non l'obligation d'acheter ou de vendre une certaine quantité d'un actif

financier (action ou obligation), à ou jusqu'à une date (échéance ou maturité) et à un prix fixé

d'avance.

Il s'agit principalement d'un produit dérivé permettant de se couvrir des risques de variations

des marchés. Par exemple, si Airbus vend un avion en dollars masi produit dans la zeon euro.

Le prix de vent est fixé aujourd'hui, mais la vente est réalisée à la livraison! Airbus doit alors se

protéger contre le risque du taux de change (qui peut parfois être de 100% en quelques années

seulement). En général, les entreprises se protègent de ces risques en achetant auprès des

banques des produits dérivés comme des options.

Remarque: Nous reviendrons plus loin plus très en détail sur les options qui sont des produits

dérivés importants.

Définitions:

D1. Une "option" est un produit dérivé qui donne le droit, et non l'obligation, d'acheter ("option

d'achat", appelée aussi "Call") ou de vendre ("option de vente", appelée aussi "Put") une quantité

donnée d'un actif sous-jacent S(action, obligation, indice boursier, devise, matière première,

autre produit dérivé, etc.) à un prix fixé d'avance appelé "strike" K ou "prix d'exercice" E et

durant (jusqu'à) un certain temps appelé "échéance" ou "maturité" T en échange d'une "prime"

dépendante (C pour les Call ou P pour les Put) de la valeur intrinsèque à la maturité de l'option

appelée "flux" ou plus souvent "pay off terminal" (et par certains "cible stochastique").

D2. Nous parlons de "cours spot" ou plus simplement "spot" pour désigner le cours en vigueur

de l'actif sous-jacent S lors d'une transaction immédiate de l'option (Call ou Put). Si le sous-

jacent consiste en un taux de change de devises, nous parlons alors de "cours du cross" ou plus

simplement "cross".

D3. Nous parlons de "cours forward" ou plus simplement "forward" pour désigner le cours qui

sera en vigueur de l'actif sous-jacent S lors d'une transaction à maturité de l'option (Call ou

Put). Nous retombons alors sur la définition d'un contrat à terme tel que vu plus haut.

D3. Si la valeur intrinsèque d'une option est postive par rapport au spot, elle est dite "dans la

monnaie". Dans le cas de l'achat d'un Call, cela signifie que le prix d'exercice est inférieur au

cours spot. Il est donc possible dès lors d'acher moins cher que le cours du moment à la date

d'exécution de l'option (qui est une date comprise entre la date d'émission et de maturité de

l'option pour rappel).

D4. Si la valeur intrinsèque d'une option n'est pas avantageuse par rapport au spot, elle est dite

"en dehors de la monnaie". Dans ce cas, le prix d'exercice est supérieur au cours du spot pour

un Call par exemple. Il ne serait dès lors par judicieux d'exercer ce Call à la date d'échéance car

cela reviendrait à acheter plus cher que le cours spot à cette date!

D5. Si la valeur intrinsèque d'une option est égale au cours du spot à maturité, la valeur

intrisnèque est nulle et l'option est dite "à la monnaie".

Voici un tableau récapitulatif :

Call Put

Acheteur d'un Call

(long Call)

Vendeur d'un Call

(short Call)

Acheteur d'un Put

(long Put)

Vendeur d'un Put

(short Put)

A le droit, mais non

l'obligation, d'acheter

la valeur sous-jacente

au prix fixé d'avance

jusqu'à la date

d'échéance

A l'obligation de

vendre la valeur

sous-jacente au prix

fixé d'avance si le

Call est exercé

A le droit, mais non

l'obligation, de vendre

la valeur sous-jacente

au prix fixé d'avance

jusqu'à la date

d'échéance

A l'obligation

d'acheter la valeur

sous-jacente au prix

fixé d'avance si le Put

est exercé

Tableau: 1 - Différences entre Put et Call

Il y a donc une différence mathématique d'une énorme importance entre les options et les

actions/obligations. Effectivement, ces premières ayant une date d'exercice fixée, leur

dynamique de prix peut être statistiquement prédictible et ceci d'autant mieux lorsque nous

sommes proche de leur d'achat ou de leur date d'exercice (donc c'est une sorte de parabole que

les financiers appellent "smile de volatilité"...). Leur volatitlité est souvent maximale entre deux

et ceci n'est pas applicable pour les actions/obligations car on sait jamais au niveau stratégique

quand elles seront vendues ou respectivement achetées.

Remarques:

R1. L'utilité de l'existence des options peut être vue comme des actifs financiers permettant de

croître la volatilité (écart-type ou "loss/gain deviation") du marché et ainsi son équilibre.

R2. Pour des raisons évidentes, le détenteur ou acheteur d'un contrat d'option est dit être en

position longue alors que sa contrepartie, l'emetteur ou vendeur du contrat, est en position courte.

R3. Si l'option peut être exercée à n'importe quel instant précédant l'échéance, nous parlons

"d'option américaine", si l'option ne peut être exercée qu'à l'échéance, nous parlons "d'option

européenne". Une option non exercée est considérée comme "abandonnée" (perdue).

R4. Parallèlement aux options classiques, apparaissent depuis les années 1990, sur les marchés

des options dites "options exotiques" caractérisées par le nom du lieu où elles ont été créées et la

manière de calculer leur prix d'exercice à l'échéance.

Formalisons un peu plus les choses quand même... mais sans aller trop dans les détails (nous

nous les gardons pour l'étude du modèle de Black & Scholes plus loin qui consiste à déterminer

le montant de la prime). Considérons pour simplifier que des options portant sur un seul sous-

jacent ne versant pas de dividendes.

Nous noterons le prix (cours/taux de change) de l'actif sous-jacent de l'option au temps t et

de maturité Tet ferons abstraction des différents Puts et Calls continentaux (américains et

européens).

Imaginons donc un Call, qui donne à son détenteur le droit (mais non l'obligation) d'acheter

l'actif sous-jacent à tout moment entre aujourd'hui et au prix d'exercice K fixé à

l'avance. Prenons le cas pratique courant d'une option d'achat (Call) qui protège une entreprise

par exemple contre la hausse du taux de change euro/dollar. Acquise aujourd'hui par

l'entreprise, elle va lui conférer donc le droit (mais pas l'obligation) d'acheter 1 dollar en

échange de K euros (le prix d'exercice ou strike K est une caractéristique fixe du contrat) à la

date future T fixée (date de maturité).

Si le taux de change en question vaut à la tate t (i.e. 1 dollar = euros), cette assurance

revient du point de vue de l'entreprise à percevoir un montant (pay off):

(28)

euros à la maturité T et noté traditionnelement. A tout temps, deux cas se produisent dès lors

pour notre acheteur du Call :

1. : dans ce cas, le Call donne le droit d'acheter au prix K le sous-jacent que nous

pourrions acheter moins cher sur le marché. Ce droit n'a donc aucun intérêt si nous ne somme

pas à l'échéance, et nous ne l'exerçons donc pas. Cependant, si nous sommes à l'échéance il

faut voir... il y a une part de risque quand à l'évolution ultérieure de . Dans le cas de notre

Call pour le change dollar/euro nous aurons donc plutôt intérêt à faire le change au taux du

marché plutôt que d'exercer notre Call puisque sinon nous aurons moins d'euros pour un

même dollar. Mais nous perdrons la somme déboursée (la prime) d'achat des Call.

2. : le Call permet d'acheter le sous-jacent moins cher que sur le marché. Nous

exercerons donc très probablement le droit (le profit étant la différence entre ses deux prix).

Dans le cas de notre Call pour le change dollar/euro nous exercerons notre droit au taux plus

avantageux garanti par le contrat d'option (1 dollar = Keuros) avec un gain noté

traditionnellement .

Du point de vue de la contrepartie (vendeur du Call), dans le cas (1) elle ne verse rien à

l'acheteur, et tout est oublié (le contrat expire; tout lien contractuel entre les deux parties

disparaît). Dans le cas (2), le vendeur est assigné, il doit vendre à sa contrepartie l'action aux

prix K. S'il ne détient pas cette action, il doit d'abord l'acheter sur le marché plus cher (au

prix ). Dans les deux cas le contrepartie a encaissée par contre la prime par unité de

Call.

Ainsi, dans le premier cas, l'acheteur et le vendeur ne reçoivent ni ne doivent rien. Dans le

deuxième cas, tout se passe comme si l'acheteur de Call achetait l'action sur le marché et

recevait au même moment la somme (pour le vendeur c'est bien évidemment l'inverse).

Donc avec ces produits dérivés c'est le vendeur du Call (ou du Put) qui endosse presque tout le

risque du marché et évidemment l'intérêt est grand de neutraliser ce risque en utilisant un

formalisme mathématique (le modèle de Black & Scholes).

Voyons un exemple maintenant du point de vue de l'investissement (la prise de risque est

flagrante dans cet exemple) :

Exemple:

Imaginons le cas d'une action valant actuellement 1000.- (peu importe la devise) et qu'elle soit

supposée augmenter de 12% en une année.

Imaginons aussi qu'un investisseur à l'alternative d'acheter l'action à 1000.- ou d'acheter

l'option Call à un prix d'exercice de 1000.- (donc supposé égal au prix de l'action, ce qui n'est

pas nécessairement toujours le cas) pour une prime de 40.- (nous verrons plus tard comment

calculer les primes). Evidemment, l'investisseur peut alors pour 1000.- acheter 25 options Call

plutôt qu'une seule action.

La question est de trouver l'investissement le plus intéressant : Ainsi, une augmentation de

120.- dans le cas de l'achat d'une action représente un retour sur investissement de 12% par

année, alors que l'achat d'une option Call aura un retour sur investissement de 80.- (120.- de

gains sur le prix de vente moins 40.- de la prime payée) soit de 200%.

Il apparaît clairement dans cet exemple que la rentabilité d'achat d'un Call à même

investissement est nettement supérieure à l'achat de l'action tant que la prime d'option ne

dépasse un certain seuil.

Maintenant abordons de manière détaillée et par l'exemple un autre concept que nous avons

déjà implicitement présenté dans les paragraphes précédents et qui nécessite toute notre

attention car il en est souvent fait mention par les analystes. Il s'agit de "l'effet de levier" des

options.

Lorsque nous évoquons les options, nous ne retenons souvent que le droit d'acheter ou de

vendre un bien ou un instrument financier (à un prix fixé d'avance et durant un certain temps),

en négligeant l'obligation correspondante du vendeur de l'option. Or, l'effet de levier qui

caractérise ces instruments financiers peut rendre cette obligation dévastatrice pour le vendeur.

Pour voir de quoi il s'agit commençons par le risque des Call.

Exemple:

L'acheteur d'un Call sur une action (par exemple) limite son risque à la prime de l'option pour

un gain potentiel illimité. Le vendeur du Call se trouve dans la position exactement inverse: il

encaisse la prime de l'option, mais prend un risque illimité.

Prenons une action X cotée 350.- à la mi-octobre. Un investisseur parie sur la hausse du titre et

achète 12.50.- (la "prime") une option Call à échéance janvier de l'année suivant aux prix

d'exercice de 380.-. Une présentation graphique permet de mettre aisément en relation

l'évolution du titre (en abscisse) et son effet sur l'acheteur ou vendeur du Call.

Considérons le cas de l'acheteur du Call :

Tant que le cours de l'action reste en dessous de 380.- ("valeur de levier"), prix d'exercice,

l'acheteur du Call n'aura aucun intérêt à exercer sont option, qui est dite "out of the money".

Par contre, si le cours de l'action progresse et dépasse le prix d'exercice, l'option est dite alors

"in the money" et il devient intéressant d'exercer l'option. Lorsque le prix d'exercice de l'option

est égale au prix du sous-jacent en bourse, nous disons que l'option est "at the money". Dès

que le cours de l'action dépasse 392.50, soit l'addition du prix d'exercice et de la prime de

l'option à la mi-octobre (380+12.50.-), le détenteur du Call commence à gagner de l'argent sur

son investissement initial. Si le cours du titre monte tout à coup à 500.-, soit une augmentation

d'un peu plus de 40%, le gain sera beaucoup plus que proportionnel: pour 12.50.- investis,

l'acheteur réalisera un bénéfice de 107.50.- soit un gain de 860%: c'est le fameux "effet de

levier".

(29)

Considérons maintenant le cas du vendeur du Call :

Tant que l'action reste en dessous de 380.- ("valeur de levier"), le vendeur du Call fait un

bénéfice de 12.50.-, représentant la prime de l'option. A partir de 380.-, le vendeur risque

d'être obligé de livrer l'action au prix d'exercice, soit 380.-. A partir de 392.50.-, il commence à

perdre de l'argent sur l'opération, puisque l'action qu'il devra sans aucun doute livrer vaudra

plus cher que l'addition du prix d'exercice et de la prime encaissée. Si pour son malheur le titre

monte effectivement à 500.à et qu'il ne le possède pas, il lui faudra aller le racheter en Bourse

pour honorer la demande d'exercice du détenteur du Call, en perdant 107.50.- sur l'opération,

soit plus de huit fois la prime encaissée au départ.

(30)

Mainteant intéressons nous au risque des Put.

Exemple:

L'acheteur d'un Put limite son risque au coût de la prime de l'option pour un gain potentiel

beaucoup plus important. En face de lui, le vendeur du Put se trouve dans la position

exactement inverse : il encaisse la prime de l'option mais prend un risque beaucoup plus grand.

Si nous prenons la même action X cotée à 350.- à la mi-octobre, nous nous trouvons cette fois

avec un investisseur qui parie sur la baisse du cours de l'action. Il achète donc pour 49.50.- (la

"prime") un Put d'échéance décembre au prix d'exercice de 390.-.

Considérons le cas de l'acheteur du Put :

L'acheteur du Put commence à réaliser un profit si le prix de l'action tombe en dessous de

340.50.-, soit le prix d'exercice mois le prix de l'option (390-49.50.-). Entre 340.50.- et 390.-

l'exercice n'est pas profitable mais permet de diminuer la perte. Au-dessus du prix at-the-

money (390.-) l'exercice du Put n'offre vraiment plus aucun intérêt et nous disons alors que

l'option Put est out of the money (O.T.M.).

(31)

Considérons le cas du vendeur du Put :

Le vendeur du Put encaisse d'abord la prime de l'option soit 49.50. Tant que le cours se

maintient au-dessous de 390. il est gagnant. Si le cours de l'option se situe entre 340.50.- et

390.- il perd un peu de sa prime mais reste gagnant. En-dessous de 340.50 le vendeur du Put

sera obligé au moment de l'échéance de verser 390.- à l'acheteur du Put (en vendant le sous-

jacent et en versant la différence d'une manière ou d'une autre). Bien évidemment si le prix du

sous-jacent tombe à zéro, le vendeur du Put peut ainsi perdre jusqu'à 340.50.- de fonds

propres.

(32)

FONDS DE PLACEMENTS

Définition: Un "fond de placement" est un véhicule d'investissement (portefeuille de titres,

d'actions ou d'obligations par exemple) que les établissements financiers proposent à leurs

clients.

Remarque: Un "hedge fund" ou "fond couvert" est un ensemble de produits financiers utilisées

comme couverture contre les fluctuations du marché. En théorie, si la Bourse chute, le hedge

fund ne descend pas et a une performance absolue Ces types de fonds alternatifs sont cependant

réservés à une clientièle fortunée et avertie.

Bien qu'un fond de placement réunisse divers actifs financiers, les clients peuvent acheter les

parts émises à une faible valeur par rapport à l'achat d'actifs individuels. Chaque part contient

théoriquement une proportion de chacun des actifs se trouvant dans le fonds de placement.

Elles garantissent un droit de participation à la fortune globale du fonds sans toutefois donner

de droit sur les sociétés inclues dans le fonds.

Un fond de placement peut investir les montants de diverses manières dont les plus

communément pratiquées sont les papiers-valeurs (actions, obligations), papiers monétaires,

valeurs immobilières, régions (pays, continents), secteurs d'activité ou encore selon des

objectifs personnels. Il existe en ce début de 21ème siècle à peu près 30'000 fonds de

placements à travers le monde.

Les fonds de placement rendent souvent service aux petits portefeuilles : avec des montants

relativements modestes, il est possible de bénéficier d'une bonne répartition des risques et

aussi à des prix de gros accordés sur les transactions effectuées par les gestionnaires de fonds.

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