Notes sur la topologie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur la topologie, Notes de Mathématiques

PDF (112.7 KB)
3 pages
48Numéro de visites
Description
Notes de mathématique sur la topologie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: L'origine de la topologie, Les espaces topologiques, Définition, Remarques.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document

LA TOPOLOGIE

La topologie (du grec : discours du lieu) est un domaine extrêmement vaste des mathématiques

dont il est difficile de définir avec exactitude l'objet dont elle fait l'étude tellement les les

domaines où elle existe sont variés (topologie de la droite réelle, topologie des graphes,

topologie différentielle, topologie complexe, topologie symplectique,...).

Ce que nous pouvons dire dans un premier temps, c'est que dans ces fondements la topologie

est très intimement liée à la théorie des ensembles, à l'étude de convergence des suites et

séries, à l'analyse fonctionnelle, à l'analyse complexe, au calcul intégral et différentiel, au calcul

vectoriel et à la géométrie pour ne citer que les cas les plus importants se trouvant sur le

présent site web.

L'origine de la topologie provient des problèmes qu'ont posés les progrès de l'analyse

fonctionnelle dans l'étude rigoureuse des fonctions continues, de leur dérivabilité, de leurs

limites en un point (fini ou non), de l'existence d'extremums, etc... dans des espaces de

dimensions supérieures (au fait, implicitement la topologie a pour objectif de créer des outils

qui permettent facilement d'étudier les propriétés des fonctions dans toutes les dimensions).

Tout ces concepts, demandaient pour le mathématicien une définition rigoureuse de l'idée

intuitive de proximité, tout particulièrement lors d'opérations sur ces fonctions.

Nous allons essayer de dégager les structures qui permettent de parler de limite et de

continuité. L'exemple fondamental que nous prendons est le cas de (la droite de pour

être rigoureux...).

ESPACE TOPOLOGIQUE

Les espaces topologiques forment le socle conceptuel dans lequel les notions de limite, de

continuité ou d'équivalance sont définies.

Le cadre est suffisamment général pour s'appliquer à un grand nombre de situations

différentes: ensembles finis, discrets, espaces de la géométrie, espaces numériques

à n dimensions, espaces fonctionnels les plus complexes. Ces concepts apparaissent dans

presque toutes les branches des mathématiques, ils sont donc centraux dans la vision moderne

des mathématiques.

Si nous pensons à la droite achevée, afin d'étudier les concepts susmentionnés, il va falloir que

nous mesurions (imaginons...) des morceaux de celle-ci à la règle. Or, les mesures prises de

certains intervalles ou de l'ensemble de la droite doivent pouvoir présenter certaines propriétés

minimales que nous allons énoncer maintenant de suite.

Définition: Soit un ensemble non vide X (la longueur d'une règle de plastique par exemple). Une

"topologie F" ou "espace topologique (X, F)" sur X est une famille F de parties de X (de notre

règle...) appelées "ouverts" V(comme les intervalles ouverts vus dans le chapitre d'Analyse

Fonctionnelle) tel que les axiomes suivants soient vérifiés :

A1. L'ensemble vide et X sont considérés comme des ouverts et appartiennent obligatoirement

à la famille de la topologie F (ces deux ouverts seuls constituent par ailleurs la "topologie

grossière" la plus minimale satisfaisant à tous les axiomes):

et (18.1)

En d'autres termes, si nous imaginons notre règle en plastique, la mesure nulle doit appartenir

à celle-ci ainsi que tout point de la règle elle-même (ou un sous-ensemble de celle-ci) ou les

deux.

A2. Toute intersection finie d'ouverts de F est un ouvert de F:

implique (18.2)

A3. Toute réunion d'ouverts F est un ouvert de F:

implique (18.3)

Remarques:

R1. Les mathématiciens notent fréquemment par la lettre O la famille des ouverts et F la famille

des fermés. Convention que nous ne suivrons donc pas ici.

R2. Les "fermés" d'une topologie sont les complémentaires des ouverts. Par conséquent, la

famille des fermés contient entre autres X et l'ensemble vide...

R3. La réunions d'ouverts en toute rigueur dans l'axiome

Le couple (X,F) forme un "espace de Hausdorff" ou "espace séparé" si de plus la propriété

suivante dit "axiome d'Hausdorff" est vérifiée :

A4. avec , tels que et

Remarques:

R1. Un exemple bien connu d'espace topologique est muni de l'ensemble F engendré par les

intervalles ouverts (par la loi d'union), c'est-à-dire les intervalles ]a,b[.

R2. Nous verrons une application très concrète des espaces de Hausdorff lors de notre études des

fractales en informatique théorique.

Définition: Si nous notons (X,F) un espace topologique, F désignant les ouverts de X, une "base",

au sens topologique, de (X,F) est une partie B de F telle que tout ouvert de F soit réunion

d'ouverts de B (c'est la même idée que les espace vectoriels au fait mais appliqué à des

ensembles... rien de bien méchant).

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome