Notes sur la trigonométrie du cercle - 1° partie, Notes de Trigonométrie
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur la trigonométrie du cercle - 1° partie, Notes de Trigonométrie

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Notes de mathématique sur la trigonométrie du cercle - 1° partie.Les principaux thèmes abordés sont les suivants:les propriétés,les schémas,les relations remarquables.
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Trigonométrie du cercle. Soit la figure ci-dessous représentant un cercle quelconque centré à l'origine dans une base

directe :

(20.4)

De par l'application du théorème de Pythagore (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne), nous y

avons:

(20.5)

avec R étant le rayon du cercle.

A partir de cette représentation, nous pouvons définir des êtres mathématiques nommés

"fonctions trigonométriques du cercle" appelées aussi parfois par les anciens (...) "fonctions

cyclométriques" telles que (pour les plus importantes):

(20.6)

Remarques:

R1. Lisez "cosinus" pour "cos", "sinus" pour "sin", "tangente" pour "tan", "cotangente" pour "ctg",

"sécante" pour "sec", "cosécante" pour "csc".

R2. Lorsque le contexte le permet et qu'il ne peut y avoir d'ambiguïté, les parenthèses après le nom

de la fonction trigonométriques peuvent être omises (c'est souvent le cas en physique).

R3. Les fonctions arc... sont donc les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques

(fonctions bijectives) correspondantes!

A partir des ces fonctions, nous pouvons faire des combinaisons et tirer des relations

remarquables très simples mais dont l'utilité profonde est discutable (et qui sont très peu

utilisées) telles que :

(20.7)

Dont voici un superbe schéma... qui résume le tout :

(20.8)

Propriétés :

P1. Si nous nous plaçons dans l'étude du cercle dit "cercle trigonométrique", il faut poser pour les

définitions ci-dessus . Ainsi, apparaît plus nettement le sens physique de ces définitions et il

en découlera un nombre de propriétés et d'applications directement exploitables dans la physique

théorique et la mathématique pure.

Effectivement, si nous avons trivialement:

(20.9)

et en appliquant le théorème de Pythagore (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne):

(20.10)

d'où:

(20.11)

P2. Si est un réel, et , les réels et sont associés au même point M de par la

périodicité du cercle trigonométrique. En effet, et sont deux mesures du même angle

orienté. Ainsi :

(20.12)

Idem pour toutes les fonctions trigonométriques qui découlent de la définition des fonctions sinus

et cosinus.

Remarque: Dans la mesure des "angles orientés", nous disons que deux mesures sont congrues

modulo si et seulement si leur différence est un multiple de . Cela caractérise

deux mesures d'un même angle.

Par définition, sinus et le cosinus de tout nombre réel font partie de l'intervalle . Plus

précisément, la position de M nous permet d'en savoir plus sur le cosinus et le sinus de . Ainsi :

(20.13)

Il existe également une autre représentation des fonctions trigonométriques du cercle, un peu plus

technique au sens visuel mais assez important pour bien comprendre, plus tard, la mécanique

ondulatoire :

(20.14)

Le lecteur devrait à ce point, remarquer sans trop de peine les propriétés suivantes (très souvent

utilisées en physique!) :

(20.15)

et reconnaître facilement que le sinus est une fonction impaire et la fonction cosinus une fonction

paire (constat qui nous sera souvent utile dans divers développements mathématiques sur les

séries trigonométriques).

Nous avons vu au début de ce chapitre, que de par la définition des fonctions trigonométriques

nous avons :

(20.16)

et également:

(20.17)

De façon exactement identique nous démontrons que:

(20.18)

A partir de ces dernières relations nous tirons sans trop de peine que:

(20.19)

identiquement nous aurons :

(20.20)

par le raisonnement inverse nous tirons tout aussi facilement que:

et (20.21)

Il vient également sans difficultés en observant le cercle trigonométrique que:

(20.22)

Voici les schémas qui résument la manière d'analyse de quelques de ces propriétés (pour les

autres relations, la méthode est identique):

(20.23)

Introduisons maintenant une dernière relation que nous retrouvons en optique ondulatoire ou

encore dans le cadre des transformées de Fourier qui est le "sinus cardinal":

(20.24)

représenté par:

(20.25)

C'est surtout sa forme 3D qui est connue car souvent utilisée pour des raisons marketing faisant

penser à une goutte d'eau tombant dans un récipient d'eau (avec Maple) et c'est toujours joli à

regarder...:

plot3d(sin(sqrt(x^2+y^2))/(sqrt(x^2+y^2)),x=-20..20,y=-20..20);

(20.26)

RELATIONS REMARQUABLES

Le dessin ci-dessous va nous permettre d'établir des relations qui permettront de résoudre des

équations impliquant des fonctions trigonométriques (toutes ces relations sont de première

importance en physique pour la simplification de la résolution de problèmes).

(20.27)

Nous noterons sur le schéma la relation suivante:

Donc:

(20.28)

En résumé:

(20.29)

Ce qui implique trivialement si :

(20.30)

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