Notes sur la trigonométrie du cercle - 2° partie., Notes de Trigonométrie
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur la trigonométrie du cercle - 2° partie., Notes de Trigonométrie

PDF (220 KB)
6 pages
365Numéro de visites
Description
Notes de mathématique sur la trigonométrie du cercle - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les relations, les formules d'addition, le théorème du cosinus, le théorème du sinus.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 6
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 6 pages
Télécharger le document
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 6 pages
Télécharger le document
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 6 pages
Télécharger le document
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 6 pages
Télécharger le document

et :

(20.31)

d'où:

(20.32)

Nous avons également:

(20.33)

d'où:

(20.34)

Ce qui implique trivialement si :

(20.35)

Avec la relation déjà démontrée nous obtenons également les relations très

importantes:

(20.36)

Relations avec lesquelles nous obtenons très facilement:

(20.37)

et :

(20.38)

d'où:

(20.39)

Nous avons aussi:

(20.40)

Ceci, pour en arriver à la relation:

(20.41)

qui implique:

(20.42)

et évidemment:

(20.43)

d'où:

(20.44)

Nous obtenons également de manière triviale des relations précédentes (nous faisons un petit

mélange et nous secouons...):

et (20.45)

Nous avons aussi :

(20.46)

avec :

(20.47)

d'où :

(20.48)

de manière similaire nous obtenons :

(20.49)

avec :

(20.50)

d'où :

(20.51)

Déterminons maintenant les formules trigonométriques complémentaires appelées "formules de

Simpson" ou "formules d'addition" qui permettent d'exprimer la somme de sinus et/ou de cosinus

en produit de sinus et/ou cosinus.

Soit les relations déjà démontrées précédemment:

(1)

(20.52)

(2)

Posons et d'où :

et (20.53)

Nous obtenons par sommation de (1) et (2):

(20.54)

et par différence:

(20.55)

De la même manière nous obtenons :

(20.56)

et par différence:

(20.57)

et inversement nous retombons très facilement sur les relations:

(20.58)

Toutes ces relations nous seront utiles lors de notre étude de la physique générale et

particulièrement dans le cas de calcul d'intégrales.

THÉORÈME DU COSINUS

Démontrons encore le théorème du cosinus, utile en géométrie:

Dans un triangle quelconque, le carré d'un des deux côtés est égal à la somme des autres

diminués du double produit de ces deux côtés par le cosinus de l'angle compris entre eux :

(20.59)

Démonstration:

(20.60)

mais dans le triangle ABH, rectangle en H, nous avons la relation d'où:

(20.61)

Nous obtenons donc une des relations du "théorème du cosinus":

(20.62)

Par permutation circulaire, nous obtenons les deux autres relations connues.

Remarque: Le théorème du cosinus est parfois appelé "formule d'Al-Kashi", par ailleurs si a est

l'hypoténuse son angle opposé un angle droit tel que est nul et nous retrouvons donc le

théorème de Pythagore. Voici pourquoi nous appelons parfois la formule d'Al-Kashi "formule de

Pythagore généralisée".

THÉORÈME DU SINUS

Soit le triangle quelconque dont nous traçons deux hauteurs :

(20.63)

Dans le triangle ci-dessus nous avons les relations :

(20.64)

ce qui nous conduit à l'expression :

(20.65)

d'où :

(20.66)

Par un raisonnement similaire nous avons :

(20.67)

Ce qui donne :

(20.68)

Le tout combiné nous fournit le "théorème des sinus" dont le plus exemple d'application sur ce

site est certainement la détermination des points de Lagrange L4 et L5 dans le chapitre

d'astronomie :

(20.69)

Evidemment, il n'y a pas ici toutes les relations trigonométriques (du cercle) existantes comme

nous l'avons déjà dit, mais au moins les plus importantes qu'il faut savoir retrouver lors de l'étude

de systèmes physiques.

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 6 pages
Télécharger le document