Notes sur la trigonométrie hyperbolique, Notes de Trigonométrie
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur la trigonométrie hyperbolique, Notes de Trigonométrie

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Notes de mathématique sur la trigonométrie hyperbolique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction hyperbolique d'un angle complexe, les relations remarquables.
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Trigonométrie hyperbolique.

Nous avons démontré en analyse fonctionnelle que toute fonction f(x) peut se décomposer en un

fonction paire et impaire tel que :

(20.70)

Ainsi, pour la fonction , nous obtenons :

(20.71)

Rappelons lors de notre étude des nombres complexes que nous avions démontré que :

(20.72)

Nous définissons alors par analogie le sinus et le cosinus hyperbolique (nous démontrerons la

provenance de ce terme plus loin) par :

(20.73)

et nous pouvons donc écrire :

(20.74)

Relation que nous pouvons à nouveau mettre en analogie avec :

(20.75)

Chose intéressante, nous pouvons travailler en trigonométrie avec des angles complexes.

Effectivement, si nous posons , nous avons alors :

(20.76)

Or :

(20.77)

Donc :

(20.78)

Donc la fonction hyperbolique d'un angle complexe existe et l'image en est un nombre complexe

aussi. Nous pouvons ainsi voir abusivement la géométrie hyperbolique comme une sorte de

généralisation de la trigonométrie du cercle aux angles réels et complexes.

Par opposition à la trigonométrie du cercle, le lecteur remarquera et vérifiera facilement que nous

avons :

(20.79)

Démonstration:

Nous avons donc:

C.Q.F.D.

Recherchons maintenant les fonctions réciproques des fonctions sinus et cosinus hyperboliques

(que nous utiliserons parfois en physique ou en mécanique). Pour cela rappelons que:

(20.80)

et que la recherche de la fonction réciproque consiste toujours à isoler x.

Donc:

(20.81)

c'est-à-dire:

(20.82)

en résolvant ce polynôme du deuxième degré en puis en prenant le logarithme nous obtenons:

(20.83)

Or comme nous devons rejets la solution avec le signe "-". Il vient alors:

(20.84)

d'où:

(20.85)

En procédant de même pour:

(20.86)

Donc:

(20.87)

c'est-à-dire:

(20.88)

en résolvant ce polynôme du deuxième degré en puis en prenant le logarithme nous obtenons:

(20.89)

Or comme nous devons rejets la solution avec le signe "-". Il vient alors:

(20.90)

d'où:

(20.91)

Ainsi:

(20.92)

Pour étudier une représentation géométrique simple posons maintenant :

(20.93)

avec une restriction à et donc :

(20.94)

Donc nous pouvons écrire :

(20.95)

Or, comme nous le verrons lors de notre étude des coniques dans le chapitre de Géométrie

Analytique :

1. La première de ces deux relations, constitue pour l'ensemble de définition donné, un cercle de

rayon unité centré à l'origine. Le lecteur remarquera qu'il est assez curieux pour la trigonométrie

du cercle d'obtenir un cercle...

2. La deuxième de ces deux relations, constitue pour l'ensemble de définition donné, une

hyperbole équilatérale orientée selon l'axe X dont le sommet est S(1,0) à et de foyer . Le

lecteur remarquera à nouveau qu'il est assez curieux pour la trigonométrie hyperbolique d'obtenir

une hyperbole...

Ces deux dernières constations devraient permettre, nous l'espérons, au lecteur de comprendre

l'origine du nom de la trigonométrie hyperbolique et de constater que l'étude la trigonométrie

hyperbolique sur l'hyperbole est l'analogue de l'étude de la trigonométrie du cercle sur le cercle.

Si nous représentons le cercle trigonométrie et l'hyperbole trigonométrique et rajoutons quelques

information complémentaire, voici ce que nous obtenons :

(20.96)

Explications :

Pour tracer à la règle et au compas le point P(x,y) de l'hyperbole, nous nous donnons x, donc le

point A(x,0). Nous traçons la tangent au cercle (C) qui relie A(x,0) ce qui nous donne le point de

tangence T. Nous traçons le cercle (G) de centre A(x,0) et passant par T. Ce cercle coupe P(x,y) à la

perpendiculaire en A(x,0) à Ox.

Nous voyons apparaître sur la figure plusieurs valeurs des fonctions hyperboliques correspondant

à mais aussi etc. Entre autres, le cercle (G) coupe

l'axe Ox en deux points dont les abscisses sont et .

Si le lecteur veut s'assure de cette constat de faits que donne la figure, il pourra contrôler qu'en

tout point de l'hyperbole, nous avons toujours les relations (entre autres) :

(20.97)

qui sont toujours vérifiées.

Si nous traçons maintenant sur un graphique :

(20.98)

Nous obtenons (ça c'est juste pour avoir vu une fois à quoi ressemble ces fonctions) :

(20.99)

Nous retrouverons la fonction cosh(x) dans le chapitre de Génie Civil par exemple dans le cadre

des câbles suspendus.

RELATIONS REMARQUABLES

Soit par définition :

(20.100)

et :

(20.101)

A partir de ces définitions et à l'aide des opérations élémentaires d'algèbre nous pouvons

déterminer les relations remarquables suivantes (c'est beaucoup plus facile que la détermination

de relations remarquables de la trigonométrie du cercle, donc sauf demande nous donnons ces

relations sans démonstration) :

(20.102)

Egalement :

(20.103)

Et nous avons les relations d'addition :

(20.104)

Suite à la demande d'un étudiant, démontrons la première et troisième relation ci-dessus :

Pour la première :

(20.105)

et la troisième :

(20.106)

Signalons encore d'autres relations remarquables :

(20.107)

et encore :

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