Notes sur la trigonométrie sphérique - 1° partie, Notes de Trigonométrie
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur la trigonométrie sphérique - 1° partie, Notes de Trigonométrie

PDF (273.8 KB)
4 pages
255Numéro de visites
Description
Notes de mathématique sur trigonométrie sphérique - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: L'objectif de la trigonométrie sphérique, la relation fondamentale, la relation des sinus.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 4
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

Trigonométrie sphérique.

L'objectif de la trigonométrie sphérique est de déterminer les relations remarquables existants

entre les angles et les côtés de formes projetées (dites également "formes géodésiques" car

suivant la courbure de l'espace) sur la surface d'une sphère. Pour déterminer ces relations, nous

allons nous intéresser au cas particulier d'une sphère de rayon unité et des relations entre les

côtés d'un triangle (élément de surface plane élémentaire) et les différents angles existants. Nous

verrons que les résultats sont au fait indépendants du rayon de la sphère et de la forme

considérée initialement.

Soit la figure sur laquelle se trouve un triangle géodésique de sommets A, B, C d'angles

d'ouverture respectifs et de côtés opposés a, b, c et trois vecteurs unitaires tels

que et que l'extrémité de est confondu avec le sommetA:

(20.109)

L'angle entre les points B et C, noté , n'a pas pu être représenté sur le schéma ci-dessus faute

de place.

Rappelons que le périmètre d'un cercle de rayon unité sur la sphère de rayon unité vaut bien

évidemment . Le périmètre du cercle en fonction de l'angle d'ouverture de ce dernier étant

donné par (relation très très souvent utilisée en physique!!!):

(20.110)

Si le cercle à rayon (comme c'est le cas pour notre sphère), le calcul de la longueur d'arc se

simplifie et devient:

(20.111)

Conséquence relativement aux points sur notre sphère; les côtés du triangle sont donnés par:

(20.112)

Considérons maintenant le produit scalaire (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :

(20.113)

et comme nous avons:

(20.114)

Si nous décomposons les deux vecteurs et sur les vecteurs tangents unités nous avons:

(20.115)

Ce qui nous donne:

(20.116)

ce qui donne (distributivité du produit scalaire):

(20.117)

Comme et , la relation précédente se réduit à:

(20.118)

et comme:

(20.119)

Nous avons:

(20.120)

relation dit "relation fondamentale" que nous pouvons tout aussi bien écrire:

(20.121)

Cette dernière relation est invariante par permutation circulaire des variables .

Il est que les sinus de tous les angles sont positifs (puisque inférieurs à ), ainsi nous pouvons

écrire:

(20.122)

Cette dernière relation est bien évidemment également invariante par permutation circulaire des

variables . Donc nous obtenons une relation remarquable du triangle sphérique, appelée

"relation des sinus":

(20.123)

Comme la trigonométrie sphérique est souvent utilisée pour des repérages terrestres, avec

souvent 2 cercles très particuliers et orthogonaux : l'équateur terrestre et un méridien ou un

parallèle quelconque, ce cas revêt un intérêt particulier. Le lecteur pourra s'exercer à retrouver les

relations ci-dessous. Dans le cas d'un triangle rectangle enA nous avons bien évidemment:

(20.124)

Toutes les relations que nous avons déterminées jusqu'à maintenant nous permettent dans le cas

où de tirer des relations très intéressantes pour la géophysique:

(20.125)

Evidemment, nous n'avons pas présenté ici toutes les relations de trigonométrie sphérique

existantes, mais au moins les plus importantes qu'il faut savoir retrouver.

Remarque: Nous définissons "l'excédent" ou "excès sphérique" par le nombre:

(20.126)

Pendant que nous y somme, profitons-en pour calculer un problème classique qui est celui de la

surface d'un triangle sur une sphère. Soit la figure:

(20.127)

Si nous prolongeons les arcs de géodésique AC et AB jusqu'à , nous obtenons une tranche de

sphère dont la surface est proportionnelle à l'angle ,en A. Si cet angle valait , nous

aurions toute la sphère et la surface vaudrait . Comme l'angle vaut , la proportionnalité

nous dit que vaut:

(20.128)

De la même manière, si nous prolongeons les arcs BC et BA jusqu'à et si nous prolongeons les

arcs CA etCB jusqu'à , nous obtenons deux autres tranches dont les surfaces et valent:

(20.129)

Supposons maintenant que nous additionnons ces trois surfaces:

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome