Notes sur la valeur du risque - 1° partie, Notes de Management
Sylvestre_Or
Sylvestre_Or13 January 2014

Notes sur la valeur du risque - 1° partie, Notes de Management

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Notes de gestion sur la valeur du risque - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Les mesures du risque, VaR paramétrique, VaR deltanormale, VaR absolue.
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Les mesures du risque ont bien évolué depuis que Markowitz a avancé sa célèbre théorie de la

diversification de portefeuille à la fin des années 1950, théorie qui devait révolutionner la

gestion de portefeuille moderne. Le risque d'un portefeuille était alors relié à la matrices des

covariances-variances comme nous l'avons démontré théoriquement et par l'exemple plus haut.

Dans les années 1960, Sharpe a proposé le modèle unifactoriel d'évaluation des actifs financiers

où le bêta est le facteur explicatif principal du risque d'un portefeuille via la matrice des bêta.

Au début des années 1990, une nouvelle mesure du risque a fait son entrée (la banque JP

Morgan en est à l'origine). En effet, on reconnaissait de plus en plus les limites des mesures

traditionnelles du risque. Il fallait se donner des mesures du risque de baisse de la valeur des

actifs. Pour ce faire, il fallait trouver des mesures qui sont davantage reliées à l'ensemble de la

distribution des flux monétaires d'un portefeuille. C'est dans ce contexte qu'une mesure

nominale du risque a été proposée: la VaR.

Cette nouvelle mesure a d'abord servi à quantifier le risque de marché auquel sont soumis les

portefeuilles bancaires. En effet, l'Accord de Bâle a recommandé aux banques, en 1997, de

détenir un montant de capital réglementaire pour pallier aux risques standards de marché. Or,

ce capital est depuis lors calculé à partir de la VaR et est devenue de plus en plus populaire

pour évaluer le risque de portefeuilles institutionnels ou individuels (et pas que!). Il n'existe pas

cependant une mesure

unique de la VaR. En effet, elle repose sur le concept de volatilité, qui est essentiellement latent.

C'est pourquoi les banques se doivent de recourirà plusieurs modèles de VaR de manière à

définir la fourchette de leurs pertes éventuelles. Ces calculs sont d'autant plus complexes que

la distribution des rendements des titres mesurés à haute fréquence s'éloigne sensiblement de

la normale.

Définition: La "Value at Risk" (VaR) est la perte maximale théorique que peut subir un

gestionnaire d'un portefeuille (dont la valeur est forcément implicitement variable) et pour une

certaine période de temps avec une probabilité cumulée donnée (l'utilisation de la la VaR n'est

pas limitée aux instruments financiers, elle est utilisée dans beaucoup d'autres domaines de la

gestion du risque en général).

Remarque: La VaR n'est pas réellement pertinente si elle n'est pas présentée avec d'autres

indicateurs de risques tels que le ratio de Sharpe, le ratio de Treynor ou encore les coefficients

grecques (comme le bêta). Enfin, indiquons que dans la pratique la VaR est indiquée en %.

VAR RELATIVE

Dans le modèle classique de la VaR relative (appelée aussi parfois "VaRParamétrique"), nous

supposerons que la distribution statistique des résultats d'un portefeuille obéit à chaque instant

à une loi Normale... que nous noterons par la suite:

(373)

Sous cette hypothèse de normalité, la VaR relative est appelée en toute rigueur "VaR delta-

normale".

L'idée suivante est que la variable aléatoire X peut donc être réécrite avec une variable normale

centrée réduite (cf. chapitre de Statistiques) en posant:

(374)

tel que (utilisation des propriétés de base de la loi Normale):

(375)

et cette écriture est donc utilisée dans énormément d'autres domaines que la finance (gestion

de projets, assurance qualité, logistique, etc.).

Soit le seuil critique associé à la probabilité cumulée visée. Nous pouvons alors écrire:

(376)

qui est une forme intéressante car elle reporte l'analyse du risque et la variabilité sur

l'estimation de l'écart-type seul (ce que les financiers apprécient bien...)!

Cette forme d'écriture se vérifie aisément avec MS Excel pour les sceptiques... Considérons un

portefeuille P ayant un écart-type annuel de 10% et que nous possédons 1000.- en actifs de ce

portefeuille. Nous avons alors à la première année:

=NORMINV(99%;1000;10%*1000)=1000+NORMSINV(99%)*10%*1000 =1'232.6

Soit 99% de probabilité cumulée d'avoir une portefeuille valant entre 0 et 1'232.6.- à tout

moment (on considère comme négligeable la probabilité cumulée que le portefeuille ait une

valeur négative avec cette écriture).

Mais ce qui intéresse le gestionnaire n'est pas de se couvrir du risque de l'espérance (car il est

nul) mais de la volatilité seule! Dans le cas précédent elle est donc de 100.- et suit une loi

Normale centrée réduite. D'où la raison de définir la VaR formellement comme étant la relation

mathématique qui donne un intervalle de confiance de l'écart-type:

(377)

Ainsi, pour une probabilité cumulée de 99% les logiciels nous donnent en valeur absolue (voir le

traitement des intervalles de confiance dans le chapitre de Statistiques):

(378)

où par tradition les financier prennent l'alpha (et donc la VaR) comme étant positif. D'où le fait

qu'ils parlent de risque couverts à 99% alors qu'en réalité il s'agit de couvrir un risque qui a 1%

de probabilité cumulée d'avoir lieu (mais strictement parlant c'est la même chose simplement

que le premier est plus facile à faire comprendre à un client...!!!). Raison pour laquelle on trouve

parfois aussi la VaR sous la forme suivante:

(379)

Exemple:

Un portefeuille P de valeur 1'000.- a une volatilité annuelle de 10%. La volatilité journalière

(instantanée) du rendement est alors de (nous utilisons ici la propriété du mouvement brownien

standard):

(380)

où 252 est le nombre de jours de bourse dans l'année dans un pays donné. Soit en numéraires:

(381)

La VaR relative au seuil de 99% à une journée est alors:

(382)

De même sur nous aurions VaR relative annuelle au seuil de 99%:

(383)

Soit une VaR relative de 23.26% (juste histoire de la donner en pourcents comme il est d'usage

dans le domaine financier).

Ainsi, en ce qui concerna la VaR annuelle relative, nous avons alors 99% de probabilité cumulée

gagner 232.60.- mais aussi de le perdre! Effectivement nous avons 1% de probabilité cumulée

d'avoir une perte annuelle de:

=NORMSINV(1%)*10%*1000)=-232.6

donc il faudrait au moins un capital risque (fonds propres) de 232.6.- pour couvrir 99% des

risques (couvrir cette probabilité cumulée de 1% d'être dans un mauvaise année

respectivement). Nous pouvons aussi dire que nous avons 99% de probabilité cumulée de ne

pas perdre plus 232.6.-. Nous retrouvons donc le même résultat numérique qu'avec l'exemple

précédent.

Le lecteur remarquera que nous avons donc dans le domaine de la bourse (ceci découle donc du

mouvement brownien standard) pour passer d'un horizon temporer à un autre:

(384)

Les financiers appellent cette propriété du mouvement brownien dans le cadre de l'utilisation

de la VaR la "scaling law". Elle est autorisée par les accords de Bâle en 1996 qui présuppose une

distribution Normale et conseille une horizon temporel de 10 à 30 jours. Nous avions vu

cependant lors de notre démonstration du modèle du mouvement brownien standard que nous

sous-estimons sous cette hypothèse le risque réel et que ce reflèxe de changement d'échelle

via la racine carrée est très critiquée par les spécialistes.

Remarque: Personnellement je préconiserai de couvrir selon la méthode Six Sigma à 99.9996%

sur un horizon temporel correspondant au minimum au temps de position moyen. Mais c'est

personnel...

VAR ABSOLUE

La mesure de VaR que nous venons de donner est une mesure relative car elle ne tient pas

compte de la moyenne des pertes et gains futurs.

Si la volatilité est de 100.- dans l'exemple qui vient d'être donné, la VaR relative est donc

232.6.- Mais comme le profit moyen est généralement non nul sur une longue période de

temps, nous devons la plupart du temps utiliser la mesure absolue de la VaR (sur une très

courte période le profit étant considéré comme parfois nul, on s'en tient au calcul de

la VaR relative).

Rappelons d'abord que suite à notre étude du modèle de Bachelier nous avons démontré que

l'espérance positive de la valeur (ou rendement) ainsi que l'écart-type positif d'un portefeuille

est proportionnelle à la racine carrée du temps.

Supposons que la période d'observation t soit en mois. Le rendement mensuel espéré pour le

portefeuille de valeur initiale S est alors de (son espérance donc..!.) et la variance mensuelle

de son rendement de .

Sa VaR relative au seuil de confiance est donc après t mois de (vous pouvez vérifier que la

relation est bien homogène!) :

(385)

comme nous avons pu le vérifier dans l'exemple précédent (donc jusqu'ici rien de nouveau...).

La racine carrée du temps provient, pour rappel, du modèle de Bachelier (mouvement brownien

standard).

Remarque: Contrairement à ce que nous avions vu lors de notre étude des seuils/intervalles de

confiances dans le chapitre de Statistiques, nous ne divisons pas par 2 l'argument de la fonction

MS Excel NORMALSINV() pour obtenir le dans la situation ci-dessus car ce qui nous

intéresse c'est seulement un côté de la courbe centrée réduite (le côté "pessimiste") et non les

deux.

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