Notes sur la valeur du risque - 2° partie, Notes de Management
Sylvestre_Or
Sylvestre_Or13 January 2014

Notes sur la valeur du risque - 2° partie, Notes de Management

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Notes de gestion sur la valeur du risque - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Var Historique, VaR variance-covariance.
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Si nous reprenons le même exemple que précédemment (portefeuille de 1'000.- avec 10% de

volatilité annuelle). LaVaR relative est donc sur une projection de 30 jours de:

(386)

Mais cette dernière relation ne tient donc pas compte du rendement moyen espéré du

portefeuille dans le temps. La VaR absolue est donc obtenue en retranchant ce rendement à

la VaR relative sur la même période temporelle, c'est-à-dire:

(387)

où nous faisons l'hypothèse particulière que le rendement est donc linéairement dépendant du

temps (conformément à la construction semi-empirique du mouvement brownien standard).

La VaR absolue est donc bien évidemment inférieure à la VaR relative de ce montant.

Mentionnons que le calcul de la VaR absolue peut être considéré comme vicieux ou ayant peu

d'intérêt car il suppose que la gain obtenu grâce au rendement sera placé dans les fonds

propres pour financer la VaR relative. Or, dans la majeure partie des cas les gains seront

replacés.

Reprenons quand même notre exemple habituel sous cette hypothèse (portefeuille de 1'000.-

avec 10% de volatilité annuelle) avec un rendement annuel de 15%. Nous avons alors:

(388)

Concrétement, si les nous financons la VaR avec les gains alors sur une année il suffit d'avoir

82.6.- de fonds propres. Dans la pratique il peut-être intéressant de savoir à partir de combien

de temps les gains couvrent la totalité de la VaR. Dans ce cas il s'agit d'un simple équation du

deuxième degré tel que:

(389)

et nous trouverions dans notre exemple 2.4 années. Concrétement après 2.4 années les gains

auront couvert la totalité des risques selon les hypothèses de construction...

VaR Historique

Une troisième manière pragmatique de calculer la VaR relative est basée sur les données

historiques. Il s'agit de la manière la plus simple de faire le calcul avec la facilité d'utilisation

des tableurs existant aujourd'hui.

Supposons pour l'exemple que nous ayons les cent dernières performances journalières d'un

portefeuille. Les dix plus mauvaises performances journalières sont données ci-contre par

ordre croissant:

Données Historiques

-19'000

-16'450

-15'000

-12'500

-11'950

-11'250

-11'050

-10'600

-10'500

-10'250

...

Tableau: 3 - Performances journalières d'un portefeuille

La VaR relative à 95% pour 1 jour consiste alors à déterminer le 5ème centile. Comme nous

avons 100 échantillons, il est facile de déterminer qu'il s'agit de la 5ème valeur dans l'ordre

croissant des valeurs. Donc:

(390)

Comme nous l'avons déjà mentionné dans le chapitre de Statistique, dans les tableurs nous

utilisons la fonction CENTILE( ) qui n'est pas forcément calculé de la même manière d'un logiciel

à l'autre.

VaR Variance-Covariance

La VaR variance-covariance est basée un cas plus réaliste du calcul de la VaR sur un portefeuille

basé sur plusieurs actifs financiers corrélés ou non (contrairement aux cas précédents où nous

avions qu'un seul actif).

Considérons pour introduire ce concept un portefeuille P1 de 5'000'000.- de volatilité

journalière de 2% (soit de 100'000.-/j.) et un deuxième portefeuille P2 de 7'000'000.- de

volatilité journalière de 1% (soit de 70'000.-/j.).

Nos mesures montrent que leur coefficient de corrélation est de 0.6. L'écart-type global

journalier est alors de (cf. chapitre de Statistiques):

(391)

Ainsi, la VaR relative journalière à 99% pour le portefeuille global est de (pas de scaling law à

appliquer ici puisque l'écart-type est journalier et que nous voulons la VaR relative journalière):

(392)

Il est intéressant de comparer de VaR relative journalière à la somme des VaR relatives des deux

portefeuilles:

(393)

Nous avons:

(394)

Ceci est dû au gain de diversification!

Remarque: Un piège dans le calcul de la VaR relative variance-covariance aurait été de calculer

l'écart-type global en % et ensuite de l'appliquer dans la relation du calcul de le VaR globale. Le

résultat aurait dès lors été erroné!

Rappelons pour clore à quoi sert la VaR? Mentionnons d'abord qu'elle se révèle d'une grande

utilité puisqu'elle est mesurée en termes nominaux. Une fois qu'une institution financière a

calculé sa VaR globable, c'est-à-dire la perte maximale qu'elle peut encourir sur l'ensemble de

son bilan pour une probabilité prédéterminée, il lui est loisible de se servir de ce montant pour

déterminer le capital (avoir propre) minimal qu'elle doit maintenir pour ne pas s'exposer à la

faillite. Si en effet elle détient un capital moindre et que la perte maximale probabiliste se

produit, son avoir propre sera négatif et elle devra peut-être déposer son bilan.

La VaR est donc très utile pour une institution financière, car elle lui permet de déterminer le

niveau du capital qu'elle doit maintenir pour survivre. Quand la VaR est utilisée à cette fin,

nous l'appelons plus communémentCaR pour "Capital at Risk", c'est-à-dire que le capital que

doit maintenir une institution financière est calculé ou évalué selon les risques auxquels ell est

exposée. Plus le risque est important, plus elle devra maintenir un capital élevé. Cela apparaît

bien raisonnable, car le capital détenu par une institution financière est d'abord et avant tout un

file et sécurité. Pour une banque, il vise à protéger les dépôts à son passif. La VaR se présente

donc comme une mesure appropriée pour définir le capital réglementaire que doit détenir une

institution financière. C'est pourquoi le Comité de Bâle, chapeauté par la Banque des

Règlements Internationaux, retenait cette mesure pour calculer le capital réglementaire d'une

institution de dépôts en 1995 et qui est devenue effective en janvier 1998. Celles-ci doivent

maintenant calculer leur exposition au risque en recourant à la VaR et tester sa justesse en

faisant des "stress tests" (confronter les calculs à des variations extrêmes) ainsi qu'à des "back

testing" en vérifiant que les grandes déviations (en dehors de l'intervalle de confiance) n'ont pas

lieu plus 5 fois par année boursière.

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