Notes sur la variation relativiste de la masse - 2° partie, Notes de Astronomie
Caroline_lez
Caroline_lez10 January 2014

Notes sur la variation relativiste de la masse - 2° partie, Notes de Astronomie

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Notes d'astronomie sur a variation relativiste de la masse - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: LAGRANGIEN RELATIVISTE, l'action invariant de Lorentz":.
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Sous l'action d'une force F, la vitesse d'une masse m augmente ou diminue sur chaque portion

de la trajectoire. Le travail de la composante peut s'interpréter alors en énergie cinétique

..

Dans la théorie relativiste, la masse varie avec la vitesse, donc:

(49.184)

L'intégration par partie (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

(49.185)

nous donne :

(49.186)

Le gain d'énergie cinétique d'une particule peut donc être considéré comme gain de sa masse.

Puisque est la masse au repos, la quantité est appelée "énergie au repos" de la

particule.

Nous avons donc :

(49.187)

où représente l'énergie de mouvement.

La somme :

(49.188)

représente donc l'énergie totale E de la particule en absence de champ de potentiel. Ce qui

nous amène à écrire :

(49.189)

LAGRANGIEN RELATIVISTE

Les développements suivants vont nous permettre dans l'étude de l'électrodynamique (si ce

chapitre n'a pas encore été lu), de déterminer l'expression du tenseur du champ

électromagnétique ainsi qu'en physique quantique relativiste de déterminer l'équation de Klein-

Gordon avec champ magnétique. Il faut donc bien lire ce qui va suivre.

En relativité, nous voulons donc que les équations du mouvement aient la même forme dans

tous les référentiels inertiels. Pour cela, il faut que l'action S (cf. chapitre de Mécanique

Analytique) soit donc invariante par rapport aux transformations de Lorentz. Guidés par ce

principe, essayons d'obtenir l'action d'une particule libre. Supposons que l'action soit dans le

référentiel :

(49.190)

Remarques:

R1. Le choix du signe moins deviendra évident lors de notre étude de l'électrodynamique.

R2. La notation au lieu de L pour le lagrangien permet simplement de mettre en évidence

qu'il s'agit d'un cas d'étude ou le système est libre. Cette distinction de notation sera utile lors de

notre étude de la relativité générale et de la détermination du tenseur du champ

électromagnétique.

R3. Nous somme pas censés savoir à quel type de masse nous avons affaire (masse au repos ou

inertielle) d'où le fait que dans l'ignorance nous travaillerons avec la masse inertielle m quitte à

corriger cette hypothèse plus loin.

Et rappelons que :

(49.191)

Dans le référentiel O, nous avons alors "l'action invariant de Lorentz":

(49.192)

Donc selon notre hypothèse initiale, nous avons pour le lagrangien relativiste (en l'absence de

champ de potentiel donc... puisque le système est "libre") :

(49.193)

Dans l'approximation non-relativiste , nous avons selon le développement de MacLaurin :

(49.194)

Nous retrouvons donc le lagrangien habituel d'un système libre en mouvement mais plus une

constante qui n'affecte cependant pas les équations du mouvement que nous obtenons

en mécanique classique mais qui nous sera absolument nécessaire en électrodynamique.

Rappelons maintenant que le moment généralisé (cf. chapitre de Mécanique Analytique) est

défini par :

(49.195)

Nous allons voir maintenant que cette définition n'est pas fortuite. Effectivement :

(49.196)

L'hamiltonien (cf. chapitre de Mécanique Analytique) vaut :

(49.197)

ce qui donne :

(49.198)

L'hamiltonien est dans ce cas égal à l'énergie totale de la particule. Son expression nous amène

à finalement à changer un peu notre hypothèse initiale et finalement à écrire au lieu

de m dans l'expression de l'action S.

Ainsi nous avons finalement :

(49.199)

et :

(49.200)

Dans l'approximation non relativiste , devient avec un développement de MacLaurin

(cf. chapitre sur les Suites Et Séries):

(49.201)

Nous reconnaissons l'énergie cinétique usuelle, plus une constante : l'énergie au repos. Ce qui

correspond bien aux calculs que nous avions fait avant où nous avons obtenu :

(49.202)

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