Notes sur la variation relativiste du temps - 1° partie, Notes de Astronomie
Caroline_lez
Caroline_lez10 January 2014

Notes sur la variation relativiste du temps - 1° partie, Notes de Astronomie

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Notes d'astronomie sur la variation relativiste du temps - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: démonstration, résultats.
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Un événement est un phénomène qui se produit en un endroit donné et à un instant donné.

L'origine du temps étant difficile à préciser, nous préfèrerons souvent définir la notion

d'intervalle de temps comme le temps qui s'écoule entre deux événements comme il est

fréquemment d'usage.

Considérons maintenant deux événements A et B consécutifs qui se produisent au même

endroit x' (!) dans le référentiel en translation uniforme:

(49.134)

Pour l'observateur O', l'intervalle de temps est simplement :

(49.135)

Pour mesurer cet intervalle, l'observateur O dans le référentiel fixe, doit aussi imposer

que x' est commun aux deuxévénements. Alors en utilisant la relation démontrée au début de

ce chapitre:

(49.136)

nous obtenons:

(49.137)

d'où le résultat remarquable ci-dessous :

(49.138)

ce qui ce note sous forme condensée traditionnelle:

(49.139)

Donc l'observateur O mesure un intervalle de temps d'autant plus grand que le référentiel dans

lequel se déroule le phénomène se déplace rapidement. Le temps dans le référentiel mobile

semble comme dilaté par rapport à celui en vigueur dans le référentiel fixe.

Voyons un exemple d'application sympathique et simplifié (cependant) à l'extrême:

En 1971, une vérification expérimentale directe de la dilatation du temps fut effectuée. Deux

avions à bord desquels avaient été placées une horloge atomique au césium pendant leurs vols

commerciaux réguliers (l'un vers l'Est, l'autre vers l'Ouest) comparèrent leur horloge à une

troisième horloge atomique restée au sol. Cette expérimentation devenue célèbre par le temps

est appelée "expérience de Hafele-Keating".

L'avion volant vers l'Est perdit 59 [ns] alors que l'avion volant vers l'Ouest gagna 279 [ns] (la

Terre tourne sur elle-même en un jour, d'Ouest en Est). Il fut donc mesuré une différence totale

de:

(49.140)

entre les deux horloges est cette différence est nettement supérieure à celle qu'implique la

relativité générale.

Analysons l'expérience en considérant que tous les référentiels sont inertiels (ce qui élimine

donc la relativité générale).

Remarque: En toute rigueur l'effet de la relativité générale (ralentissement des horloges en

fonction de l'altitude conformément à l'effet Einstein vu dans le chapitre de Relativité Générale)

n'est absolument pas négligeable puisqu'il est d'une amplitude équivalente à celle de la

relativité restreinte.

Considérons pour l'étude trois repères inertiels, un situé au pôle Nord, un sur Terre (ailleurs

qu'au pôle nord dans l'idée!) et un dans un avion. Les intervalles de

temps et respectivement (que nous noterons de manière

abrégée pour la suite), sont reliés entre eux par la relation démontrée précédemment:

(49.141)

où nous avons donc:

(49.142)

Les repères sur Terre et dans l'avion ont donc des vitesses relatives et par rapport au

pôle nord. Le temps en avion et sur Terre sont donc reliées par:

(49.143)

Nous allons récrire cette relation:

(49.144)

Nous allons accepter l'approximation suivante:

(49.145)

où nous avons supposé au dénominateur que:

(49.146)

Pour les racines dont la valeur est de toute façon proche de 1 (puisque c est beaucoup plus

grand que les vitesses relatives considérées), nous pouvons faire un développement de Taylor

au deuxième ordre lorsque x tend vers zéro:

(49.147)

Nous pouvons alors écrire:

(49.148)

Grâce à ces approximations successives nous pouvons facilement écrire la différence entre les

deux horloges qui est alors de:

(49.149)

Selon les hypothèses initiales, la vitesse de croisière des deux avions par rapport au sol est

constante et sera notée v. La vitesse de chaque avion (non relativiste selon les approximations

précédentes!) est alors:

(49.150)

suivant que l'avion va vers l'Est et:

(49.151)

suivant que l'avion va respectivement vers l'Ouest. Alors:

(49.152)

Nous allons considérer que (c'est assez grossier...):

(49.153)

Donc il reste:

(49.154)

Nous voyons bien évidemment avec qu'avec les approximations effectuées, nous perdons

l'asymétrie de la dilatation du temps entre l'Est et l'Ouest. Celui que cela dérange peut

appliquer alors directement les valeurs numériques à la relation antéprécédente.

Le résultat précédent des approximations successives permet déjà de voir de manière formelle

et rapide que le signe sera en accord avec le résultat expérimental.

Pour une application pratique, nous prendrons la vitesse constante des avions commerciaux de

l'époque qui valait:

(49.155)

et le voyage total des avions dura 41 heures selon mesure au sol soit:

(49.156)

et la vitesse d'une point de la surface Terrestre va à la vitesse:

(49.157)

où le rayon de la Terre étant de 6'371 kilomètres (cela suppose que les avions sont sur le rayon

de l'équateur!). Nous avons donc en application numérique:

(49.

158)

ce qui mène à un résultat très proche de la mesure qui fut effectuée.

Et en utilisant directement la version non approximée:

(49.159)

où nous avons pris cette fois-ci la vitesse de rotation de la terre à la latitude conforme à

l'expérience faite en 1971:

(49.160)

Donc nous voyons que le résultat n'est dès lors plus très conforme à l'expérience!

Effectivement, il faut maintenant prendre en compte dans ce cas non approximé l'accélération

du temps du à la gravité. Nous allons devoir utiliser la relation de l'effet Einstein démontrée

dans le chapitre de Relativité Générale:

(49.161)

qui exprime donc que le temps au sol s'écoule moins rapidement que le temps à l'altitude h.

D'après le compte rendu de l'expérience, les avions ont volé à 10'000 [m] d'altitude. Ce qui

donne (l'accélération gn'est pas la même au sol qu'à l'altitude pour rappel!) une accélération du

temps:

(49.162)

Or, nous voyons que les deux avions étant tout deux à la même hauteur nous avons toujours:

(49.163)

Donc soit il y a d'autres effets, de l'ordre de la Relativité Générale, qui devraient être pris en

compte pour expliquer les 66 [ns] de différence par rapport à l'expérience, soit il s'agit d'un

problème de précision des appareils de l'époque.

Au fait, nous verrons une étude détaillée de cette expérience dans le chapitre de Relativité

Générale et nous verrons que les valeurs théoriques sont en très très bon accord avec les

résultats expérimentaux.

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