Notes sur le barycentre, Notes de Géométrie analytique et calcul
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur le barycentre, Notes de Géométrie analytique et calcul

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Notes de mathématique surle barycentre - l'analyse de propriétés des formes géométriques. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'analyse, la démonstration, les remarques.
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Barycentre.

Maintenant que nous avons abordé le minimum de la construction d'Euclide et d'Hilbert de la

géométrie, nous pouvons passer à un niveau supérieur pour faire de l'analyse de propriétés des

formes géométriques. Nous commencerons donc par étudier le concept de "barycentre", appelé

également mais plus rarement "centroïde".

Remarques:

R1. La définition du barycentre nécessite certains des outils mathématiques définis dans le chapitre

de Calcul Vectoriel . La lecture de ce chapitre est donc recommandée si le lecteur souhaite

comprendre ce qui va suivre.

R2. Les développements qui vont suivre sont aussi bien utilisés en géométrie qu'en physique!

Définition: Nous appelons "barycentre" ou "centroïde" des points du plan ou de l'espace affectés

respectivement des coefficients ( où les sont des réels tels que ) l'unique

point G tel que :

(21.100)

Le couple noté est appelé "point pondéré" ("point massif" en physique

quand représente une masse).

Remarques:

R1. En mécanique, le "centre d'inertie" d'un corps correspond au barycentre des particules qui

composent le corps en question. Chaque particule étant pondérée par sa masse propre. C'est donc le

point par rapport auquel la masse est uniformément répartie. Si la densité est constante, le centre

d'inertie se confond avec le barycentre.

R2. Le "centre de gravité" d'un corps correspond au barycentre des particules qui composent le

corps en question, chaque particule étant pondérée par son poids propre! Très souvent en

mécanique, la dimension des corps étant faible devant la rotondité de la terre, on considère un

champ de gravité uniforme. Sous cette hypothèse, le centre de gravité et le centre d'inertie sont

confondus.

R3. Lorsque pour tout point massif nous avons , nous parlons alors de

"isobarycentre".

Pour un point O arbitraire, nous avons bien évidemment par simple addition vectorielle :

(21.101)

d'où le résultat majeur :

(21.102)

En passant à la limite, si le domaine est continu, nous avons :

(21.103)

Nous pouvons très bien également travailler avec les éléments de surface ou de volumes (pour ne

faire mention que des plus triviaux) pour déterminer le barycentre :

et (21.104)

Dans l'espace muni d'un repère en notant les coordonnées du point

pondéré et celles de G, nous avons alors :

(21.105)

Voyons quelques propriétés du barycentre :

P1. Soit , n points pondérés. Si , nous avons alors pour tout

point M :

(21.106)

Démonstration:

(21.107)

Puisque par définition du barycentre :

(21.108)

nous avons alors bien :

(21.109)

C.Q.F.D.

P2. Pour , les points

pondérés et ont même barycentre car

(invariance barycentre) :

(21.110)

La démonstration est évidente (si vous ne voyez pas, contactez-nous).

P3. Le barycentre G de n points pondérés est invariant quand on remplace p d'entre eux, par leur

barycentre G', affecté de la condition de leur coefficient, G est alors le barycentre de :

(21.111)

Démonstration:

Si G' est le barycentre des points pondérés alors :

(21.112)

Pour le cas particulier où M = G :

(21.113)

Or G étant le barycentre des n points pondérés donc :

(21.114)

Comme l'égalité précédente prouve que bien que G est le barycentre des points

pondérés :

(21.115)

C.Q.F.D.

P4. Si , pour tous points M, N :

(21.116)

Démonstration:

Pour calculons :

(21.117)

puisque , nous avons alors :

(21.118)

C.Q.F.D.

Remarques: Quand un corps a une certaine symétrie, les calculs se simplifient car le barycentre doit

coïncider avec l'élément de symétrique. Si un corps, comme une sphère, un parallélépipède, etc., a

un centre de symétrie, le barycentre est confondu avec lui. Si le corps a seulement un axe de

symétrie, le barycentre est alors sur cet axe.

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