Notes sur le calcul des prédicats, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur le calcul des prédicats, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur le calcul des prédicats. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: grammaire, langage, formules.
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Calcul des prédicats.

Dans un cours de mathématiques (d'algèbre, d'analyse, de géométrie, ...), nous démontrons les

propriétés de différents types d'objets (entiers, réels, matrices, suites, fonctions continues,

courbes, ...). Pour pouvoir prouver ces propriétés, il faut bien sûr que les objets sur lesquels nous

travaillons soient clairement définis (qu'est-ce qu'un entier, un réel, ...?).

En logique du premier ordre et, en particulier, en théorie de la démonstration, les objets que nous

étudions sont les formules et leurs démonstrations. Il faut donc donner une définition précise de

ce que sont ces notions. Les termes et les formules forment la grammaire d'une langue, simplifiée

à l'extrême et calculée exactement pour dire ce que nous voulons sans ambiguïté et sans détour

inutile.

4.1. GRAMMAIRE

Définitions:

D1. Les "termes", désignent les objets dont nous voulons prouver des propriétés (nous reviendrons

un peu plus loin beaucoup plus en détail sur ces derniers) :

- En algèbre, les termes désignent les éléments d'un groupe (ou anneau, corps, espace vectoriel,

etc.). Nous manipulons aussi des ensembles d'objets (sous-groupe, sous-espace vectoriel, etc).

Les termes qui désignent ces objets, d'un autre type, seront appelés "termes du second ordre".

- En analyse, les termes désignent les réels ou (par exemple, si nous nous plaçons dans des

espaces fonctionnels) des fonctions.

D2. Les "formules", représentent les propriétés des objets que nous étudions (nous reviendrons

également beaucoup plus en détail sur ces dernières) :

- En algèbre, nous pourrons écrire des formules pour exprimer que deux éléments commutent,

qu'un sous-espace vectoriel est de dimension 3, etc.

- En analyse, nous écrirons des formules pour exprimer la continuité d'une fonction, la

convergence d'une suite, etc.

- En théorie des ensembles, les formules pourront exprimer l'inclusion de deux ensembles,

l'appartenance d'un élément à un ensemble,...

D3. Les "démonstrations", elles permettent d'établir qu'une formule est vraie. Le sens précis de ce

mot aura lui aussi besoin d'être défini. Plus exactement, elles sont des déductions sous

hypothèses, elles permettent de "mener du vrai au vrai", la question de la vérité de la conclusion

étant alors renvoyée à celle des hypothèses, laquelle ne regarde pas la logique mais repose sur la

connaissance que nous avons des choses dont nous parlons.

4.2. LANGAGES

En mathématique, nous utilisons, suivant le domaine, différents langages qui se distinguent par

les symboles utilisés. La définition ci-dessous exprime simplement qu'il suffit de donner la liste de

ces symboles pour préciser le langage.

Définition: Un "langage" est la donnée d'une famille (pas nécessairement finie) de symboles. Nous

en distinguons trois sortes : symboles, termes et formules.

Remarques:

R1. Nous utilisons quelques fois le mot "vocabulaire" ou le mot "signature" à la place du mot

"langage".

R2. Le mot "prédicat" peut être utilisé à la place du mot "relation". Nous parlons alors de "calcul

des prédicats" au lieu de "logique du premier ordre" (ce que nous avons étudié précédemment).

4.2.1 SYMBOLES

Il existe différents types de symboles que nous allons tâcher de définir :

D1. Les "symboles de constante" (voir remarque plus bas)

Exemple:

Le n pour l'élément neutre en théorie des ensembles (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles)

D2. Les "symboles de fonction" ou "foncteurs" . A chaque symbole de fonction est associé un

entier strictement positif que nous appelons son "arité" : c'est le nombre d'arguments de la

fonction. Si l'arité est 1 (resp. 2, ...,n), nous disons que la fonction est unaire (resp. binaire, ..., n-

aire)

Exemple:

Le foncteur binaire de multiplication * dans les groupes (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles).

D3. Les "symboles de relation". De la même manière, à chaque symbole de relation est associé un

entier positif ou nul (son arité) qui correspond à son nombre d'arguments et nous parlons de

relation unaire, binaire, n-aire (comme par exemple le symbole de relation "=").

D4. Les "variables individuelles". Dans toute la suite, nous nous donnerons un ensemble infini V de

variables. Les variables seront notées comme il l'est par tradition : x, y, z (éventuellement

indexées: ).

D5. A cela il faut rajouter les connecteurs et quantificateurs que nous avons longuement présenté

plus haut et sur lesquels il est pour l'instant inutile de revenir.

Remarques:

R1. Un symbole de constante peut être vu comme un symbole de fonction à 0 argument (d'arité

nulle).

R2. Nous considèrons (sauf mention contraire) que chaque langage contient le symbole de relation

binaire = (lire "égal") et le symbole de relation à zéro argument dénoté (lire "bottom" ou

"absurde") qui représente le faux. Dans la description d'un langage, nous omettrons donc souvent de

les mentionner. Le symbole est souvent redondant. Nous pouvons en effet, sans l'utiliser, écrire

une formule qui est toujours fausse. Il permet cependant de représenter le faux d'une manière

canonique et donc d'écrire des règles de démonstration générales.

R3. Le rôle des fonctions et des relations est très différent. Comme nous le verrons plus loin, les

symboles de fonction sont utilisés pour construire les termes (les objets du langage) et les symboles

de relation pour construire les formules (les propriétés de ces objets).

4.2.2. TERMES

Les termes (nous disons aussi "termes du premier ordre") représentent les objets associés au

langage.

Définitions:

Soit un langage :

D1. L'ensemble des termes sur est le plus petit ensemble contenant les variables, les

constantes et stable (on ne sort pas de l'ensemble) par l'application des symboles de fonction de

à des termes.

D2. Un "terme clos" est un terme qui ne contient pas de variables (donc par extension, seulement

des constantes).

D3. Pour obtenir une définition plus formelle, nous pouvons écrire :

(1.23)

où t est une variable ou un symbole de constante et, pour tout :

(1.24)

où f est une fonction d'arité n (rappelons que l'arité est le nombre d'arguments de la fonction).

Ainsi, pour chaque arité, il y a un degré d'ensemble de termes. Nous avons finalement :

(1.25)

D4. Nous appellerons "hauteur" d'un terme t le plus petit k tel que

Remarques :

R1. la définition D4 signifie que les variables et les constantes sont des termes et que si f est un

symbole de fonction n-aire et sont des termes alors est un terme en soi aussi.

L'ensemble des termes est défini par la grammaire:

(1.26)

Cette expression se lit de la manière suivante : un élément de l'ensemble que nous sommes en

train de définir est soit un élément de V (variables), soit un élément de (l'ensemble des symboles

de constantes), soit l'application d'un symbole de fonction à n éléments (constantes ou

variables) de .

Attention : le fait que f soit de la bonne arité est seulement implicite dans cette notation. De plus,

l'écriture ne signifie pas que tous les arguments d'une fonction sont identiques mais

simplement que ces arguments sont des éléments de .

R2. Il est souvent commode de voir un terme (expression) comme un arbre dont chaque noeud est

étiqueté par un symbole de fonction (opérateur ou fonction) et chaque feuille par une variable ou

une constante.

Dans la suite, nous allons sans cesse définir des notions (ou prouver des résultats) "par

récurrence" sur la structure ou la taille d'un terme.

Définitions:

D1. Pour prouver une propriété P sur les termes, il suffit de prouver P pour les variables et les

constantes et de prouver à partir de . Nous faisons ainsi ici une

"preuve par induction sur la "hauteur"" d'un terme. C'est une technique que nous retrouverons

dans les chapitres suivants.

D2. Pour définir une fonction sur les termes, il suffit de la définir sur les variables et les

constantes et de dire comment nous obtenons à partir de . Nous

faisons ici encore une "définition par induction sur la hauteur d'un terme".

Exemple:

La taille (nous disons aussi la "longueur") d'un terme t (notée ) est le nombre de symboles de

fonction apparaissant dans t. Formellement:

- si x est une variable et c est une constante

-

Remarque: La preuve par induction sur la hauteur d'un terme sera souvent insuffisante. Nous pourrons

alors prouver une propriété P sur les termes en supposant la propriété vraie pour tous les termes de

taille et en la démontrant ensuite pour les termes de taille n. Il s'agira alors d'une "preuve par

récurrence sur la taille du terme" (voir de tels exemples dans le chapitre de Théorie Des Nombres).

4.2.3. FORMULES

Les formules sont construites à partir de "formules atomiques" en utilisant des connecteurs et des

quantificateurs. Nous utiliserons les connecteurs et les quantificateurs suivants (qui nous sont déjà

connus) :

- connecteur unaire de négation :

- connecteurs binaires de conjonction et disjonction ainsi que d'implication : , ,

- quantificateurs : qui se lit "il existe" et qui se lit "pour tout"

Cette notation des connecteurs est standard (elle devrait du moins). Elle est utilisée pour éviter les

confusions entre les formules et le langage courant (le métalangage).

Définitions:

D1. Soit un langage, les "formules atomiques" de sont les formules de la

forme où R est un symbole de relation n-aire de et sont des termes de .

Nous notons "Atom" l'ensemble des formules atomiques. Si nous notons l'ensemble des

symboles de relation, nous pouvons écrire l'ensemble des termes mis en relations par l'expression

:

(1.27)

L'ensemble F des formules de la logique du premier ordre de est donc défini par la grammaire

(où x est une variable) :

(1.28)

où il faut lire : l'ensemble des formules est le plus petit ensemble contenant les formules et tel que

si et sont des formules alors , etc. sont des formules et qu'elles peuvent être en

relation entre elles.

Exemple:

Les symboles de relation du langage propositionnel sont des relations d'arité 0 (même le symbole

"=" est absent), les quantificateurs sont alors inutiles (puisqu'une formule propositionnelle ne peut

pas contenir des variables). Nous obtenons alors le calcul propositionnel défini par :

(1.29)

Remarquons la présence du symbole "botton" signifiant le "faux" que nous n'avions pas mentionné

lors de notre étude de la logique propositionnelle.

Nous ferons attention à ne pas confondre termes et formules. est un terme

(fonction), est une formule. Mais n'est rien : nous ne pouvons, en effet,

mettre un connecteur entre un terme et une formule (aucun sens).

Remarques:

R1. Pour définir une fonction sur les formules, il suffit de définir sur les formules atomiques.

R2. Pour prouver une propriété P sur les formules, il suffit de prouver P pour les formules

atomiques.

R3. Pour prouver une propriété P sur les formules, il suffit de supposer la propriété vraie pour

toutes les formules de taille et de la démontrer pour les formules de taille n.

D2. Une "sous-formule" d'une formule (ou expression) F est l'un de ses composants, in extenso

une formule à partir de laquelle F est construite. Formellement, nous définissons

l'ensemble SF(F) des sous-formules F par:

- Si F est atomique:

- Si (soit une composition!) avec

- Si ou avec

D3. Une formule F de n'utilise qu'un nombre fini de symboles de . Ce sous-ensemble est

appelé le "langage de la formule" et noté .

D4. La "taille (ou la longueur) d'une formule" F (notée ) est le nombre de connecteurs ou de

quantificateurs apparaissant dans F. Formellement :

- si F est une formule atomique

- où

- avec

D5. "L'opérateur principal" (nous disons aussi le "connecteur principal") d'une formule est défini

par :

- Si A est atomique, alors elle n'a pas d'opérateur principal

- Si , alors est l'opérateur principal de A

- Si où , alors est l'opérateur principal de A

- Si où , alors est l'opérateur principal de A

D6. Soit F une formule. L'ensemble des variables libres de F et l'ensemble des

variables muettes (ou liées) de F sont définis par récurrence sur .

Une occurrence d'une variable donnée est dite "variable liée" ou "variable muette" dans une

formule F si dans cette même formule, un quantificateur y fait référence. Dans le cas contraire,

nous disons avoir une "variable libre".

Remarque: Une occurrence d'une variable x dans une formule F est une position de cette variable dans la

formule F. Ne pas confondre avec l'objet qu'est la variable elle-même.

Pour préciser les variables libres possibles d'une formule F, nous noterons . Cela

signifie que les variables libres de F sont parmi in extenso si y est libre dans F, alors y est

l'un des mais les n'apparaissent pas nécessairement dans F.

Nous pouvons définir les variables muettes ou libre de manière plus formelle :

1. Si est atomique alors est l'ensemble des variables libres apparaissant

dans les et nous avons alors pour les variables muettes

2. Si où : alors

3. si alors et

4. si avec et

Exemples:

E1. Soit F : alors et

E2. Soit G : alors et

D7. Nous disons que les formules F et G sont " -équivalentes" si elles sont (syntaxiquement)

identiques à un renommage près des occurrences liées des variables.

D8. Une "formule close" est une formule sans variables libres.

D9. Soit F une formule, x une variable et t un terme. est la formule obtenue en

remplaçant dans Ftoutes les occurrences libres de x par t, après renommage éventuel des

occurrences liées de F qui apparaissent libres dans t.

Remarques:

R1. Nous noterons dans les exemples vus qu'une variable peut avoir à la fois des occurrences libres

et des occurrences liées. Nous n'avons donc pas toujours

R2. Nous ne pouvons pas renommer y en x dans la formule et obtenir la

formule : la variable x serait "capturée". Nous ne pouvons donc pas renommer des

variables liées sans précautions : il faut éviter de capturer des occurrences libres.

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