Notes sur le calcul différentiel et intégral - 1° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur le calcul différentiel et intégral - 1° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur le calcul différentiel et intégral - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le calcul différentiel, Démonstration.
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Calcul différentiel et intégral.

Le calcul différentiel est un des domaines les plus passionnants et vastes de la mathématique, et il

existe une littérature considérable (colossale) sur le sujet. Les résultats retrouvent des implications

dans absolument tous les domaines de la physique, de l'informatique, de l'électronique, de la

chimie, de la finance, de la biologie et de la mathématique elle-même.

Les mathématiciens ont rédigé une telle quantité de théorèmes sur le sujet que la validation d'un

échantillon de ceux-ci est délicate car nécessitant à eux-seuls la vie d'un homme pour être

parcourus (c'est un problème que la communauté des mathématiciens reconnaît) et vérifiés (ce qui

fait que personne ne les vérifie...).

Ce constat fait, nous avons choisi de ne présenter ici que les points absolument nécessaires à la

compréhension des outils fondamentaux de l'ingénieur. Les puristes nous excuseront donc pour

l'instant de ne pas présenter certains théorèmes qui peuvent leur sembler indispensables mais que

nous rédigerons une fois le temps venu...

Nous allons principalement étudier dans ce qui va suivre ce que les mathématiciens aiment bien

préciser (et ils ont raison) : les cas généraux des fonctions réelles à une variable réelle. Les

fonctions plus complexes (à plusieurs variables réelles ou complexes, continues ou discrètes)

viendront une fois cette partie terminée.

Remarque: Nous ne nous attarderons pas à démontrer les dérivées et primitives de toutes les

fonctions car comme il y a une infinité de fonctions possibles, il y a également une infinité de

dérivées et de primitives. C'est le rôle des professeurs dans les instituts scolaires d'entraîner les

élèves à appliquer et à comprendre le raisonnement de dérivation et d'intégration par des

applications sur des fonctions connues (l'internet ne remplacera très probablement jamais l'école à

ce niveau).

CALCUL DIFFÉRENTIEL Soit une fonction f réelle à une variable réelle x notée f(x) (nous nous limitons à ce cas de figure

pour l'instant et étudierons les dérivées partielles dans des espaces à un nombre de dimensions

quelconques plus loin) continue au moins dans un intervalle où se situe l'abscissea.

Définitions:

D1. Nous appelons "pente moyenne", ou encore "coefficient directeur" le rapport de la projection

orthogonale de deux points de la fonction f non nécessairement continue sur l'axe des

abscisses et des ordonnées tel que :

(10.1)

Ce qui se représente sous forme graphique de la manière suivante avec une fonction particulière:

(10.2)

Remarque: signifiant "un delta" exprime le fait que nous sous-entendons une différence d'une

même quantité.

Nous supposerons comme évident (sans démonstration) que deux fonctions dont les pentes sont

les mêmes dans un même intervalle de définition, y sont parallèles (ou confondues).

Nous démontrerons dans le chapitre de Géométrie Analytique que deux fonctions dont la

multiplication des pentes vaut -1 sont perpendiculaires.

D2. Nous appelons "nombre dérivé en a" ou "pente instantanée" ou encore "dérivée première", la

limite quandh tend vers 0 (si elle existe) du rapport de la projection orthogonale de deux

points infiniment proches de la fonction f continue (dans le sens qu'elle ne contient pas de

"trous") sur l'axe des abscisses et des ordonnées tel que :

(10.3)

Une interprétation graphique donne donc bien que f '(a) est le coefficient directeur (la pente de la

tangente au point d'abscisse a).

Remarques:

R1. d signifiant un "différentiel" exprime le fait que nous sous-entendons une différence infiniment

petite d'une même quantité.

R2. Nous renvoyons le lecteur au chapitre d'Analyse Fonctionnelle pour la définition de ce qu'est

une fonction continue.

D3. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en tout point a de I, la fonction qui à

tout réel a deI associe le nombre f '(a) est appelée "fonction dérivée de f sur I" et est notée f '.

Remarque: Au niveau des notations les physiciens adoptent suivant leur humeur différentes

notations possibles pour les dérivées. Ainsi, considérons la fonction réelle à une variable f(x), vous

trouverez dans la littérature ainsi que dans le présent site les notations suivantes pour la dérivée

première :

(10.4)

ou encore en considérant implicitement que f est fonction de x (ceci permet d'alléger un petit peu la

tailles des développements) :

(10.5)

Nous pouvons de la même manière définir les dérivées d'ordre 2 (dérivée d'une dérivée), les

dérivées d'ordre 3 (dérivée d'une dérivée d'ordre 2) et ainsi de suite. Nous rencontrerons par

ailleurs très fréquemment de telles dérivées en physique (et même en maths pour l'analyse

fonctionnelle).

Maintenant, suite à un problème de compréhension de la part d'un internaute dans un des

chapitres du site, précisons une technique utilisée fréquemment par les physiciens. Considérons

une dérivée d'ordre 2 telle que :

(10.6)

Si nous regardons le d/dx comme un opérateur différentiel nous pouvons bien évidemment écrire

:

(10.7)

Finalement nous avons :

(10.8)

et donc il vient après simplification par f(x) :

(10.9)

sinon quoi nous ne pouvons pas avoir cette égalité si l'opérateur agit explicitement sur une

fonction dans une relation mathématique ou physique quelconque.

Cela peut paraître évident pour certains mais parfois moins pour d'autres et il était visiblement

utile de préciser cela car c'est souvent utilisé dans les chapitre de relativité et physique quantique.

Indiquons et démontrons maintenant deux propriétés intuitivement évidente des dérivées et qui

nous seront plusieurs fois indispensables pour certaines démonstrations sur ce site (comme par

exemple dans le chapitre de méthodes numériques ou ici même...).

Considérons d'abord deux nombres réels et f une fonction à valeurs réelles continue sur

[a,b] et dérivable sur ]a,b[ telle que . Alors nous voulons démontrer qu'il existe bien

évidemment au moins un élément c de ]a,b[ tel que (c'est typiquement le cas des

fonctions polynômial!).

Cette propriété est appelée "théorème de Rolle" et donc explicitement elle montre qu'il existe au

moins un élément où la dérivée de f est nulle si en la parcourant nous revenons à la même valeur

des images pour deux valeurs distinctes des abscisses, c'est-à-dire qu'il existe au moins un point

où la tangente est horizontale.

Démonstration:

Si f est constante, c'est immédiat...

Dans le cas contraire, comme f est continue sur l'intervalle fermé borné [a,b] elle admet au moins

un minimum global ou maximum global compte tenu que nous nous basons sur l'hypothèse

que et que f n'est pas constante. L'extrema est atteint en un point c appartenant à

l'intervalle ouvert ]a,b[ (le fait de prendre l'intervalle ouvert permet dans certains cas d'éviter

d'avoir un extrema à nouveau en a ou en b).

Supposons comme premier cas que f(c) est maximum global. La dérivée de la fonction f entre c et

un deuxième point ont alors un signe connu.

Pour h strictement positif et tel que c+h appartienne à l'intervalle [a,b] :

(10.10)

En considérant la limite quand h tend vers 0, le nombre dérivé est négatif.

Pour h strictement négatif et tel que c+h appartienne à l'intervalle [a,b] :

(10.11)

En considérant la limite quand h tend vers 0, le nombre dérivé f '(c) est positif.

Au bout du compte, la dérivée de f est nulle au point c.

La démonstration est analogue si f(c) est un minimum global, avec les signes des dérivées qui sont

les opposés.

C.Q.F.D.

Maintenant, considérons deux réels et f(x) une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur

]a,b[. Alors, nous nous proposons de montrer qu'il existe au moins un réel tel que :

(10.12)

Ce qui peut aussi s'écrire sous la forme suivante :

(10.13)

avec .

Géométriquement cela signifie qu'en au moins un point c du graphe de la fonction f(x), il existe

une tangente de coefficient directeur :

(10.14)

Graphiquement cela donne :

.

(10.15)

Démonstration:

Nous avons d'abord :

(10.16)

car la pente de h(x) est bien évidemment et comme lorsque nous

devons avoirf(a) il s'ensuit donc la relation donnée précédemment.

Ensuite, pour démontrer qu'un tel point c existe, l'idée est de rapporter les deux points a et b à la

même ordonnée ce qui en fait nous ramène au théorème de Rolle et pour cela, nous définissons

une fonction g par :

(10.17)

qui est telle que effectivement ... et en l'occurrence égal à 0 (mais cette valeur importe

peu). Dès lors, le théorème de Rolle vu précédemment nous indique qu'il existe un point

entre a et b où la dérivée de g(x) est nulle tel que . Et en constatant que :

(10.18)

nous obtenons :

(10.19)

Soit après simplification :

(10.20)

C.Q.F.D.

Puisque le terme de gauche représente un accroissement fini du terme de droite, alors ce résultat

est appelée "théorème des accroissements finis" (TAF).

A l'aide de ce petit théorème et des outils mathématiques introduits précédemment, nous pouvons

construire un petit théorème fort utile et puissant en physique.

Définition: Nous appelons "règle de L'Hôpital" (également appelée "règle de l'Hospital" ou "règle de

Bernoulli") le procédé qui utilise la dérivée dans le but de déterminer les limites difficiles à calculer

de la plupart des quotients et qui apparaissent souvent en physique.

Démonstration:

Considérons deux fonctions f(x) et g(x) et telles que alors nous pouvons écrire:

(10.21)

Alors selon la définition de la dérivée:

(10.22)

C.Q.F.D.

Nous pouvons généraliser ce résultat précédent initialement basé sur la contrainte un peu trop

forte:

(10.23)

Démonstration:

Rappelons donc que selon le théorème des accroissements finis, si f(x) est dérivable sur un

intervalle ]a,b[ et continue sur [a,b] alors il existe un réel c dans l'intervalle [a,b] tel que:

(10.24)

Si le théorème se vérifie pour deux fonctions satisfaisant aux mêmes contraintes alors nous avons

deux fonctions telles que:

et (10.25)

Si g'(c) est non nul nous avons alors tout à fait le droit d'écrire le rapport (certains appellent cela le

"théorème des accroissements fini généralisé"...) :

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