Notes sur le calcul intégral - 1° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur le calcul intégral - 1° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur le calcul intégral - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: intégrale définie, intégrale indéfinie, Démonstration.
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Calcul intégral.

Nous allons aborder ici les principes élémentaires et de base du calcul intégral. La suite (avec plus

de rigueur) viendra en fonction du temps qui est la disposition des responsables du site.

INTéGRALE DÉFINIE

Une valeur approchée de l'aire sous une courbe peut être obtenue par un découpage en n bandes

rectangulaires verticales de même largeur. En particulier on peut réaliser un encadrement de cette

aire à l'aide d'une somme majorante et d'une somme minorante pour un découpage

donné.

(10.153)

Supposons que le nombre n de bandes tende vers l'infini. Comme les bandes sont de même

largeur, la largeur de chaque bande tend vers 0.

Si les sommes et ont toutes deux une limite lorsque, le nombre n de bandes, tend vers

l'infini, alors l'aire A sous la courbe est comprise entre ces deux limites.

Nous avons :

(10.154)

Si ces deux limites sont égales, leur valeur est celle de l'aire sous la courbe.

D'où une première définition de l'intégrale définie ou dite "intégrale de Riemann":

Soit un intervalle [a, b], divisé en n parties égales, soit f une fonction continue sur l'intervalle [a, b],

soit , la somme algébrique minorante et soit , la somme algébrique majorante. Nous

appelons "intégrale définie" def, depuis a jusqu'à b, notée :

(10.155)

le nombre A tel que :

(10.156)

pourvu que cette limite existe. Si cette limite existe, alors nous disons que f est "intégrable" sur

[a, b] et l'intégrale définie existe.

Intuitivement, il est évident que lorsque , nous étendons la définition ainsi :

(10.157)

Remarques:

R1. Pour calculer l'aire majorante et l'aire minorante, il n'est pas nécessaire que la largeur des sous-

intervalles du découpage soit la même partout.

R2. Le fait de chercher cette limite s'appelle "calculer l'intégrale".

R3. Les nombres a et b sont appelés les "bornes d'intégration", a est la "borne inférieure", b est la

"borne supérieure".

R4. D'autres lettres que x peuvent être employées dans la notation de l'intégrale définie. Ainsi

si f est intégrable sur [a, b], alors etc. C'est la raison pour laquelle

la variable x de la définition est dite "variable muette".

R5. Comme nous le verrons plus loin, il est essentiel de ne pas confondre "intégrale définie"et

"intégrale indéfinie". Ainsi, une intégrale indéfinie, notée est une fonction, ou, plus

précisément, une famille de fonctions appelées aussi "primitives de f" (voir plus bas) alors qu'une

intégrale définie, notée est une constante.

INTéGRALE INDÉFINIE

Nous avons vu précédemment lors de notre études des dérivées, le problème suivant : étant

donnée une fonctionF(x), trouver sa dérivée, c'est-à-dire la fonction:

(10.158)

Définition: Nous disons que la fonction F(x) est une "primitive" ou "intégrale indéfinie" de la

fonction f(x) sur le segment [a, b], si en tout point de ce segment nous avons

l'égalité .

Une autre manière de voire le concept d'intégrale indéfinie est de passer par le théorème

fondamental du calcul intégral (et différentiel) appelé aussi parfois "théorème fondamental de

l'analyse" qui s'énonce ainsi :

Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé [a, b].

P1. Si A est la fonction définie par pour tout X dans [a, b], alors A est la primitive

de f sur [a,b] qui s'annule en a.

P2. Si F est une primitive de f sur [a, b], alors .

Démonstration:

Soit la fonction :

(10.159)

Si f est positive et (la démonstration dans le cas où est proposée similaire) et

comme , nous pouvons nous représenter A(X) comme l'aire sous la courbe

de f depuis jusqu'à .

(10.160)

Pour démontrer que A est une primitive de f , nous allons prouver que . Selon la définition

de la dérivée :

(10.161)

Etudions ce quotient: est représentée par l'aire de la bande de largeur h, prise

en sandwich entre deux rectangles de largeur h.

Soit M le maximum de f sur l'intervalle et m le minimum de f sur ce même intervalle.

Les aires respectives des deux rectangles sont Mh et mh.

Nous avons alors la double inégalité suivante :

(10.162)

Comme h est positif, on peut diviser par h sans changer le sens des inégalités :

(10.163)

Lorsque et si f est une fonction continue, alors M et m ont pour limite f(X) , et le rapport:

(10.164)

qui est compris entre m et M, a bien pour limite f(X).

Comme pour tout X, ceci nous montre que la dérivée de la fonction aire est f.

Ainsi A est une primitive de f. Comme , A est bien la primitive de f qui s'annule en a.

C.Q.F.D.

Avant de commencer la démonstration de la deuxième propriété du théorème fondamental,

donnons et démontrons le théorème suivant qui va nous être indispensable :

Si et sont deux primitives de la fonction f(x) sur le segment [a, b], leur différence est

une constante (ce théorème est très important en physique pour ce qui est de l'étude de ce que

nous appelons les "conditions initiales").

Démonstration:

Nous avons en vertu de la définition de la primitive :

(10.165)

pour .

Posons :

(10.166)

Nous pouvons écrire :

(10.167)

Il vient donc de ce que nous avons vu pendant notre étude des dérivées que .

Nous avons alors:

(10.168)

C.Q.F.D.

Il résulte de ce théorème que si nous connaissons une primitive quelconque F(x) de la

fonction f(x), toute autre primitive de cette fonction sera de la forme :

(10.169)

Donc finalement, nous appelons "intégrale indéfinie" de la fonction f(x) et nous notons :

(10.170)

toute expression de la forme où F(x) est une primitive de f(x). Ainsi, par convention

d'écriture :

(10.171)

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