Notes sur le calcul intégral - 2° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur le calcul intégral - 2° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur le calcul intégral - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction à intégrer, la démonstration.
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si et seulement si .

Dans ce contexte, f(x) est également appelée "fonction à intégrer" et f(x)dx, "fonction sous le signe

somme".

Géométriquement, nous pouvons considérer l'intégrale indéfinie comme un ensemble (famille) de

courbes telles que nous passons de l'une à l'autre en effectuant une translation dans le sens

positif ou négatif de l'axe des ordonnés.

Revenons-en à la démonstration du point (2) du théorème fondamental de l'analyse :

Démonstration:

Soit F une primitive de f.

Puisque deux primitives diffèrent d'une constante, nous avons bien:

(10.172)

ce que nous pouvons écrire aussi:

(10.173)

pour tout X dans [a, b]. Le cas particulier donne et

donc et . En remplaçant, nous obtenons :

(10.174)

Comme cette identité est valable pour tout X de l'intervalle , elle est vraie en particulier

pour . D'où :

(10.175)

C.Q.F.D.

Remarques:

R1. Le théorème fondamental qui montre le lien entre primitive et intégrale a conduit à utiliser le

même symbole pour écrire une primitive, qui est une fonction, et une intégrale, qui elle, est un

nombre.

R2. Nous avons également démontré dans le chapitre de Mécanique Analytique comment calculer à

l'aide d'une intégrale la longueur d'une courbe dans le plan si la fonction f(x) est explicitement

connue.

Voici quelques propriétés triviales de l'intégration qu'il est bon de se rappeler car souvent utilisée

ailleurs sur le site (si cela ne vous semble pas évident, contactez-nous et nous le détaillerons) :

P1. La dérivée d'une intégrale indéfinie est égale à la fonction à intégrer :

(10.176)

P2. La différentielle d'une intégrale indéfinie est égale à l'expression sous le signe somme :

(10.177)

P3. L'intégrale indéfinie de la différentielle d'une certaine fonction est égale à la somme de cette

fonction et d'une constante arbitraire :

(10.178)

P4. L'intégrale indéfinie de la somme (ou soustraction) algébrique de deux ou plusieurs fonctions

est égale à la somme algébrique de leurs intégrales (ne pas oublier que l'on travail avec l'ensemble

des primitives et non des primitives particulières!):

(10.179)

Démonstration:

Pour démontrer cela nous allons prouver que la dérivée du membre de gauche permet de trouver

le membre de droit et inversement (réciproque) à l'aides des propriétés précédentes.

D'après P1 nous avons :

(10.180)

Vérifions s'il en est de même avec le membre de droite (nous supposons connues les propriétés

des dérivées que nous avons démontrées au début de ce chapitre) :

(10.181)

C.Q.F.D.

P5. Nous pouvons sortir un facteur constant de sous le signe somme, c'est-à-dire :

(10.182)

Nous justifions cette égalité en dérivant les deux membres (et d'après les propriétés des dérivées)

:

(10.183)

P6. Nous pouvons sortir un facteur constant de l'argument de la fonction intégrée (plutôt rarement

utilisée) :

(10.184)

En effet, en dérivant les deux membres de l'égalité nous avons d'après les propriétés des dérivées

:

(10.185)

P7. L'intégration d'une fonction dont l'argument est sommé (ou soustrait) algébriquement est la

primitive de l'argument sommé (respectivement soustrait) :

(10.186)

Cette propriété ce démontre également identiquement à la précédente à l'aide des propriétés des

dérivées.

P8. La combinaison des propriétés P6 et P7 nous permettent d'écrire :

(10.187)

P9. Soit f une fonction continue sur [a,b], nous avons pour :

Ce théorème découle immédiatement de la définition de l'intégrale indéfinie. F étant une primitive

de f sur [a,b] nous avons:

P10. Voilà une propriété souvent utilisée dans le chapitre de Statistiques du site (nous ne trouvons

pas de moyen d'exprimer cette propriété par le langage courant donc...) :

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