Notes sur le calcul propositionnel - 1° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur le calcul propositionnel - 1° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur le calcul propositionnel - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le "calcul propositionnel" (ou "logique propositionnelle"), Définitions, les propositions, les connecteurs....
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Calcul propositionnel.

Le "calcul propositionnel" (ou "logique propositionnelle") est un préliminaire absolument

indispensable pour aborder une formation en sciences, philosophie, droit, politique, économie,

etc. Ce type de calcul autorise des procédures de décisions ou tests. Ceux-ci permettent de

déterminer dans quel cas une expression (proposition) logique est vraie et en particulier si elle est

toujours vraie.

Définitions:

D1. Une expression toujours vraie quel que soit le contenu linguistique des variables qui la

composent est appelée une "expression valide", une "tautologie", ou encore une "loi de la logique

propositionnelle".

D2. Un expression toujours fausse est appelée une "contradiction" ou "antologie"

D3. Une expression qui est parfois vraie, parfois fausse est appelée une "expression contingente"

D4. Nous appelons "assertion" une expression dont nous pouvons dire sans ambiguïté s'il elle est

vraie ou fausse.

D5. Le "langage objet" est le langage utilisé pour écrire les expressions logiques.

D6. Le "métalangage" est le langage utilisé pour parler du langage objet dans la langue courante

Remarques:

R1. Il existe des expressions qui ne sont effectivement pas des assertions. Par exemple, l'énoncé :

"cet énoncé est faux", est un paradoxe qui ne peut être ni vrai, ni faux.

R2. Soit un expression logique A. Si celle-ci est une tautologie, nous la notons fréquemment et

s'il l'expression est une contradiction, nous la notons .

3.1. PROPOSITIONS

Définition: En logique, une "proposition" est une affirmation qui a un sens. Cela veut dire que nous

pouvons dire sans ambiguïté si cette affirmation est vraie (V) ou fausse (F). C'est ce que nous

appelons le "principe du tiers exclu".

Exemple:

"Je mens" n'est pas une proposition. Si nous supposons que cette affirmation est vraie, elle est une

affirmation de sa propre invalidité, donc nous devrions conclure qu'elle est fausse. Mais si nous

supposons qu'elle est fausse, alors l'auteur de cette affirmation ne ment pas, donc il dit la vérité,

aussi la proposition serait vraie.

Définition: Une proposition en logique binaire (où les propositions sont soit vraies, soit fausses)

n'est donc jamais vraie et fausse à la fois. C'est que nous appelons le "principe de non-

contradiction".

Ainsi, une propriété sur l'ensemble E des propositions est une application P de E dans l'ensemble

des "valeurs de vérité" :

(1.2)

Nous parlons de "sous-ensemble associé", lorsque la proposition engendre uniquement une

partie E' de E et inversement.

Exemple:

Dans , si P(x) s'énonce "x est pair" , alors ce qui est bien seulement un

sous-ensemble associé de E mais de même cardinal (cf. chapitre Théorie Des Ensembles).

Définition: Soit P une propriété sur l'ensemble E. Une propriété Q sur E est une "négation" de P si

et seulement si, pour tout :

- est F si P(x) est V

- est V si P(x) est F

Nous pouvons rassembler ces conditions dans une table dite "table de vérité" :

PQ

VF

FV

Tableau: 1.1 - Table de vérité des valeurs

En d'autres termes, P et Q ont toujours des valeurs de vérité contraires. Nous noterons ce genre

d'énoncé "Q est une négation de P" :

(1.3)

où le symbole est le "connecteur de négation".

Remarque: Les expressions doivent être des expressions bien formées (souvent abrégé "ebf"). Par

définition, toute variable est une expression bien formée, alors est une expression bien formée.

Si P,Q sont des expressions bien formées, alors est une expression bien formée (l'expression "je

mens" n'est pas bien formée car elle se contredit elle-même).

3.2. CONNECTEURS

Il y a d'autres types de connecteurs en logique :

Soit P et Q deux propriétés définies sur le même ensemble E. (lire "P ou Q") est une

propriété surE définie par :

- est vraie si au moins l'une des propriétés P, Q est vraie

- est fausse sinon

Nous pouvons créer la table de vérité du "connecteur OU" ou "connecteur de disjonction" :

PQ

VVV

VFV

FVV

FFF

Tableau: 1.2 - Table de vérité de OU

Il est facile de se convaincre que, si les parties P, Q de E sont respectivement associées aux

propriétés P, Q que (cf. chapitre Théorie Des Ensembles) est associé à .

(1.4)

Le connecteur est associatif. Pour s'en convaincre, il suffit de faire une table vérité où nous

vérifions que :

(1.5)

Il existe également le "connecteur ET" ou "connecteur de conjonction" pour quel que

soient P, Q deux propriétés définies sur E, est une propriété sur E définie par :

- est vraie si toutes les deux propriétés P, Q sont vraies

- est fausse sinon

Nous pouvons créer la table de vérité du connecteur :

PQ

VVV

VFF

FVF

FFF

Tableau: 1.3 - Table de vérité de ET

Il est également facile de se convaincre que, si les parties P, Q de E sont respectivement associées

aux propriétésP, Q que (cf. chapitre Théorie Des Ensembles) est associé à :

(1.6)

Le connecteur est associatif. Pour s'en convaincre, il suffit aussi de faire une table vérité où

nous vérifions que:

(1.7)

Les connecteurs sont distributifs l'un sur l'autre. A l'aide d'une simple table de vérité, nous

prouvons que:

(1.8)

ainsi que:

(1.9)

Une négation de est une négation de est tel que

pour résumer:

(1.10)

A nouveau, ces propriétés peuvent se démontrer par une simple table de vérité.

Remarque: Pour voir les détails de tous les opératures logiques, le lecteur devra se rendre dans le chapitre

d'Algèbre De Boole (cf. section d'Informatique Théorique) où l'identité, la double négation, l'idempotence,

l'associativité, la distributivité, les relations de De Morgan sont présentées plus formellement.

Revenons maintenant sur le "connecteur d'implication logique" appelé aussi parfois le

"conditionnel" noté " "

Remarque: Dans certains ouvrages sur le calcul propositionnel, ce connecteur est noté " " et dans le

cadre de la théorie de la démonstration nous lui préférons souvent le symbole " ".

Soient P, Q deux propriétés sur E. est une propriété sur E définie par:

- est fausse si P est vraie et Q fausse

- est vraie sinon

En d'autres termes, P implique logiquement Q signifie que Q est vrai pour toute évaluation pour

laquelle P est vraie. L'implication représente donc le "si... alors.."

Si nous écrivons la table de vérité de l'implication (attention à l'avant dernière ligne !!!) :

P Q

V V V

V F F

F V V

F F V

Tableau: 1.4 - Table de vérité de l'implication

Si , nous pouvons dire que pour que Q soit vraie, il suffit que P soit vraie (effectivement

l'implication sera vraie si P est vraie ou fausse selon la table de vérité). Donc P est une condition

suffisante de Q (mais non nécessaire!). D'un autre côté, est équivalent à . Donc,

si Q est fausse, il est impossible que P soit vraie (pour que l'implication reste vraie bien sûr!). Donc

finalement Q est une condition nécessaire deP.

Exemples:

E1. Soit la proposition : "Si tu obtiens ton diplôme, je t'achète un ordinateur"

Parmi tous les cas, un seul correspond à une promesse non tenue: celui où l'enfant à son diplôme,

et n'a toujours pas d'ordinateur (deuxième ligne dans le tableau).

Et le cas où il n'a pas le diplôme, mais reçoit quand même un ordinateur? Il est possible qu'il ait

été longtemps malade et a raté un semestre, et le père a le droit d'être bon.

Que signifie cette promesse, que nous écrirons aussi : "Tu as ton diplôme je t'achète un

ordinateur" ? Exactement ceci:

- Si tu as ton diplôme, c'est sûr, je t'achète un ordinateur (je ne peux pas ne pas l'acheter)

- Si tu n'as pas ton diplôme, je n'ai rien dit

E2. De toute proposition fausse nous pouvons déduire toute proposition (deux dernières lignes)

C'est un exemple plutôt anecdotique : dans un cours de Russell portant sur le fait que d'une

proposition fausse, toute proposition peut être déduite, un étudiant lui posa la question suivante :

- "Prétendez-vous que de 2 + 2 = 5, il s'ensuit que vous êtes le pape ? "

- "Oui", fit Russell

- "Et pourriez-vous le prouver !", demanda l'étudiant sceptique

- "Certainement", réplique Russell, qui proposa sur le champ la démonstration suivante.

(1) Supposons que 2 + 2 = 5

(2) Soustrayons 2 de chaque membre de l'égalité, nous obtenons 2 = 3

(3) Par symétrie, 3 = 2

(4) Soustrayant 1 de chaque côté, il vient 2 =1

Maintenant le pape et moi sommes deux. Puisque 2 = 1, le pape et moi sommes un. Par suite, je

suis le pape.

Sur ce ...

Le connecteur d'implication est essentiel en mathématiques, philosophie, etc. C'est un des

fondements de toute démonstration, preuve ou déduction.

Le connecteur d'implication a comme propriétés (vérifiables à l'aide de la table de vérité ci-

dessous) :

(1.11)

conséquence de la dernière propriété (à nouveau vérifiable par une table de vérité) :

(1.12)

Le "connecteur d'équivalence logique" ou "bi-conditionnel" noté " " ou " " signifiant par

définition que :

(1.13)

en d'autres termes, la première expression a la même valeur pour toute évaluation de la deuxième.

Ce que nous pouvons vérifier à l'aide d'une table de vérité:

PQ

VVVVV

VFFVF

FVVFF

FFVVV

Tableau: 1.5 - Table de vérité de l'équivalence logique

signifie bien (lorsqu'il est vrai!) que "P et Q ont toujours la même valeur de vérité" ou

encore "P et Q sont équivalents". C'est vrai si P et Q ont même valeur, faux dans tout cas

contraire.

Bien évidemment (c'est une tautologie) :

(1.14)

La relation équivaut donc à ce que P soit une condition nécessaire et suffisante de Q et à

ce queQ soit une condition nécessaire et suffisante de P.

La conclusion, est que les conditions de type "nécessaire, suffisant, nécessaire et suffisant"

peuvent être reformulés avec les termes "seulement si", "si", "si et seulement si".

Ainsi :

1. traduit le fait que Q est une condition nécessaire pour P ou dit autrement, P est

vraie seulement si Qest vraie (dans le table de vérité, lorsque prend la valeur 1 on constate

bien que P vaut 1 seulement siQ vaut 1 aussi). On dit aussi, si P est vraie alors Q est vraie.

2. ou ce qui reviens au même traduit le fait que Q est une

condition suffisante pour P ou dit autrement, P est vraie si Q est vraie (dans le table de vérité,

lorsque prend la valeur 1 on constate bien que P vaut 1 si Q vaut 1 aussi).

3. traduit le fait que Q est une condition nécessaire et suffisante pour P ou dit

autrement, P est vraiesi et seulement si Q est vraie (dans le table de vérité, lorsque prend

la valeur 1 on constate bien que Pvaut 1 si Q vaut 1 et seulement si Q vaut 1).

Remarque: L'expression "si et seulement si" correspond donc à une équivalence logique et ne peut être

utilisée pour décrire un implication!!

La première étape du calcul propositionnel est donc la formalisation des énoncés du langage

naturel. Pour réaliser ce travail, le calcul propositionnel fournit finalement trois types d'outils :

1. Les "variables propositionnelles" (P, Q, R,...) symbolisent des propositions simples quelconques.

Si la même variable apparaît plusieurs fois, elle symbolise chaque fois la même proposition.

2. Les cinq opérateurs logiques :

3. Les signes de ponctuation se réduisent aux seules parenthèses ouvrante et fermante qui

organisent la lecture de manière à éviter toute ambiguïté.

Voici un tableau récapitulatif :

Description Symbole Utilisation

La "négation" est un opérateur qui ne porte que sur une

proposition, il est unaire ou monadique. "Il ne pleut

pas" s'écrit . Cet énoncé est vrai si et seulement

si P est faux (dans ce cas s'il est faux qu'il pleut).

L'usage classique de la négation est caractérisé par la loi

de double négation : est équivalent à P.

La "conjonction" ou "produit logique" est un opérateur

binaire, elle met en relation deux propositions."Tout

homme est mortel ET Ma voiture perd de l'huile"

s'écrit . Cette dernière expression est vraie si et

seulement si P est vrai et Q est vrai.

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