Notes sur le calcul propositionnel - 2° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur le calcul propositionnel - 2° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur le calcul propositionnel - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: La "disjonction" ou "somme logique", "L'implication", La "bi-implication", les procédures de décision, les ...
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La "disjonction" ou "somme logique" est, elle aussi, un

opérateur binaire. est vrai si et seulement

si P est vrai ou Q est vrai. Nous pouvons comprendre ce

OU de deux façons : soit de manière inclusive, soit de

manière exclusive. Dans le premier cas est vrai

si P est vrai, si Q est vrai ou si P et Q sont tous deux

vrais. Dans le second cas, est vrai si P est vrai

ou si Q est vrai mais pas si les deux le sont. La

disjonction du calcul propositionnel est le OU inclusif

et on donne au OU exclusif le nom "d'alternative".

"L'implication" est également un opérateur binaire. Elle

correspond, en gros, au schéma linguistique

"Si...alors...". "Si j'ai le temps, j'irai au cinéma"

s'écrit . est faux si P est vrai et Q est

faux. Si le conséquent (ici Q) est vrai,

l'implication est vraie. Lorsque l'antécédent

(ici P) est faux, l'implication est toujours vraie. Cette

dernière remarque peut être comprise si l'on se réfère à

des énoncés de type : "Si on pouvait mettre Paris en

bouteille, on utiliserait la tour Eiffel comme bouchon."

En résumé, une implication est fausse si et seulement si

son antécédent est vrai et son conséquent est faux.

La "bi-implication" est, elle aussi, binaire : elle

symbolise les expressions "... si et seulement si..." et "...

est équivalent à..."L'équivalence entre deux

propositions est vraie si celles-ci ont la même valeur de

vérité. La bi-implication exprime donc aussi une forme

d'identité et c'est pourquoi elle est souvent utilisée dans

les définitions.

Tableau: 1.6 - Récapitulatif des opérateurs

Il est possible d'établir des équivalences entre ces opérateurs. Nous avons déjà vu comment le bi-

conditionnel pouvait se définir comme un produit de conditionnels réciproques, voyons

maintenant d'autres équivalences :

(1.15)

Remarque: Les opérateurs classiques peuvent donc être définis à l'aide de grâce aux lois

d'équivalence entre opérateurs.

Sont à noter également les deux relations de De Morgan (cf. chapitre d'Algèbre de Boole) :

(1.16)

Elles permettent de transformer la disjonction en conjonction et vice-versa :

(1.17)

3.3. PROCÉDURES DE DÉCISION

Nous avons introduit précédemment les éléments de base nous permettant d'opérer sur des

expressions à partir de propriétés (variables propositionnelles) sans toutefois dire grand chose

quant à la manipulation de ces expressions. Alors, il convient maintenant de savoir qu'en calcul

propositionel qu'il existe deux manières d'établir qu'une proposition est un loi de la logique

propositionnelle. Nous pouvons soit :

1. Employer des procédures non axiomatisées

2. Recourir à des procédures axiomatiques et démonstratives

Remarque: Dans de nombreux ouvrages ces procédures sont présentées avant même la structure du

langage propositionnel. Nous avons choisi de faire le contraire pensent que l'approche serait plus aisée.

3.3.1. PROCÉDURES DE DÉCISIONS NON AXIOMATISÉES

Plusieurs de ces méthodes existent mais nous nous limiterons ici à la plus simple et à la plus

parlante d'entre elles, celle du calcul matriciel, souvent appelée aussi "méthodes des tables de

vérité".

La procédure de construction est comme nous l'avons vu précédemment assez simple.

Effectivement, la valeur de vérité d'une expression complexe est fonction de la valeur vérité des

énoncés plus simples qui la composent, et finalement fonction de la valeur de vérité des variables

propositionelles qui la composent. En envisageant toutes les combinaisons possibles des valeurs

de vérité des variables de propositionnelles, nous pouvons déterminer les valeurs de vérité de

l'expression complexe.

Les tables de vérité, comme nous l'avons vu, permettent donc de décider, à propos de toute

proposition, si celle-ci est une tautologie (toujours vraie), une contradiction (toujours fausse) ou

une expression contingente (parfois vraie, parfois fausse).

Nous pouvons ainsi distinguer quatre façons de combiner les variables propositionnelles, les

paranthèses et les connecteurs :

Nom Description Exemple

1 Enoncé mal formé Non-sens. Ni vrai, ni faux

2 Tautologie Enoncé toujours vrai

3 Contradiction Enoncé toujours faux

4 Enoncé contingent Enoncé parfois vrai, parfois faux

Tableau: 1.7 - Combinaison de variables propositionnelles

La méthode des tables de vérité permet de déterminer le type d'expression bien formée face

auquel nous nous trouvons. Elle n'exige en principe aucune invention, c'est une procédure

mécanique. Les procédures axiomatisées, en revanche, ne sont pas entièrement mécaniques.

Inventer une démonstration dans le cadre d'un système axiomatisé demande parfois de l'habilité,

de l'habitude ou de la chance. Pour ce qui est des tables de vérité, voici la marche à suivre :

Lorsqu'on se trouve face à un expression bien formée, ou fonction de vérité, nous commencons

par déterminer à combien de variables propositionnelles distinctes nous avons affaire. Ensuite,

nous examinons les différents arguments qui constituent cette expression. Nous construisons

alors un tableau comprenant rangées (n étant le nombre de variables) et un nombre de

colonnes égal au nombre d'arguments plus des colonnes pour l'expression elle-même et ses

autres composantes. Nous attribuons alors aux variables les différentes combinaisons de vérité et

de fausseté qui peuvent leur être conférées (la vérité est exprimée dans la table par un 1 et la

fausseté par un 0). Chacune des rangées correspond à un monde possible et la totalité des

rangées constitue l'ensemble des mondes possibles. Il existe, par exemple, un monde possible

dans lequel P est une proposition vraie tandis que Q est fausse.

3.3.2. PROCÉDURES DE DÉCISIONS AXIOMATISÉES

L'axiomatisation d'une théorie implique, outre la formalisation de celle-ci, que nous partions d'un

nombre fini d'axiomes et que, grâce à la transformation réglée de ces derniers, que nous puissions

obtenir tous les théorèmes de cette théorie. Nous pardons donc de quelques axiomes dont la

vérité est posée (et non démontrée). Nous déterminons des règles de déduction permettant de

manipuler les axiomes ou toute expression obtenue à partir de ceux-ci. L'enchaînement de ces

déductions est une démonstration qui conduit à un théorème, à une loi.

Nous allons sommairement présenter deux systèmes axiomatiques, chacun étant constitué

d'axiomes utilisant deux règles dites "règles d'inférence" (règles intuitives) particulières :

1. Le "modus ponens" : si nous avons prouvé A et , alors nous pouvons déduire B. A est

appelé la "prémisse mineure" et la prémisse majeure de la règle du modus ponens.

Exemple:

De et nous pouvons déduire

2. La "substitution" : nous pouvons dans un schéma d'axiome remplacer une lettre par une

formule quelconque, pourvue que toutes les lettres identiques soient remplacées par des formules

identiques.

Donnons à titre d'exemple, deux systèmes axiomatiques : le système axiomatique de Whithead et

Rusell, le système axiomatique de Lukasiewicz.

1. Le système axiomatique de Whitehead et Russel adopte comme symboles primitifs et

définit à partir de ces derniers de la manière suivante (relations facilement vérifiables à

l'aide de tables de vérité) :

(1.18)

nous avions déjà présenté plus haut quelque uns de ces éléments.

Ce système comprend cinq axiomes, assez évidents en soi plus les deux règles d'inférence. Les

axiomes sont donnés ici en utilisant des symboles non primitifs, comme le faisaient Whitehead et

Russel :

A1.

A2.

A3.

A4.

A5.

Remarque: Ces cinq axiomes ne sont pas indépendants les uns des autres. Le quatrième peut être obtenu à

partir des quatre autres.

Exemple:

Pour prouver , nous pouvons procéder ainsi :

(1.19)

2. Le système axiomatique Lukasiewicz comprend les trois axiomes suivants, plus les deux règles

d'inférences (modus ponens et substitution):

A1.

A2.

A3.

Voici des preuves des deux premiers axiomes, dans le système de Whitehead et Russel. Ce sont les

formules (6) et (16) de la dérivation suivante :

(1.20)

Ces axiomatisations permettent de retrouver comme théorème toutes les tautologies ou lois de la

logique propositionnelle. De par tout ce qui a été dit jusqu'à maintenant, nous pouvons tenter de

définir ce qu'est une preuve.

Définition: Une suite finie de formules est appelée "preuve" à partir des

hypothèses si pour chaque i :

- est l'une des hypothèses

- ou est une variante d'un axiome

- ou est inférée (par application de la règle du modus ponens) à partir de la prémisse

majeure et de la prémisse mineure où

- ou est inférée (par application de la règle de substitution) à partir d'une prémisse

antérieure , la variable remplacée n'apparaissant pas dans

Une telle suite de formules, étant la formule finale de la suite, est appelée plus explicitement

"preuve de " à partir des hypothèses , ce que nous notons par :

(1.21)

Remarque: Il faut noter que lorsque nous essayons de prouver un résultat à partir d'un certain nombre

d'hypothèses, nous essayons pas de prouver les hypothèses elles-mêmes.

3.4. QUANTIFICATEURS

Nous devons compléter l'utilisation des connecteurs du calcul propositionnel par ce que nous

appelons des "quantificateurs" si nous souhaitons pouvoir résoudre certains problèmes.

Effectivement, le calcul propositionnel ne nous permet pas d'affirmer des choses générales sur les

éléments d'un ensemble par exemple. Dans ce sens, la logique propositionnelle ne reflète qu'une

partie du raisonnement. Le "calcul des prédicats" au contraire permet de manipuler formellement

des affirmations telles que "il existe un x tel que [x a une voiture américaine]" ou "pour tous

les x [si x est une teckel, alors x est petit]"; en somme, nous étendons les formules composées

afin de pouvoir affirmer des quantifications existentielles ("il existe...") et des quantifications

universelles ("pour tout...."). Les exemples que nous venons de donner font intervenir des

propositions un peu particulières comme "xa une voiture américaine". Il s'agit ici de propositions

comportant une variable. Ces propositions sont en fait l'application d'une fonction à x. Cette

fonction, c'est celle qui associe "x a une voiture américaine" à x. Nous dénoterons cette fonction

par "... a une voiture américaine" et nous dirons que c'est une fonction propositionnelle, car c'est

une fonction dont la valeur est une proposition. Ou encore un "prédicat".

Les quantificateurs existentiels et universels vont donc de pair avec l'emploi de fonctions

propositionnelles. Le calcul des prédicats est cependant limité dans les formules existentielles et

universelles. Ainsi, nous nous interdisons des formules comme "il existe une affirmation de x telle

que...". En fait, nous ne nous autorisons à quantifier que des "individus". C'est pour cela que la

logique des prédicats est dite une "logique de premier ordre".

Avant de passer à l'étude du calcul des prédicats nous devons définir :

D1. Le "quantificateur universel" : (pour tout)

D2. Le "quantificateur existentiel" : (il existe)

Remarque: Nous utilisons parfois le symbole pour dire brièvement : "il existe un et un seul":

(1.22)

Nous allons voir que la théorie de la démonstration et des ensembles est l'exacte transcription des

principes et résultats de la Logique (celle avec un "L" majuscule).

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