Notes sur le calcul spinoriel - 1° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur le calcul spinoriel - 1° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur le calcul spinoriel - 1° partie Les principaux thèmes abordés sont les suivants: La théorie des spineurs, le spineur unitaire, schéma, la projection stéréographique.
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CALCUL SPINORIEL

Comme nous le verrons en premier en physique quantique relativiste, les spineurs jouent un

rôle majeur dans la théorique quantique et en conséquence dans toute la physique

contemporaine (théorique quantique des champs, modèle standard, théorie des cordes,...).

Ce fut à partir de 1927 que les physiciens Pauli, puis Dirac introduisirent les spineurs pour la

représentation des fonctions d'onde (cf. chapitre de Physique Quantique Relativiste).

Cependant, sous leur forme mathématique, les spineurs avaient été découverts par Élie Cartan

dès 1913 lors de ses recherches sur les représentations des groupes en faisant suite à la

théorie générale des espaces de Clifford (introduits par le mathématicien W.K. Clifford en

1876). Il montra, comme nous le verrons, que les spineurs fournissent au fait une

représentation linéaire du groupe des rotations d'un espace à un nombre quelconque de

dimensions. Ainsi, les spineurs sont donc étroitement liés à la géométrie mais leur présentation

est souvent faite de manière abstraite sans signification géométrique intuitive. Ainsi, nous

allons nous efforcer (comme toujours sur ce site) dans ce chapitre d'introduire de la manière la

plus simple et intuitive possible les théories des spineurs.

Le formalisme spinoriel n'intéresse pas seulement la physique quantique et ses travaux, entre

autres, de Roger Penrose ont montré que la théorie spinorielle était une approche extrêmement

féconde de la théorie de la relativité générale. Bien que le plus couramment utilisée pour le

traitement de la relativité générale soit le calcul tensoriel, Penrose a montré que dans le cas

spécifique de l'espace à quatre dimensions et la métrique de Lorentz, le formalisme des

spineurs à deux composantes est plus approprié.

La théorie des spineurs ou "géométrie spinorielle" est extrêmement vaste mais ce site ayant

plus pour objectif de s'adresser aux physiciens, nous nous limiterons aux spineurs utiles en

physique quantique ainsi que leurs propriétés y relatives.

Remarque: Nous conseillons vivement au lecteur d'avoir lu au préalable le sous-chapitre sur les

quaternions (cf. chapitre Nombres), le sous-chapitre sur les rotations dans l'espace (cf. chapitre

Géométrie Euclidienne) et enfin, si possible pour avoir un exemple pratique physique, le chapitre

de physique quantique relativiste.

SPINEUR UNITAIRE

Nous allons donner ici une première définition (ou exemple) particulière simplifiée des

spineurs. Ainsi, nous allons montrer qu'il est possible à partir d'un tel outil de représenter un

vecteur d'un espace à trois composantes à l'aide d'un spineur à deux composantes. La

méthode est extrêmement simple et celui qui a déjà lu la partie du chapitre de Physique

Quantique Ondulatoire traitant de l'équation de Dirac ainsi que le chapitre d'Informatique

Quantique y verra une analogie assez grandiose.

Considérons pour commencer la sphère suivante d'équation (cf. chapitre de Géométrique

Analytique)

(15.1)

Et considérons le schéma suivant:

(15.2)

Considérons-y les coordonnées (x, y, z) d'un point P de la sphère centrée en O et de rayon unité

et notons N et Sles points d'intersection de l'axe Oz avec la sphère.

Le point S aura par convention pour coordonnées:

(15.3)

Nous obtenons une projection dite "projection stéréographique" P' du point P en traçant la

droite SP qui traverse un plan équatorial xOy complexe au point P' de coordonnées (x', y', z').

Les triangles semblables SP'O et SPQ (avec Q étant la projection orthogonale sur l'axe Oz du

point P) nous donnent les relations suivantes en appliquant simplement le théorème de Thalès:

(15.4)

Remarque: Les deux dernières relations s'obtiennent par application du théorème de Thalès (cf.

chapitre de Géométrie) dans le plan équatorial complexe.

Posons maintenant:

(15.5)

Il vient, compte tenu de la relation précédente que :

(15.6)

en prenant le module au carré (voir l'étude des nombres complexes dans le chapitres des

Nombres) :

(15.7)

et comme de l'équation de la sphère il découle:

(15.8)

nous avons finalement :

(15.9)

Mettons maintenant le nombre complexe sous la forme où sont deux

nombres complexes auxquels nous pouvons toujours imposer de vérifier la condition d'unitarité

(rien ne nous l'interdit mais en physique cela nous arrange bien):

(15.10)

Remarque: Les nombres complexes suivants satisfont donc la relation précédente :

(15.11)

Rappelons avant de continuer que nous avons démontré lors de notre étude des nombres

complexes que :

(15.12)

Dès lors il vient en injectant ces deux dernières relations dans l'équation déterminée plus haut:

(15.13)

d'où finalement la coordonnée verticale du point P:

(15.14)

Comme nous avons :

(15.15)

alors :

(15.16)

tenant compte des derniers développements nous avons finalement :

(15.17)

Ainsi, à tout point P situé sur la sphère de rayon unité, nous pouvons faire correspondre un

couple de nombre complexes vérifiant la relation d'unitarité imposée.

Soit sous forme complète et explicite nous avons finalement:

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