Notes sur le calcul spinoriel - 2° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur le calcul spinoriel - 2° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur le calcul spinoriel - 2° partie Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la relation, le spineur unitaire.
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(15.18)

Cette dernière relation nous indique donc que est l'angle entre Oz et (puisque

l'hypoténuse de l'angle du vecteur à une norme unitaire) et donc par

déduction représente l'angle entre Ox et le plan (Oz,OP):

(15.19)

Le couple de nombres complexes de la relation antéprécédente constitue par définition un

"spineur unitaire". Ainsi, comme nous l'avons vu, un spineur unitaire peut se mettre sous la

forme :

(15.20)

de même un spineur quelconque peut se mettre sous la forme un peu plus générale:

(15.21)

Le spin ainsi mesuré l'est essentiellement à partir d'un axe orienté OZ comme nous venons de

le voir avec la figure précédente.

La projection stéréographique conduit donc à représenter certains vecteurs de l'espace

euclidien avec des éléments d'un espace vectoriel complexe de dimension deux qui est

l'espace des spineurs.

Remarque: Cette représentation n'est pas unique car les arguments de nombres complexes sont

(sous forme trigonométrique) déterminés qu'à une constante près.

Le lecteur qui aura déjà étudié un peu la physique quantique ondulatoire (voir chapitre du

même nom) aura certainement remarqué l'étrange similarité non innocente de la condition et

des relations :

(15.22)

par rapport à la condition de normalisation de Broglie (l'intégrale sur tout l'espace de la somme

des produits des fonctions d'ondes complexes conjuguées sont égales à l'unité) et des

développements déterminant l'équation de continuité en physique quantique ondulatoire.

Voyons maintenant pour les besoins ultérieurs, que nous pouvons trouver deux nouveaux

vecteurs de l'espace euclidien , associés à un spineur unitaire déterminé sur la

sphère unité. Ces vecteurs seront cherchés orthogonaux entre eux et de norme unité, chacun

étant orthogonal au vecteur .

Notons et , les composantes respectives des

vecteurs sont bien sûr liées par le produit vectoriel :

(15.23)

d'où tenant compte de l'expression des composantes en fonction de celles du spineur

associé, ainsi que du fait , nous obtenons :

(15.24)

Ecrivant l'orthogonalité des vecteurs entre eux nous obtenons bien évidemment six équations

supplémentaires. Cependant l'orientation des vecteurs n'étant pas fixée, il existe une

certaine indéterminée sur les valeurs de leurs composantes. Choisissons des valeurs telles que :

(15.25)

Prenant les quantités complexes conjuguées des relations précédentes, nous obtenons par

addition les composantes de :

(15.26)

Par soustraction, nous obtenons de même les composantes du vecteur :

(15.27)

Nous vérifions aisément que ces valeurs redonnent bien les relations du produit vectoriel. A

tout spineur unitaire nous pouvons donc associer trois vecteurs . Nous pouvons

vérifier directement que les vecteurs ainsi calculés sont bien orthogonaux entre eux et de

norme unité.

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