Notes sur le calcul tensoriel , Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur le calcul tensoriel , Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur le calcul tensoriel. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la géométrie différentielle absolue, la tenseur.
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CALCUL TENSORIEL

Le calcul vectoriel classique est une technique simple et efficace qui s'adapte parfaitement à

l'étude des propriétés mécaniques et physiques de la matière dans l'espace euclidien à trois

dimensions. Cependant, dans de nombreux domaines de la physique, il apparaît des grandeurs

expérimentales qui ne peuvent plus être facilement représentées par de simples vecteurs-

colonnes d'espaces vectoriels euclidiens. C'est le cas par exemple en mécanique des milieux

continus, fluides ou solides, en électromagnétisme, relativité générale, etc.

Ainsi, dès la fin du 19ème siècle, l'analyse des forces qui s'exercent à l'intérieur d'un milieu

continu à conduit à mettre en évidence des grandeurs physique caractérisées par neuf nombres

représentant les forces de pression ou de tension internes (cf. chapitre de Mécanique Des

Milieux Continus). La représentation de ces grandeurs nécessita l'introduction d'un nouvel être

mathématique qui fut appelé "tenseur", par référence à son origine physique. Par la suite, à

partir de 1900, ce furent R. Ricci et T. Lévi-Civita qui développèrent le calcul tensoriel puis

l'étude des tenseurs permit un approfondissement de la théorie des espaces vectoriels et

contribua au développement de la géométrie différentielle (voir chapitre du même nom).

Le calcul tensoriel, appelé aussi parfois "géométrie différentielle absolue" a également pour

avantage de se libérer de tous les systèmes de coordonnées et leurs formes sont ainsi

invariantes (énorme allégement des calculs). Il n'y a plus alors à se préoccuper dans quel

référentiel il convient de travailler et cela, est très intéressant en relativité générale.

Nous conseillons par ailleurs vivement au lecteur de bien maîtriser les bases du calcul vectoriel

et de l'algèbre linéaire comme elles ont été présentées auparavant. Au besoin, nous avons

choisi lors de la rédaction de ce chapitre de revenir sur certains points vus en calcul vectoriel

(composantes covariantes, contravariantes,...).

Par ailleurs, si le lecteur a déjà parcouru l'étude des contraintes dans les solides (cf. chapitre de

Mécanique Des Milieux Continus) ou du tenseur de Faraday (cf. chapitre d'Electrodynamique) ou

du tenseur d'énergie-impulsion (cf. chapitre de Relativité) ceci constituera un avantage pratique

certain avant de parcourir ce qui va suivre. Par ailleurs, la lecture des objets susmentionés a été

faite de telle manière que la notion de tenseur y soit introduite intuitivement.

Nous ne ferons que très peu d'exemples pratiques dans cette section. Effectivement les

exemples concrets, vous l'aurez compris, viendront lorsque nous étudierons la mécanique des

milieux continus, la relativité générale, la physique quantique des champs, etc...

Un conseil peut-être : pensez matriciel, écrivez tensoriel ! (vous comprendrez mieux ce petit

adage une fois après avoir parcouru tout ce chapitre).

TENSEUR Définition (simpliste): Un "tenseur" est un objet mathématique généralisant les notions de

vecteur et de matrice. Ils ont été introduits, en physique, pour représenter l'état de contrainte et

de déformation d'un volume soumis à des forces, d'où leur nom (tensions).

La définition rigoureuse nécessite (je pense personnellement) d'avoir d'abord lu le présent

chapitre dans son entier. Mais sachez qu'au fait un tenseur est grosse modo comme un

déterminant... (cf. chapitre d'Algèbre Linaire). Eh oui! C'est simplement une application

multilinéaire sur un espace de dimension donnée (correspondant au nombre de colonnes de la

matrice/tenseurs) qui donne finalement un scalaire (d'un corps donné).

Par exemple, nous avons démontré dans le chapitre de Mécanique Des Milieux Continus que les

forces normales dans un fluide étaient données par la relation :

(14.1)

soit sous forme condensée :

(14.2)

Nous faisons ainsi apparaître une grandeur mathématique ayant 9 composantes, alors

qu'un vecteur dans le même espace en possède 3.

Cette notion est aussi beaucoup utilisée dans le chapitre de Relativité Générale où nous avons

démontré que le tenseur d'énergie-impulsion dans un cas particulièrement simple est donné

par :

(14.3)

et satisfait à la relation non moins importante de conservation :

(14.4)

Ou toujours dans le chapitre de Relativité Générale nous avons démontré que le tenseur de la

métrique de Schwarzschild est :

(14.5)

et donne donc l'équation de la métrique (cf. chapitre de Calcul Différentiel) :

(14.6)

Signalons également dans le chapitre de Relativité Restreinte que nous avons démontré que le

tenseur de transformation de Lorentz est donnée par :

(14.7)

qui sous forme condensée donne la transformation de composantes suivantes :

(14.8)

En ce qui concerne la transformation du champ électromagnétique nous avons également

démontré que le tenseur de Faraday est donné par :

(14.9)

et permet donc de passer d'un référentiel à un autre à l'aide de la relation :

(14.10)

Mais ce sont des tenseurs très simples qui peuvent être représentés sous formes de matrices. Il

faut également savoir que ce n'est pas parce qu'une lecture d'une variable avec des indices

semble indiquer que nous avons à faire à un tenseur que cela en est forcément un. Par

exemple, la relation fameuse (très utilisée dans le chapitre de Relativité Générale) :

(14.11)

pourrait faire croire que le premier membre tout à gauche est un tenseur mais au fait il n'est est

rien... ce n'est qu'un symbole... d'où son nom : symbole de Christoffel (et non pas : tenseur de

Christoffel).

L'intérêt des tenseurs en physique est que leurs caractéristiques sont indépendantes des

coordonnées choisies. Ainsi, une relation entre tenseur dans une base sera vraie quelle que soit

la base utilisée par la suite. C'est une caractéristique fondamentale pour la relativité générale!

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