Notes sur le cas d'un réseau de fentes rectangulaires - 1° partie, Notes de Concepts de physique. Université Claude Bernard (Lyon I)
Eleonore_sa
Eleonore_sa14 January 2014

Notes sur le cas d'un réseau de fentes rectangulaires - 1° partie, Notes de Concepts de physique. Université Claude Bernard (Lyon I)

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Notes de physique sur le cas d'un réseau de fentes rectangulaires - 1° partie.Les principaux thèmes abordés sont les suivants:
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Considérons maintenant un réseau de N fentes étroites de largeur , de hauteur et distantes de d. Un unique faisceau incident éclaire toutes les fentes. Remarque: L'étude de ce modèle va nous permettre de comprendre en partie comment fonctionne le prisme et le fonctionnement des goniomètres utilisé en astronomie pour l'analyse du spectre ainsi que la diffraction par rayons X par un réseau d'atomes (donc l'importance est non négligeable).

Soit le schéma suivant :

(40.43)

Nous voyons sur le schéma ci-dessus que pour certaines directions , la distance est telle que des interférences constructives ou destructives se réalisent.

Posons que le réseau est placé dans le plan YZ et que la direction du faisceau ce fait selon l'axe X. Plaçons nous en un point d'observation P situé dans le plan XY. Selon les propriétés des

ondes électromagnétiques (cf. chapitre d'Électrodynamique), le vecteur champ électrique de

l'onde émise par la fente est perpendiculaire à la direction d'observation et peut s'exprimer par :

(40.44)

et nous avons vu que :

(40.45)

d'où :

(40.46) Dans une direction quelconque, les ondes issues de deux fentes adjacentes sont déphasées de et au point P d'observation, le champ électrique résultant est donné par la somme des contributions de chaque fente avec son décalage propre. D'où :

(40.47)

Nous voyons donc que chaque onde est déphasée de :

(40.48)

Nous pouvons maintenant représenter en utilisant les phaseurs (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire) dans l'espace des phases tel que :

(40.49) Ce qui donne graphique pour le deuxième terme contenant la variable de sommation j pour une distance R fixe :

(40.50)

Nous voyons que les mis bout à bout forment un polygone régulier, inscrit dans un cercle de rayon :

(40.51)

La norme du champ électrique résultant étant égale à la corde définie par l'angle :

(40.52)

nous aurons :

(40.53) L'énergie lumineuse (in extenso l'intensité) émise dans la direction étant proportionnelle au carré du champ électrique (cf. chapitre d'Électrodynamique), nous avons alors pour les interférences destructives ou constructives :

(40.54)

Nous substituons maintenant par l'expression trouvée lors de notre étude plus haut de la diffraction par une seule fente :

(40.55)

Ainsi, nous obtenons pour l'addition des effets d'interférences et de diffraction :

(40.56)

Bien que cette relation semble compliquée, tous ses paramètres n'ont pas la même importance pratique.

En effet considérons la fonction :

(40.57) Le terme A présente des maxima lorsque :

(40.58)

et des valeurs nulles si :

avec (40.59) Bien que le terme B fasse diverger la relation pour , la règle de l'Hospital (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) nous donne que :

(40.60) Il en résulte que pour et donc des valeurs nulles de A et de B, la fonction présente

des énormes pics de hauteur .

Vu leur grande amplitude, les pics principaux sont ceux que l'on observe expérimentalement le plus facilement. Ainsi, la position angulaire des maxima de la fonction est donnée par :

(40.61) La valeur de n, qualifie le "numéro d'ordre du maximum d'interférence".

Appliquons ses résultats à la relation d'interférence :

(40.62) Le pic d'ordre n est centré sur la valeur équivalente qui annule le numérateur et le dénominateur de cette fraction tel que :

(40.63)

d'où :

(40.64) Ainsi, un réseau dont nous connaissons la valeur d du pas peut utilisée pour mesurer la longueur d'onde d'une lumière incidente inconnue.

Cependant, si la lumière incidente est polychromatique (typiquement pour les observations astronomiques), la relation précédente nous donne pour une longueur d'onde donnée la position des franges d'interférences. Ainsi, un astronome faisant passer de la lumière polychromatique de son télescope par un réseau diffraction faire une analyse spectroscopique de la lumière.

La relation nous donne également que pour des valeurs fixes de m et d, plus est grand, plus l'angle l'est aussi dans un intervalle compris entre . Ainsi, les raies spectrales résultant de l'incidence d'un faisceau polychromatique montrent un spectre allant du violet (faible longueur d'onde donc petit angle) au rouge (grande longueur d'onde donc grand angle).

Au moyen d'un goniomètre, nous mesurons les angles des pics principaux d'ordre m, pour le plus grand nombre possible de valeurs de m. Nous en déduisons de la pente du graphique :

(40.65)

Le pied du pic est situé à en un endroit où le numérateur s'annule pour la première fois après le passage du pic.

Puisque l'argument de cette fonction augmente de entre deux pics successifs (parmi tous

les pics principaux et secondaires), il vaut à l'endroit du pic d'ordre m (pic principal donc) et doit parcourir radians supplémentaires pour atteindre le pied du pic.

Le numérateur vaut donc :

(40.66)

La distance angulaire entre le sommet et le pied du pic principal est donc donné par :

(40.67)

Mais dès le premier ordre, nous avons . La différence des deux sinus donne (cf. chapitre de Trigonométrie) :

(40.68)

Un développement de MacLaurin (cf. chapitre des Suites Et Séries) de donne lorsqu'on

prend le premier terme du développement :

(40.69)

mais nous avons aussi la relation remarquable . D'où la largeur angulaire d'un pic d'ordre m :

(40.70)

Or :

(40.71)

Donc :

(40.72)

Il est clair que deux raies superposées seront vues comme distinctes si elles sont séparées d'une distance angulaire égale à leur largeur angulaire. L'expression :

(40.73)

établit qu'à deux positions angulaire correspondent deux longueurs d'onde. Nous pouvons

donc donner la séparation de deux raies par au lieu de .

Ainsi de :

(40.74)

nous tirons :

(40.75)

Mais :

(40.76)

Lorsque et sont petits, nous avons :

(40.77)

Ce qui nous amène à écrire par substitution :

(40.78) Le pouvoir de résolution R d'un réseau représente sa capacité de séparer deux raies spectrales de longueurs d'onde et voisines tel que :

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