Notes sur le concept d'espace-temps de Minkowski, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le concept d'espace-temps de Minkowski, Notes de Physique

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Notes de physique sur le concept d'espace-temps de Minkowski. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: L'abscisse curviligne, les quadrivecteurs.
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ESPACE-TEMPS DE MINKOWSKI

Nous avons démontré plus haut que:

(49.288)

Écrivons cela sous la forme :

(49.289)

Multiplions les deux membres par :

(49.290)

ce qui nous donne :

(49.291)

Si , l'équation s'annule :

(49.292)

Ce résultat traduit, que les dimensions d'espace et de temps sont comme arrêtées dans le

référentiel relativiste, car la vitesse relative de l'objet est égale à celle de la lumière!

Imaginons maintenant qu'un faisceau lumineux soit émis à l'instant et se propage depuis

l'origine du référentiel. Nous savons que dans l'espace-temps (application du théorème de

Pythagore dans l'espace euclidien à trois dimensions) la distance parcoure par le photon

lumineux est :

(49.293)

En changeant t de membre et en portant le tout au carré pour supprimer la racine, nous

obtenons :

(49.294)

Remarque: Nous pouvons assimiler cette équation à la représentation d'un front d'onde sphérique

d'une onde lumineuse se propageant à la vitesse de la lumière (voir l'équation d'une sphère

centrée à l'origine dans le chapitre de Géométrie Analytique).

Considérons maintenant deux événements de coordonnées et et

pour éviter la confusion changeons de lettre . Nous pouvons dès lors écrire l'intervalle

spatio-temporel tel quel :

(49.295)

En passant à la limite, nous obtenons la forme quadratique :

(49.296)

qui à la même forme et même valeur quelque soit le référentiel considéré. L'intervalle

infinitésimal d'espace-temps entre deux événements infiniment voisions est donc un

invariant relativiste que nous appelons souvent "abscisse curviligne d'espace-temps", c'est

l'intervalle d'espace-temps où, comme le dit simplement Einstein, le "carré de la distance".... Le

fait que cette grandeur puisse être positive, négative (!) ou nulle est liée au caractère absolu de

la vitesse de la lumière (nous y reviendrons juste après).

Nous pouvons aussi maintenant nous intéresser au caractère relativiste de cette métrique. Si

elle est invariante, c'est qu'elle doit aussi l'être par les transformations de Lorentz. Nous disons

alors que "la métrique est invariante par transformation de Lorentz". Une telle transformation

peut être trouvée en s'inspirant de celle utilisée pour le tenseur du champ électromagnétique

(voir plus haut). Le lecteur vérifiera sans peine en s'inspirant de l'exemple détaillé du champ

électromagnétique que pour le tenseur métrique, nous avons la relation :

(49.297)

L'abscisse curviligne peut s'exprimer aussi par la norme du quadrivecteur déplacement que

nous avions défini plus comme étant . Effectivement, la norme (cf. chapitre de

Calcul Tensoriel) s'écrit en descendant les indices à l'aide de la "métrique de Minkowski" ou

"métrique pseudo-riemannienne" :

(49.298)

avec par définition (nous reviendrons là-dessus dans les détails au début de notre étude de la

relativité générale) la "matrice de Minkowski":

(49.299)

Si nous mettons les deux relations suivantes en correspondance :

et (49.300)

nous avons alors lorsque que les deux événements sont reliés à la vitesse de la

lumière.

De plus, si nous posons nous pouvons alors écrire :

(49.301)

Ceci n'est rien d'autre que l'équation d'un cône (cf. chapitre de Géométrique Analytique) d'axe

d'ordonnée ... le fameux "cône d'Univers" (sur lequel nous consacrons une étude plus

loin). Tout événement est donc par extension dans ce cône et l'évolution de tout système peut

donc y être décrit (par sa position spatiale et temporelle), par ce que nous appelons sa "ligne

d'Univers". La ligne d'Univers d'une particule est donc la séquence d'événements qu'elle occupe

durant sa vie.

quadrivecteurs

Nous venons de définir ce qu'était la métrique de Minkowski, nous pouvons maintenant définir

correctement le concept de quadrivecteur que nous avons déjà abordé sans toutefois toujours

savoir ce que l'on faisait.

Définition: Dans un espace à quatre dimensions de type Minkowski, quatre

grandeurs (peu importe l'ordre des termes pour cette définition ou que les

indices soient des chiffres ou des lettres correspondant aux quatre composantes spatio-

temporelles) forment un quadrivecteur covariant si elles se transforment suivant la

transformation de Lorentz :

(49.302)

La pseudo-norme d'un quadrivecteur dans un espace de Minkowski à métrique est alors :

(49.303)

où nous voyons que le quadrivecteur multiplié contravariant multiplié par la métrique redonne

le quadrivecteur covariant.

La quantité suivante étant invariante par changement de référentiel Galiléen comme nous

l'avons vu presque tout au début de ce chapitre :

(49.304)

Cette propriété d'invariance par changement de référentiel Galiléen des quadrivecteurs est leur

propriété principale. Ainsi deux observateurs en mouvement relatif uniforme l'un par rapport à

l'autre doivent pour comparer les résultats d'une même mesure utiliser la norme des

quadrivecteurs. De même, les lois qu'ils cherchent à déterminer pour être les plus générales

possibles doivent utiliser ces quantités invariantes!

Nous pouvons par ailleurs aussi écrire la norme sous la forme :

(49.305)

et les quadrivecteurs sous la forme :

(49.306)

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