Notes sur le concept de travail et énergie - 1° partie, Notes de Concepts de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa16 January 2014

Notes sur le concept de travail et énergie - 1° partie, Notes de Concepts de physique

PDF (111.2 KB)
13 pages
236Numéro de visites
Description
Notes de physique sur le concept de travail et énergie - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'énergie cinétique, le moment d'inertie, la démonstration, le théorème d'Huygens-Steiner.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 13
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

(30.144)

Pour les unités, nous avons : (Joules)

Remarques:

R1. Si W est positif le travail est dit "travail moteur". Dans le cas

contraire il est dit "travail résistant" (exemple: le freinage).

R2. Si la force est constante en grandeur et en direction (cas

de la pesanteur au voisinage de la surface terrestre), l'intégrale

du calcul de Wprend une forme plus simple:

(30.145)

Ce résultat montre que le travail ne dépend alors que des

positions initiale et finale et pas du chemin parcouru. Le travail

de la pesanteur est un cas particulier de ce type.

ÉNERGIE CINÉTIQUE

La loi de Newton est applicable le long du

chemin A-B. En l'utilisant dans l'expression du travail

il vient:

(30.146)

et, en développant le produit scalaire au moyen des

composantes, nous aurons :

(30.147)

Lorsqu'un corps se déplace sous l'action d'une force

résultante quelconque, le travail de cette force

d'accélération sur un chemin quelconque A, B est

égal à la variation d'énergie cinétique du corps:

Par définition, la relation :

(30.148)

est appelée "l'énergie cinétique" et elle se mesure en

"Joules" (ou d'autres unités dérivées exotiques dont

les physiciens théoriciens abusent parfois un petit

peu trop...) et est toujours positive en mécanique ou

n'importe quel autre domaine de la physique.

L'équation :

(30.149)

porte quelquefois le nom de "théorème de l'énergie

cinétique". MOMENT D'INERTIE

Pour un solide rigide tournant autour d'un axe à la

vitesse angulaire . L'énergie cinétique élémentaire

d'un point quelconque de masse dm, situé hors de

l'axe, vaut:

(30.150)

puisque et sont perpendiculaires. L'énergie

cinétique totale est alors :

(30.151)

Nous avons pris l'habitude en physique de noter

cette dernière relation:

(30.152)

où par définition, le "moment d'inertie" est:

(30.153)

Exemple:

Calculons la vitesse d'une boule finale d'une boule

chutant sur un plan incliné de frottement non nul

(elle va donc tourner) dans un champ de potentiel

gravifique.

La réponse du néophyte en physique sera souvent

obtenue en considérant que l'énergie cinétique mais

pas la vitesse de rotation de la boule. Or, nous

devons prendre celle-ci en compte via son moment

d'inertie.

Nous avons donc l'énergie cinétique totale étant

l'énergie cinétique de translation de centre de masse

plus l'énergie de rotation autour de ce même centre

de masse:

(30.154)

en égalant cette valeur à l'énergie potentielle

gravifique et en supposant une vitesse initiale nulle

de la chute, nous avons:

(30.155)

Soit la vitesse acquise au bas du plan (frottement de

roulement non-compris...):

(30.156)

et nous avons démontré dans le chapitre sur les

Formes Géométriques que le moment d'inertie d'une

boule pleine était:

(30.157)

Il vient alors:

(30.158)

Nous voyons dans le cas particulier de la boule, que

la vitesse finale de chute est (sans frottements de

l'air ni de roulement) indépendante de sa masse et

de son rayon (qu'elle soit creuse ou pleine) ce qui

est relativement contre intuitif.

Remarque: Dans un solide, la répartition de la matière autour

d'un axe sera évidemment différente selon l'axe choisi. Le

moment d'inertie correspondant sera aussi différent. Il est donc

indispensable de préciser l'axe par rapport auquel nous

souhaitons déterminer ce moment d'inerte. Nous observons dans

la pratique que les ingénieurs placent souvent l'axe de façon à ce

qu'il passe par le centre de masse. Dans les tables, nous trouvons

fréquemment les expressions des moments d'inerties de formes

courantes (selon un axe donné) telles que le cylindre, le cône, la

sphère, la barre, le tube (cf. chapitre sur les Formes

Géométriques).

Nous avons vu lors de notre étude du moment

cinétique que:

(30.159)

et le moment d'inertie étant donné par:

(30.160)

Nous avons donc:

(30.161)

d'où:

(30.162)

Nous obtenons finalement:

(30.163)

c'est l'expression donnant le moment cinétique d'un

corps tournant sur lui-même (sur un de ses axes

possibles de rotation).

Etant donné que nous avons démontré lors de notre

étude du moment cinétique que:

(30.164)

il vient alors dans l'hypothèse que la masse et la

géométrie du solide restent constantes... que le

moment de force est alors:

(30.165)

et bien évidemment, si nous étudions un système

dans lequel le moment cinétique est conservatif, il va

de soi que:

(30.166)

Cette conservation du moment cinétique trouve une

application dans une multitude d'expériences telle

que celle connue qui consiste à se faire tourner sur

une chaise et à écarter les mains ou les jambes ce

qui fera diminuer la vitesse de rotation (et

inversement).

Une autre expérience curieuse (mais

mathématiquement correcte) consiste à se poser sur

un plateau tournant avec une roue en rotation tenue

à l'horizontale (le moment cinétique vertical est donc

nul) et de mettre celle-ci ensuite à la verticale.

Comme le moment cinétique vertical doit rester nul,

pour contrecarrer cela, le plateau sur lequel est posé

l'expérimentateur se mettra à tourner dans le sens

inverse de rotation de la roue.

Les déplacements de masses importantes à la

surface de la Terre (icebergs, crues des fleuves,

plaques tectoniques, etc.) provoquent des variations

du moment d'inertie de la Terre. Il s'ensuit des

fluctuations de la vitesse angulaire donc une

imperfection de l'étalon astronomique de temps

(quelques millièmes par jour).

Revenons maintenant aux méthodes de calcul des

moments d'inertie. L'énergie cinétique d'un corps

étant la somme de l'énergie cinétique de chaque

élément de ce corps, nous avons :

(30.167)

Dans le cadre d'un corps solide rigide en rotation

autour d'un axe, nous avons :

(30.168)

Ainsi, pour un corps composé d'un ensemble de

corps de géométrie différentes, le moment d'inertie

total est la somme des moments d'inertie par rapport

à l'axe de rotation tel que :

(30.169)

Lorsque nous calculons le moment d'inertie d'un

corps par rapport à un axe donné, il peut être

intéressant de savoir qu'elle est la distance à l'axe où

nous pouvons placer fictivement toute la masse de

ce corps pour avoir le même moment d'inertie. Par

définition, cette distance notée k et appelée le "rayon

de giration" est trivialement donnée par :

(30.170)

où est le moment d'inertie connu du corps de

masse Mpar rapport à une axe .

Par définition, le "moment d'inertie polaire" (ou

également "moment d'inertie quadratique") est le

moment d'inertie défini par rapport à un point (le

pôle) et non plus par rapport à un axe et noté :

(30.171)

Cette grandeur n'intervient en fait que pour les

rotations libres et n'a d'intérêt, pour les rotations

autour d'un axe fixe, que parce qu'elle facilite

quelquefois le calcul des moments d'inertie axiaux

en vertu de la relation suivante (en coordonnées

cartésiennes) :

(30.172)

Démonstration:

Lemme 1 : Le moment d'inertie par rapport à un

plan xOyest donné trivialement par :

(30.173)

Lemme 2 : Le moment d'inertie par rapport à un axe

est donné par :

(30.174)

En sommant ces relations, nous en déduisons :

(30.175)

Le moment d'inertie polaire est alors donnée par :

(30.176)

En comparant avec le lemme 2 il vient :

(30.177)

C.Q.F.D.

Si le corps en question à une symétrie sphérique, il

vient de suite puisque que :

(30.178)

Un exemple est donné avec la boule (sphère pleine)

dans le chapitre traitant des Formes Géométriques

dans la section de géométrie.

Supposons maintenant connaître le moment

d'inertie d'un corps solide rigide quelconque par

rapport à un axe (cet axe n'étant pas

nécessairement uniquement assimilé à

l'axe z commun) passant par le centre de masse G.

Calculons ensuite le moment d'inertie , par rapport

à un autre axe z', parallèle à z et distant de a , et

faisons apparaître la liaison existant entre ces deux

moment d'inertie différents :

Dans un référentiel cartésien, nous avons pour tout

point (x,y) :

et (30.179)

Nous avons alors :

(30.180)

Le terme :

(30.181)

est nul car si le moment d'inertie est calculé par

rapport au centre de masse G comme nous l'avons

imposé dès le début, alors :

(30.182)

En définitive, nous obtenons finalement le théorème

d'Huygens-Steiner :

(30.183)

Comme nous le verrons dans le chapitre des Formes

Géométriques dans la section de géométrie du site, il

devient alors facile de pouvoir calculer le moment

d'inertie d'un triangle équilatéral en connaissant

celui d'un plaque carrée et en déplaçant l'axe

d'inertie au point où se situe le centre de gravité du

triangle (soit au tiers de la médiane située entre le

centre du rectangle et un des sommets du rectangle).

Comme il existe autant de moment d'inertie que

d'axe de rotation et que ces derniers sont souvent

dans les cas d'études assimilés aux axes principaux

d'inertie (axe assimilés aux axes de révolutions ou

aux plans de symétrie - voir plus loin), il peut être

utile d'introduire un être mathématique utile dans le

cadre de représentation des moments d'inertie qui

n'est autre que la "matrice d'inertie" ou appelé

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome