Notes sur le concept de travail et énergie - 2° partie, Notes de Concepts de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa16 January 2014

Notes sur le concept de travail et énergie - 2° partie, Notes de Concepts de physique

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Notes de physique sur le concept de travail et énergie - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le théorème d'Huygens généralisé, la démonstration.
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encore (formulation plus moderne) "tenseur

d'inertie".

La démarche pour déterminer rigoureusement

l'expression de ce tenseur est la suivante : soit un

point donné d'un solide dont nous cherchons à

calculer le moment d'inertie et l'axe d'origine O et

de vecteur unité par rapport auquel nous

souhaitons calculer le moment d'inertie. Tout point

du solide peut être projeté (projection orthogonale)

sur un point à partir de la connaissance de

l'angle entre et tel que :

(30.184)

Dès lors :

(30.185)

D'après les propriétés du produit mixte (cf. chapitre

de Calcul Vectoriel) et du produit scalaire :

et (30.186)

nous avons :

(30.187)

et donc :

(30.188)

Comme est un vecteur de direction constante

quelque soit le point d'intégration, nous pouvons le

sortir de l'intégrale tel que :

(30.189)

Nous pouvons vérifier que si nous

remplaçons par , nous obtiendrons un

résultat de par la propriété de linéarité du

produit vectoriel (cf. le chapitre de Calcul Vectoriel).

Ainsi, l'application qui à associe est donc une

application linéaire qui peut être représentée, dans

une base B donne, par une matrice :

(30.190)

La matrice est le donc "tenseur d'inertie" du

système par rapport au point O, dans la base B.

Le moment d'inertie d'un système par rapport à un

axe quelconque de vecteur unitaire est donné par

:

(30.191)

Le problème est donc maintenant de pouvoir calculer

les éléments du tenseur , pour une

base B donnée. Soit un repère tel que .

Nous posons :

et (30.192)

En utilisant le fait qu'un produit vectoriel puisse être

représente par une matrice antisymétrique (vérifiez

c'est facile) :

(30.193)

nous avons :

(30.194)

et donc :

(30.195)

Dans l'expression ci-dessus de la matrice d'inertie,

nous reconnaissons les éléments diagonaux : il s'agit

tout simplement des moments d'inertie du système

par rapport aux différents axes de la base. Nous

appelons "produit d'inertie" les éléments non-

diagonaux de la matrice et nous les notons :

(30.196)

Nous avons donc :

(30.197)

Si O est assimilé au centre de masse du solide

considéré, nous notons simplement :

(30.198)

Nous pouvons également généraliser le théorème

d'Huygens en faisant usage de ce tenseur de

symétrie. Pour ce faire, appelons (x', y', z') les

coordonnées d'un point Aquelconque dans R' et

(x, y, z) ses coordonnées dans R. Nous appelons

(a,b,c) les coordonnes de l'origine O' de R' dans R:

(30.199)

puisque :

(30.200)

Nous avons alors :

(30.201)

Or, si O' coïncide avec le centre de masse G, alors

selon la définition du centre de masse :

(30.202)

Nous en déduisons alors :

(30.203)

et de même :

, (30.204)

avec :

(30.205)

Nous retombons sur le théorème d'Huyghens

classique puisque n'est d'autre que la distance

au carré entre l'axeOz et Gz et de même

pour qui est la distance au carré

entre Ox et Gx et qui est la distance

entre Oy et Gy.

Si nous nous intéressons maintenant aux produits

d'inertie, il vient :

(30.206)

d'où, si O' coïncide avec G :

(30.207)

En résumé, le théorème d'Huygens généralisé, s'écrit

:

(30.208)

Le tenseur d'inertie étant réel et symétrique, nous

avons dans le chapitre d'Algèbre Linéaire (théorème

spectral) qu'il est toujours possible de trouver trois

directions perpendiculaires de vecteurs telles

que le tenseur (matrice) symétrique soit

diagonalisable :

(30.209)

Le trièdre formée par les vecteurs est appelé

"trièdre principal d'inertie" et ses axes sont appelés

"axes principaux d'inertie". Dans ce repère prend

le nom de "tenseur principal d'inertie". Si de

plus O est assimilé à G, nous parlons de "tenseur

central d'inertie".

En fait, pour trouver les moments d'inertie

relativement aux axes principaux il n'est

pratiquement jamais nécessaire de diagonaliser le

tenseur d'inertie, car il suffit souvent de se laisser

guider par la symétrie du système. Nous allons voir

avec les théorèmes suivants que s'il existe des axes

ou des plans de symétrie pour la distribution de

masse, les axes d'inertie sont faciles à trouver. De

plus, le système est en général suffisamment simple

(ou décomposable en éléments suffisamment

simples...) pour que ces axes soient évident.

Premier théorème : Si le système possède un plan de

symétrie matérielle (in extenso

: si A symétrique deA' par rapport au plan)

alors tout axe perpendiculaire à ce plan est axe

principal d'inertie.

Démonstration:

Choisissons un repère xOy dans le plan par rapport

auquel le système a une distribution de masse

symétrique et un axeOz perpendiculaire à ce plan.

Pour calculer ou , groupons les points par

deux, symétriques par rapport àxOy. c'est-à-dire

tels que . Nous aurons alors:

(30.210)

et de même :

(30.211)

c'est-à-dire, puis (symétrie matérielle!) :

(30.212)

que toutes les contributions de paires de points

symétriques sont nulles, ce qui implique : ,

c'est-à-dire que l'axe des z est direction principale

d'inertie.

C.Q.F.D.

Deuxième théorème : Choisissons comme

axe Oz l'axe de symétrie. De même que ci-dessus,

nous avons :

(30.213)

Démonstration:

Effectivement, car si nous groupons les points par

paire A' etA' symétriques par rapport à Oz, nous

avons :

(30.214)

mais donc toujours :

(30.215)

et de même :

(30.216)

C.Q.F.D.

Remarque: Lorsque nous avons déterminé deux axes principaux

d'inertie grâce aux symétries précédentes, les troisième est tout

simplement celui qu'il faut pour compléter un trièdre orthogonal.

Troisième théorème : Si un système admet un axe de

révolution pour sa distribution de masse, alors tout

trièdre orthogonal incluant l'axe de révolution, est

trièdre principal d'inertie. Le système matériel est

alors dit "système cylindrique" et dans le trièdre

principal d'inertie son tenseur prend la forme (en

supposant que l'axe de révolution est le 3ème axe du

trièdre) :

(30.217)

Démonstration:

Si Oz est un axe de révolution, tout plan

comprenant Oz est plan de symétrie et toute droite

perpendiculaire à Oz est donc axe principal d'inertie

(premier théorème). De plus, toutes ces droites

perpendiculaires à Oz sont équivalentes.

C.Q.F.D.

Définition: Si la matrice d'inertie en O d'un système

matériel est du type :

(30.218)

nous disons alors que le système est un "système

sphérique" (ou un "système à symétrie sphérique").

Remarque: Le choix systématique d'un trièdre principal d'inertie

permet de ramener le tenseur d'inertie de 6 à 3 composantes,

calculées une fois pour tout. Cependant, ce choix implique

l'utilisation d'une base qui sera le plus souvent en mouvement

par rapport au référentiel utilisé, ce qui pourra poser des

problèmes de dérivations par rapport au temps des vecteurs de la

base. Nous pouvons alors, si c'est plus faciles, obtenir les

composantes du tenseur de symétrie dans une base quelconque à

l'aide d'une matrice de passage entre la base principale et le base

utilisée pour le calcul du trièdre principal d'inertie.

Lorsque les moments d'inertie d'un solide sont

connus dans les directions des axes principaux

d'inertie, nous pouvons facilement déterminer le

moment d'inertie J par rapport à n'importe quel autre

axe passant par le centre de gravité en utilisant que

ce nous nommons un "ellipsoïde d'inertie" (à ne pas

confondre avec le moment d'inertie d'une ellipsoïde

- démontré dans le chapitre traitant des Formes

Géométriques).

Démonstration:

Soient trois axes, centrés sur G, parallèles aux axes

principaux. Dans leurs directions, portons des

longueurs proportionnelles à :

(30.219)

Dans cet espace des phases des moments d'inertie,

tout point désigne un moment d'inertie J tel

que :

(30.220)

Pour déterminer J en fonction des , sans devoir

calculerx, y, z, nous identifions les cosinus

directeurs (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) de l'axe

de rotation à ceux de la droite .

Ainsi, nous avons :

(30.221)

Soit :

(30.222)

Nous pouvons maintenant calculer les conditions de

normalisation de cette relation. Ainsi, si et ,

nous avons :

(30.223)

Respectivement nous aurons :

(30.224)

Puisque :

et (30.225)

Ce qui nous amène à écrire :

(30.226)

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