Notes sur le concept de travail et énergie - 3° partie., Notes de Concepts de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa16 January 2014

Notes sur le concept de travail et énergie - 3° partie., Notes de Concepts de physique

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Notes de physique sur le concept de travail et énergie - 3° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le gyroscope, le schéma, l'hypothèse.
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Par substitution, nous obtenons :

(30.22 7)

Donc finalement :

(30.228)

Ainsi, en connaissant les moment d'inertie d'un

corps par rapport à ses axes principaux nous

pouvons connaître son moment d'inertie par rapport

à n'importe quel axe ayant un angle par rapport

aux axes principaux.

C.Q.F.D.

GYROSCOPE

Un solide (de révolution pour simplifier...), pouvant

s'orienter librement autour d'un point fixe et

tournant rapidement sur lui-même forme par

définition un "gyroscope".

Outre leur usage ludique... car ils permettent d'avoir

des configurations considérées comme

pédagogiquement exceptionnelles... les gyroscopes

constituent une part importante des systèmes de

navigation par inertie (avant l'apparition des GPS...)

dans l'aviation, l'aérospatiale, la marine (stabilisation

des bateaux), le cinéma/télévision (stabilisation des

caméras) et encore bien d'autres. Les instruments de

guidage par inertie de ces systèmes sont constitués

de gyroscopes et d'accéléromètres, qui calculent à

tout instant la vitesse exacte et la direction de

l'appareil en mouvement. Les signaux recueillis sont

communiqués à un ordinateur qui les enregistre et

qui corrige alors les aberrations éventuelles de la

trajectoire.

Les planètes constituent un autre exemple fameux

de gyroscopes. L'exemple le plus connu étant notre

Terre qui tournant relativement vite autour d'elle-

même et étant très massive son moment cinétique

fait que son pôle Nord est toujours (à l'échelle du

temps d'un humain ...) orientée vers l'étoile Polaire

quelque soit sa position sur son orbite.

La figure suivante est un exemple de gyroscope

connu dans les laboratoires des écoles et appelé

"gyroscope symétrique pesant". Il s'agit bien

évidemment d'un cas particulier et simplifié mais

qui permet de comprendre le principe de base du

gyroscope:

(30.229)

Se composant d'un moteur électrique dont le rotor,

le volant principal, forme la masse principale en

rotation angulaire rapide. Le stator du moteur est

fixé à une tige sur laquelle est positionné un

contrepoids à l'opposé. L'ensemble est posé sur un

pied de support à l'extrémité duquel se trouve un

cardan monté sur un roulement horizontal qui

autorise les orientations du gyroscope presque sans

limitations dans toutes les directions.

Dans ce schéma nous avons qui est la vitesse

angulaire instantanée du disque amovible de

rayon R, est la vitesse de précession du gyroscope

(rotation autour du pied de support), est la force

de la masse m complémentaire attachée au

contrepoids et qui déséquilibre le gyroscope, rest la

distance du cardan du gyroscope au contrepoids et

finalement a est l'angle d'inclinaison que prend l'axe

du gyroscope lorsqu'on le déséquilibre en attachant

le poids supplémentaire au contrepoids.

Pour débuter l'étude théorique de ce système,

rappelons que avons démontré plus haut que le

moment cinétique pour un solide ayant un moment

d'inertie J s'exprime par la relation suivante:

(30.230)

et nous avons vu que tout solide en rotation autour

d'un axe quelconque a aussi un moment cinétique

qu'il est alors d'usage de noter conformément avec

ce que nous avons vu plus haut:

(30.231)

Nous avons aussi démontré plus haut que le rotor,

comme toute masse en rotation rapide, produit alors

un moment de force donné par:

(30.232)

qui est vectoriellement colinéaire à et passe donc

par son axe de symétrie. Comme nous le savons

déjà, c'est cette dernière relation qui met le mieux en

évidence que le gyroscope maintient toujours une

direction identique dans l'espace même lorsque nous

déplaçons son support.

En d'autres termes un gyroscope libre animé d'une

grande vitesse de rotation a pour propriété

fondamentale de conserver son axe de rotation selon

une orientation fixe par rapport à l'espace absolu.

C'est ce que nous appelons la "première loi

gyroscopique" ou "loi de fixité".

Typiquement le "gyroscope de Foucault" représenté

ci-dessous, excellent exemple pratique de la loi de

fixité, garde son orientation quelque soit la manière

dont nous manipulons le socle sur lequel il est posé:

(30.233)

Si nous posons le gyroscope de Foucault toute une

journée sur une table avec un moteur qui maintient

la rotation du disque massif central constante, nous

observons alors la rotation de la Terre car le

gyroscope tourne alors très lentement sur lui-même

en 24 heures!

Pour revenir à nos considérations mathématiques...

intéressons nous maintenant au moment de force du

contrepoids qui déséquilibre notre gyroscope

symétrique alors que le disque est en rotation et qui

génère une rotation générale du gyroscope comme le

permet de constater l'expérience. Nous avons alors

pour le moment de force faisant tourner le

gyroscope autour de son axe (tige de soutient) :

(30.234)

Puisque le gyroscope ne précesse pas lorsque le

système est équilibré c'est que le moment de force

du poids supplémentaire qui déséquilibre le

gyroscope génère un moment cinétique selon la

relation démontrée plus haut tel que:

(30.235)

Ce qui schématiquement peut être représenté de la

manière suivante (il s'agit de notre gyroscope vu d'en

haut):

(30.236)

Nous avons alors dès que le gyroscope se met à

tourner (dans un mouvement circulaire):

(30.237)

En prenant l'approximation de Taylor au premier

ordre de la tangente pour les petits angles:

(30.238)

Faisons l'hypothèse, pour simplifier l'étude du

problème, que la variation du moment cinétique total

par rapport à l'axe de rotation du gyroscope (la tige

de soutien donc!) peut être assimilée au moment

cinétique du rotor seuil si ce dernier tourne

suffisamment vite et que sa masse est suffisamment

grande. C'est-à-dire que:

(30.239)

nous avons alors:

(30.240)

et dès lors puisque de par cette approximation tout

le moment de force est assigné à la variation du

moment cinétique du rotor seul:

(30.241)

Il vient enfin:

(30.242)

Donc lorsque le gyroscope symétrique pesant est

équilibré (lorsque M est nul au numérateur de la

fraction), son moment cinétique garde donc une

orientation fixe quelque soit la valeur du

dénominateur puisque sera alors toujours nul.

Le mouvement de rotation résultant d'un

déséquilibrage du gyroscope est donc dit

"mouvement de précession" lorsqu'il est provoqué

volontairement, et "dérive" lorsqu'il est dû à un

élément perturbateur.

Indiquons pour finir les gyroscopes ludiques pour

petits enfants comme la toupie ci-dessous:

(30.243)

Nous pouvons grossièrement la représenter ainsi

(vue de côté et vu du dessus) pour en faire une

analyse mathématique:

(30.244)

où nous faisons l'hypothèse que l'extrémité de l'axe

de la toupie est posée sur le sol sans possibilité de

glissement et que celle-ci à une vitesse angulaire

constante et suffisamment grande pour ne pas

avoir son inclinaison qui varie dans le temps.

En utilisant la même technique que pour le

gyroscope symétrique pesant nous avons (bon nous

aurions pu utiliser plus simplement la

relation vue dans le chapitre de

Trigonométrie...):

(30.245)

Nous avons aussi pour le moment de force:

(30.246)

Par contre le moment cinétique change!

Effectivement, nous avons donc dans ce cas

particulier:

(30.247)

il s'ensuite que sous les mêmes hypothèses que le

gyroscope pesant que:

(30.248)

d'où sous forme vectorielle:

(30.249)

et nous savons que cette dernière relation

(démonstration faite plus haut) peut être complétée

en écrivant:

(30.250)

Il vient alors:

(30.251)

Soit:

(30.252)

Nous voyons que la différence avec le gyroscope

symétrique pesant est que la vitesse de précession

est alors indépendante de l'angle.

Remarques:

R1. Un cycliste roulante en ligne droite est stabilisé (loi de fixité

oblige!) par le moment cinétique de ses roues qui est

perpendiculaire au sens de roulement.

R2. Sans probablement s'en rendre compte, on se penche en

bicyclette dans un virage pour produire une précession dans les

roues et tourner plus facilement. Effectivement le mouvement de

précession fait pivoter la roue de la bicyclette dans la direction

où on se penche sans qu'un ait besoin de tourner le guidon.

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