Notes sur le cône d'univers, Notes de Astronomie. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)
Caroline_lez
Caroline_lez9 January 2014

Notes sur le cône d'univers, Notes de Astronomie. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)

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Notes d'astronomie sur le cône d'univers. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: La topologie du cône de lumière, les événements ponctuels, l'espace-temps, la sphère céleste, le genre espace, le type lumière, l...
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La topologie du cône de lumière trouve son origine dans les relations d'antériorité et

postériorité des événements relativistes, ce qui permet de faire la distinction entre un

événement dans le passé d'un autre ou dans le futur de celui-ci.

Les cônes de lumière ont pour objectif principal dans les ouvrages de vulgarisation de la

physique théorique de schématiser l'histoire d'impulsions lumineuses émises en un point de

l'espace où peuvent régner certaines conditions. Les points sont représentés dans l'espace par

une série d'instantanés à divers instants ,etc. (voir figure ci-dessous), le front d'onde

sphérique de la lumière grossissant dans l'espace. Dans l'espace-temps, le même événement

(en bas sur la figure) est représenté par un "cône de lumière", dont le sommet est le point

d'émission.

Sur une feuille de papier, nous devons supprimer l'une des dimensions spatiales. Les axes

spatiaux sont dessinés dans le plan horizontal et l'axe temporel dirigé vers le haut. Les sections

du cône aux instants correspondant aux instantanés de la représentation spatiale : les

fronts d'ondes à deux dimensions sont des cercles dont le rayon est celui du front d'onde

sphérique à l'instant considéré. Le cône de lumière montre un seul diagramme de l'histoire

continue du front d'onde d'un signal lumineux.

(49.307)

Plus rigoureusement, les "instantanés" dont il a été fait mention plus haut sont appelés des

"événements ponctuels" et ceux-ci apparaissent instantanés (approximation reposée sur

l'optique géométrique) à tout observateur capable de les voir. Une collision entre deux

particules ponctuelles fournit un exemple d'événement ponctuel. Il est tout à fait possible qu'un

événement instantané non ponctuel apparaisse instantané à un certain observateur mais, à

cause de la vitesse de propagation finie de la lumière, non instantané à un autre observateur.

Définitions:

D1. Nous disons par définition que deux événements ponctuels occupent le même point

d'espace-temps s'ils apparaissent simultanés à tout observateur capable des les voir.

D2. L'ensemble M de tous les points de l'espace-temps est appelé "l'espace-temps".

D3. La frontière définie par le cône d'Univers est appelée "horizon cosmologique"

Rappelons que si aucune force n'agit sur une particule ponctuelle, nous la qualifions

"d'inertielle" ou de "libre". Nous disons également qu'elle est en "mouvement inertiel".

Étant donné le point p, N(p) est une structure géométrique absolue, indépendante de

l'observateur. Sa composante future sera notée ; sa composante passée et elle

sera représentée par le cône suivant :

(49.308)

Effectivement, rappelons que l'équation de Minkowski est invariante puisque :

(49.309)

Rapporté à trois paramètres (nous enlevons une dimension spatiale) nous avons, si les

événements ponctuels sont reliés à la vitesse de la lumière (voir plus haut) :

(49.310)

Ce que nous pouvons aussi écrire sous la forme :

(49.311)

à comparer avec l'équation d'un cône (cf. chapitre de Géométrie Analytique) :

(49.312)

lorsque nous posons c=1 (ce qui est fréquent en physique théorique comme nous en avons

déjà fait mention de nombreuses fois).

Donc l'équation de Minkowski peut donc bien être représentée par un cône.

Remarque: Si nous gardons les trois paramètres spatiaux et l'intervalle de temps constant, le

lecteur remarquera certainement que nous tomberions non plus sur l'équation d'un cône mais sur

celle d'une sphère. Il s'agit de la "sphère céleste" où à un instant donné, à sa surface, se créent de

multiples cônes de lumière.

La ligne d'univers de tout observateur qui occupe instantanément p et dont la ligne d'univers

passe donc par plui-même, est contenue à l'intérieur de N(p) définit par un point unique sur sa

sphère céleste (celle qui est donc décrite par le vecteur d'information - qu'est le photon - dans

toutes les directions de l'espace). Cela veut dire qu'il peut y avoir, in extenso, autant de rayons

nuls (foyers des cônes) passant par p que de points sur une sphère.

L'exemple suivant paraîtra plus évident :

(49.313)

Comme illustré sur la figure ci-dessus, un événement lumineux au point O de l'espace-temps

produit un faisceau de photons, tous dans le cône nul du futur O, (ces photons ont été

émis par des atomes dans des états de mouvement variés, dont les lignes d'univers l et l'

passent par O, mais sont entièrement contenues à l'intérieur de ). La ligne

d'univers n peut seulement être décrite par une particule se mouvant à la vitesse de la lumière

car elle définit la frontière du cône (nous disons alors que la ligne d'Univers est "du genre

lumière").

Remarque: La représentation des lignes d'Univers dans la partie inférieur (cône renversé) vient

du fait qu'un événement peut également avoir un passé... donc le schéma généralise l'exemple

particulier.

Soit la ligne d'univers d'un personnage P immobile (d'où la verticalité de sa ligne d'Univers

sur la figure ci-dessus) et n celle d'un rayon lumineux ayant pour origine O. Tous deux résident

dans l'espace à quatre dimensions et ils se coupent selon un point unique P. Les

points O et P se situent sur un rayon nul (d'un future cône), n, de . En P, le

personnage P voit un flash soudain dans la direction définie par n, pour lui la direction de

l'événement lumineux (décrite uniquement par sa vitesse donc, ainsi une ligne d'univers d'une

particule inertielle peut être décrite uniquement par le temps et sa vitesse).

Un atome dont la ligne d'Univers coupe n au point Q, absorbe un photon de l'événement

lumineux O et réémet peu de temps après un faisceau de photons. Ceux-ci forment alors à leur

tour des rayons nuls dans , mais seuls ceux de direction n atteindront le

personnage P et seront vus par lui au point P.

Si P se trouve à l'intérieur de N(O), le cône nul de O, nous dirons que sa ligne d'Univers est de

"genre temps". Dans ce cas, O et P sont situés sur la ligne d'Univers d'un observateur ou d'une

particule massive. Il existe bien évidemment deux types de déplacements de genre temps :

1. Si P est dans le futur de O (selon un observateur dont la ligne d'univers passe par O et P),

nous dirons que P"pointe vers le futur"

2. Dans le cas contraire, nous dirons bien entendu qu'il "pointe vers le passé".

Si P se situe sur N(O), nous dirons alors qu'il est "nul" et P n'est ni nul ni de genre temps,

alors P se situe à l'extérieur de N(O). Nous disons alors que qu'il est de "genre espace" :

(49.314)

Cela se traduit mathématiquement par en se rappelant (voir plus haute) que:

(49.315)

D1. : la ligne d'univers est donc de "type lumière" et c'est elle qui décrit la surface du

cône par définition (selon ce que nous avons démontré précédemment et quelque soit le choix

de la métrique) soit que:

(49.316)

ce qui est le cas d'un photo de lumière (d'où le nom...).

D2. : nous disons alors que la ligne d'univers est de "type espace" soit que:

(49.317)

Deux événements qui ont lieu simultanément mais à des lieux différents sont donc de type

espace.

D3. : nous disons alors que l'intervalle ou la ligne d'univers sont de "type temps" soit

que:

(49.318)

(49.319)

D4. Une "ligne causale" est une ligne de genre lumière ou temps qui est toujours orientée vers

le futur.

Revenons à nos équations après ce petit interlude... les équations conduisent donc à faire

plusieurs observations. Ainsi, dans l'Univers euclidien à quatre dimensions de Minkowski, les

trajectoires des objets dans l'espace-temps sont toujours des droites. Effectivement, l'exemple

trivial consiste à considérer que l'objet reste au repos, seul le temps continue alors à s'écouler.

Nous avons dès lors:

(49.320)

en posant , cela nous nous donne :

(49.321)

donc :

(49.322)

et aussi :

(49.323)

La primitive étant (constante d'intégration nulle):

(49.324)

qui est bien une droite et représente donc la ligne d'Univers de l'objet considéré dans le cône

d'Univers. Nous pouvons aussi observer aussi que dans ce cas, l'évolution du phénomène est

purement temporelle quand l'intervalle est positif (ce qui appuie ce que nous avions dit tout à

l'heure).

Remarques:

R1. Si la vitesse de la lumière est infinie nous retrouvons le cas particulier de l'univers

newtonien, où un phénomène peut instantanément se produire en dehors de tout lien de causalité

(nous disons alors que l'effet à lieu avant la cause). Le temps y est absolu et il n'existe pas

d'horizon cosmologique car le cône à une ouverture maximale (angle droit).

R2. Si nous posons que la vitesse de lumière est égale à l'unité, comme nous l'avons fait, l'axe

des ordonnées du cône est dit "axe purement temporel".

R3. Il faut comprendre par soi-même que l'Univers a son propre cône d'Univers (cône... si

l'espace est de type Minkowskien bien sûr...).

Enfin, indiquons que la théorie de la relativité restreinte, au même titre que celle de la relativité

générale, n'impose pas un nombre de dimensions spatiles données pour rester consistante: ce

qui est dommage pour les physiciens théoriciens qui souhaiteraient une théorie qui s'impose à

elle-même une nombre fini de dimensions pour rester consistante (ce que par contre la théorie

des cordes fait avec 25 dimensions... et celle des supercordes avec 11).

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