Notes sur le corps de révolutions - 1° partie, Notes de Mathématiques. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur le corps de révolutions - 1° partie, Notes de Mathématiques. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)

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Notes de mathématique sur le corps de révolutions - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Un "corps de révolution", Un "cylindre", Un "cône", La "sphère", Un "tore".
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Corps de révolutions.

Définition: Un "corps de révolution" est un volume que nous obtenons en faisant tourner une

courbe 2D autour d'un axe.

Il existe donc autant de corps de révolution que de type de courbe fermée ou non que nous

pouvons faire tourner autour d'un axe.

Voyons avant d'aller plus loin la méthode générale permettant de déterminer l'aire d'un corps de

révolution. C'est-à-dire la surface du corps engendré par la rotation d'une courbe de longueur

finie autour d'un axe:

(26.213)

Pour cela, nous remarquons que lorsque la courbe est donnée par une équation nous

remarquons par Pythagore (voir figure ci-dessous) que l'élément de longueur dl vérifie (relation

que nous avons déjà rencontrée dans d'autres chapitres du site):

(26.214)

donc :

(26.215)

Ainsi l'élément de surface engendré par la rotation de l'élément de longueur dl est donné par:

(26.216)

L'aire de la surface de révolution engendrée par une fonction continûment

différentiable est donc donnée par la relation:

(26.217) cylindre

Définition: Un "cylindre" est une surface engendrée par une droite qui se déplace parallèlement à

une direction fixe en rencontrant une courbe plane fixe, dont le plan coupe la direction donnée.

(26.218)

Le volume d'un cylindre de révolution de rayon et de hauteur égale à h se calcule par la

méthode des disques en sachant que la surface d'un cercle (disque) vaut :

(26.219)

La surface d'un disque étant simplement la somme de la surface des deux disques de base et du

sommet et de la surface du rectangle plié de hauteur h et de longueur :

(26.220)

Calculons maintenant le moment d'inertie d'un cylindre plein par rapport à son axe de symétrie

vertical (axe de révolution) :

(26.221)

Nous avons :

(26.222)

Donc :

(26.223)

Soit maintenant G le centre de gravité du cylindre, coïncide avec l'axe de révolution du

cylindre. Les axes et jouent des rôles identiques. Les moments d'inertie et par

rapport à ces axes sont donc égaux et s'écrivent :

(26.224)

d'où :

(26.225)

d'où :

(26.226)

La première intégrale est en fait le moment d'inertie du cylindre par rapport à l'axe et nous

savons quelle vaut :

(26.227)

La deuxième intégrale se calcule facilement en découpant le cylindre en tranches

d'épaisseur dz perpendiculaires à l'axe . La masse de la tranche élémentaire

est soit :

(26.228)

Le moment d'inertie d'un cylindre par rapport à un axe perpendiculaire à son axe de révolution

s'écrit donc :

(26.229)

Calculons maintenant le moment d'inertie d'un tube ou d'un cylindre creux d'épaisseur non nulle

(toujours donné dans les formulaires techniques) : le moment d'inertie d'un tube par rapport à son

axe de révolution est un grand classique du traitement du moment d'inertie du cylindre. Ainsi,

considérons un tube de rayon extérieur et de rayon intérieur . Comme (cf. chapitre de

Mécanique Classique) :

(26.230)

Il vient dès lors que le moment d'inertie d'un tube peut-être vu comme le moment d'inertie du

cylindre de rayon égal au rayon externe du tube diminué du moment d'inertie du cylindre de rayon

égal au rayon interne du tube. Ainsi :

(26.231)

et si , il vient dès lors la relation classique disponible dans nombre de formulaires de

physique :

(26.232) cône

Définition: Un "cône" est une surface engendrée par une droite mobile, passant par un point fixe et

s'appuyant sur une courbe fixe; solide déterminé par cette surface.

Le volume d'un cône de révolution de rayon à la base r et de hauteur égale à h se calcule

également par la méthode des disques.

La droite passant par les points (extrémité de la base du cône) et (sommet du cône)

est :

(26.233)

La rotation de cette droite par rapport à l'axe des y donne le volume du cône :

(26.234)

(26.235)

Calculons maintenant d'inertie d'un cône par rapport à son axe de révolution :

Pour ce calcul, nous allons utiliser la valeur du moment d'inertie du cylindre et considérer le

cône comme un empilement de cylindres infinitésimaux.

Donc :

(26.236) SPHÈRE

Définition: La "sphère" est le volume engendré par la rotation d'un disque (ou cercle) de

rayon r autour de son centre de gravité.

(26.237)

Nous pouvons voir une sphère de rayon R, comme une surface qui est formée par la rotation d'un

demi-cercle autour de son grand axe. La fonction décrivant un demi-cercle étant :

(26.238)

La sphère peut être disséquée donc comme un somme de disques d'épaisseur . Les demi-

disques étant perpendiculaires à l'axe des abscisses et de largueur à la position (voir figure

ci-dessous).

(26.239)

Nous avons ainsi :

(26.240)

Le volume d'un disque (cylindre) étant donné par (en passant à la limite) :

(26.241)

et le rayon étant donné par la fonction :

(26.242)

nous avons alors :

(26.243)

En intégrant entre , nous avons alors le volume de la sphère :

(26.244)

Nous pouvons également prendre les bornes entre cela revenant au même à un facteur

2 près :

(26.245)

Après simplification, nous obtenons pour le volume :

(26.246)

L'expression de la surface étant donnée par dérivant par rapport à l'élément générant la surface,

nous obtenons ainsi (c'est un peu limite comme raisonnement mais bon...):

(26.247)

Il existe une autre manière d'aborder ces calculs un peu plus rigoureuse. Effectivement, dans le

chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral nous avons introduit le concept de Jacobien qui permet

de changer les variables d'intégration en fonction du système de coordonnées sur lequel nous

travaillons.

(26.248)

et nous avons démontré que le jacobien en coordonnées sphériques est :

(26.249)

Dès lors, nous avons :

(26.250)

et pour la surface (pour laquelle le rayon est constant) :

(26.251)

Au besoin, on peut trouver l'élément de surface de manière géométrique plutôt que de passer par

la jacobien car ce dernier n'est pas très pédagogique dans les petites classes...

Alors en se rappelant que dans le chapitre de Trigonométrie nous avons démontré que la longueur

d'un arc de cercle est donné par:

(26.252)

Alors il devient très aisé de compléter la figure suivante:

(26.253)

et nous voyons alors immédiatement que:

(26.254)

ce qui est quand même plus sympa...

Calculons maintenant le moment d'inertie d'une boule pleine homogène de masse M et de masse

volumique . Pour cela, la boule présentant une symétrie maximum, il est plus commode de

calculer d'abord le moment d'inertie polaire (cf. chapitre de Mécanique Classique), puis de

déterminer le moment d'inertie axial à partir de ce premier :

(26.255)

Comme sont égaux par symétrie de la boule, il vient :

(26.256) TORE

Définition: Un "tore" est la surface engendrée par la rotation d'un cercle c de rayon r autour d'une

droite située dans son plan, mais ne passant pas par son centre.

Soit l'équation d'un demi-cercle de centre :

(26.257)

Afin d'écrire y sous la forme d'une fonction de x, isolons y dans cette équation:

(26.258)

Le cercle est constitué des graphes des deux fonctions :

- Demi-cercle supérieur :

(26.259)

- Demi-cercle inférieure :

(26.260)

Le volume demandé est la différence entre les volumes engendrés par la rotation des surfaces

(surfaces définies par l'aire comprise entre la fonction du cercle concerné et l'axe des abscisses

compris entre ) dans l'espace autour de l'axe des abscisses.

En appliquant la relation d'intégration des corps de révolution :

(26.261)

Calculons cette dernière intégrale par la substitution classique donc :

(26.262)

si :

(26.263)

si :

(26.264)

donc :

(26.265)

Linéarisons cette expression en utilisant à nouveau les relations trigonométriques :

(26.266)

Donc le volume d'un tore de "rayon mineur" r et de "rayon majeur" c est donné par :

(26.267)

Adapté à la figure ci-dessous (prise de la littérature) :

(26.268)

et la surface (par dérivation de l'élément génération de surface) :

(26.269)

Le moment d'inertie du tore relativement à son axe de révolution se calcule de la manière suivante

:

Soit le volume du tore (démontré précédemment) noté :

(26.270)

La densité volumique du tore est donnée par (masse sur volume):

(26.271)

En coordonnées cylindriques, nous avons :

(26.272)

d'où :

(26.273)

Le moment d'inertie est alors donné par :

(26.274)

Posons , dès lors :

1. Les bornes d'intégration deviennent dès lors puisque nous ramenons tous les points

d'intégration à l'origine en posant

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