Notes sur le corps de révolutions - 2° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur le corps de révolutions - 2° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur le corps de révolutions - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Un "ellipsoïde", Un "paraboloïde".
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2. Trivialement, puisque nous avons donc

Ce qui nous donne :

(26.275)

Comme l'intégrale entre deux bornes égales d'une fonction ou produit de fonction impaires est nul

(cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral), les intégrales de :

(26.276)

sont nulles.

Nous avons donc à calculer :

(26.277)

Posons maintenant et donc . Il vient donc :

(26.278)

Or, comme :

(26.279)

Donc :

(26.280)

Soit (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

(26.281)

Donc finalement :

(26.282) ELLISPOÏDE

Définitions:

D1. Un "ellipsoïde" est une surface du second degré de l'espace euclidien à trois dimensions. Il fait

donc partie des quadriques (cf. chapitre de Géométrie Analytique)

(26.283)

D2. Un "ellipsoïde de révolution" est un solide engendré par la révolution d'une ellipse autour de

l'un de ses axes.

Pour calculer le volume délimité par l'ellipsoïde, prenons l'équation que nous avons déterminée

lors de notre étude des coniques (cf. chapitre de Géométrie Analytique) :

(26.284)

Remarque: Dans le cas où seuls deux paramètres aux dénominateurs sont égaux, l'ellipsoïde peut être

engendré par la rotation d'une ellipse autour d'un de ses axes. Il s'agit alors de l'ellipsoïde de révolution

définie juste précédemment et parfois appelé "sphéroïde".

La section par un plan parallèle au plan Oyz et se trouvant à la distance x de ce dernier, donne

l'ellipse :

(26.285)

ou :

(26.286)

avec pour demi-axes :

(26.287)

Mais comme nous l'avons démontré, la surface d'une ellipse vaut . Par conséquent :

(26.288)

Le volume de l'ellipsoïde est alors égal à :

(26.289)

Donc :

(26.290)

et si , nous retrouvons l'expression du volume d'une sphère :

(26.291)

Remarque: Le calcul du moment d'inertie d'un ellipsoïde est très important en astrophysique puisque un

grand nombre d'étoiles ou de planètes en rotation sur elles-mêmes de par leur déformation à l'équateur à

cause de la force centrifuge se voient déformés en première approximation en tel volume.

Pour un ellipsoïde, définissons C comme étant le moment d'inertie le long de l'axe c, A le moment

d'inertie le long de l'axe a et B le moment d'inertie le long de l'axe b.

Pour commencer, considérons le moment d'inertie le long de l'axe c que nous assimilerons à

l'axe z. Dès lors, en coordonnées cartésiennes, nous avons :

(26.292)

En faisant la substitution suivante, nous sous-entendons que l'intégrale précédente est une

normalisation d'un ellipsoïde :

(26.293)

ce qui nous donne pour notre intégrale (nous transformons donc ainsi le volume V de l'ellipsoïde

en le volume V'd'une sphère) :

(26.294)

Nous pouvons maintenant passer les coordonnées cartésiennes en coordonnées sphériques (cf.

chapitre de Calcul Vectoriel) sans oublier d'utiliser le Jacobien (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et

Intégral) que nous avions démontré comme valant en coordonnées sphériques :

(26.295)

Donc (nous utilisons les primitives usuelles démontrées dans le chapitre de Calcul Différentiel Et

Intégral) :

(26.296)

en y insérant pour l'ellipsoïde :

(26.297)

nous obtenons alors :

(26.298)

et par symétrie, nous avons les résultats triviaux suivants :

(26.299)

La matrice d'inertie (cf. chapitre de Mécanique Classique) est alors :

(26.300)

PARABOLOÏDE

Définition: Un "paraboloïde" est un solide engendré par la révolution d'une parabole autour de son

foyer :

(26.301)

La méthode de calcul du volume du paraboloïde à base elliptique est exactement la même que

celle pour la pyramide à la différence que l'équation d'une parabole est du type et que

nous avons aussi . Dès lors, nous avons évidemment . Le carré de la fonction

nous amène à écrire :

(26.302)

et idem pour . Dès lors :

(26.303) TONNEAU À SECTION CIRCULAIRE

Maintenant regardons pour la plaisir un volume très connu par les viticulteurs (et pas seulement!):

(26.304)

Considérons que la courbe latérale du tonneau est une parabole d'équation:

(26.305)

Posons:

et (26.306)

étant donné la manière dont nous avons disposé les axes x, y il est relativement aisé de

déterminer les coefficients du polynôme. Déterminer le coefficient c est le plus simple:

(26.307)

Nous avons aussi:

(26.308)

De même que:

(26.309)

Ainsi, nous avons:

(26.310)

Le rayons d'une section horizontale d'ordonnée x est et sa surface est donc:

(26.311)

ou:

(26.312)

Développons:

(26.313)

Le volume de liquide pour une hauteur h sera donc:

(26.314)

Pour calculer la surface intérieure du tonneau, nous considérons la courbe extérieure donnée par

un arc de parabole comme représenté ci-dessous:

(26.315)

Pour calculer l'aire latérale de ce tonneau nous devons d'abord déterminer l'expression de la

parabole ci-dessus.

En regardant la figure nous obtenons :

(26.316)

qui est un système de trois équations en les inconnues .

Après résolution nous obtenons :

(26.317)

La surface latérale du tonneau incluant la surface des deux disques aux extrémités est alors

donnée par :

(26.318)

En faisant le changement de variable nous obtenons :

(26.319)

Cette dernière intégrale peut être calculée en utilisant les relations suivantes (dont la deuxième a

été démontrée dans le chapitre de Calcul Différentiel et Intégral):

(26.320)

où pour rappel:

(26.321)

Nous n'irons pas plus loin car la formule obtenue serait énorme et sans grand intérêt.

Voici néanmoins une application numérique. Supposons:

(26.322)

Nous calculons :

(26.323)

Donc:

(26.324)

la première des intégrales vaut :

(26.325)

La deuxième vaut :

(26.326)

Et finalement:

(26.327)

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