Notes sur le cours complet de de génie électrique - 2° partie., Notes de Génie Électrique
Christophe
Christophe13 January 2014

Notes sur le cours complet de de génie électrique - 2° partie., Notes de Génie Électrique

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Notes de ingénierie sur le cours de génie électrique - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'énergie dissipée, le circuit rlc série, le régime critique, le régime apériodique (ou hypercritique), l...
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toute la durée du régime transitoire pour signaler la puissance dissipée dans les

caractéristiques de vente (cela passe mieux que de mettre des équations...)

(46)

Multiplions les termes de l'équation différentielle par i(t):

(47)

Ce que nous écrivons:

(48)

Pour calculer l'énergie dissipée, nous procédons de la même manière que pour le circuit RC

série. Nous avons après intégration:

(49)

soit:

(50)

Contrairement au cas du circuit RC, nous ne pouvons intégrer ci-dessus avec les bornes

données à cause du "1-" qui est devant l'exponentielle car celui-ci fait tendre la puissance

consommée vers l'infini ce qui est logique, contrairement au circuit RC qui finit lui par se

bloquer une fois la capacité chargée (le courant i tendant vers zéro très vite).

Donc soit, nous intégrons seulement jusqu'à un t temps limite suffisamment grand par rapport

aux valeurs des éléments passifs (deux ou trois ), soit nous nous intéressons à titre purement

indicatif à la valeur instantanée de la puissance. Nous avons alors:

(51)

Et donc à la fin du régime transitoire quand :

(52)

donc en régime stable la résistance est le seul élément dissipatif d'énergie dans le circuit et il

suffit de multiplier alors la puissance dissipée par l'intervalle de temps désirée pour avoir une

estimation de l'énergie dissipée.

CIRCUIT RLC SÉRIE

Un fil électrique (une antenne par exemple) n'est pas un conducteur parfait. En réalité il peut

être assimilé à une résistance, une capacité et une inductance interne en série. Si prenons le cas

par exemple des générateurs, souvent on ne considère que la résistance interne comme non

négligeable et celle-ci fait bien évidemment diminuer la tension nominale du générateur d'un

facteur en première approximation proportionnel au courant qui le traverse.

Pour étudier le comportement d'un tel élément souvent appelé "circuit RLC" nous le

représentons d'abord sous la forme suivante:

(53)

Nous supposons qu'initialement le condensateur est chargé et qu'il ne circule aucun courant

(interrupteur ouvert):

et (54)

Quand nous fermons l'interrupteur les électrons partent du condensateur C. Nous avons alors

aux bornes de la résistance:

(55)

aux bornes du condensateur:

(56)

aux bornes de la bobine:

(57)

La somme des différences de potentiel du circuit est égale à la différence de potentiel initiale

d'où:

(58)

ou autrement écrit:

(59)

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du second ordre. Pour la résoudre il faut chercher

les racines de l'équation caractéristique associée (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral):

(60)

Celle-ci a pour discriminant:

(61)

La valeur de la résistance pour laquelle ce discriminant est nul est appelée "résistance critique":

(62)

Nous pouvons ceci dit écrire le discriminant sous la forme suivante:

(63)

Les solutions de l'équation différentielle sont différentes selon le nombre et le type des racines

de l'équation caractéristique.

RÉGIME CRITIQUE

Il s'agit du cas où . L'équation caractéristique admet alors une racine double réelle

puisque:

(64)

Nous avons alors:

(65)

avec:

(66)

L'équation différentielle admet alors une solution du type suivant lorsque le discriminant est nul

(cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral):

(67)

en omettant le retard.

Ce qui donne pour l'intensité:

(68)

Les constantes sont définies par les conditions initiales:

(69)

Nous obtenons donc pour la solution globale:

(70)

Les figures suivantes illustrent l'allure de l'évolution temporelle de la charge du condensateur et

de l'intensité au travers de l'inductance. L'intensité est maximale pour :

(71)

RÉGIME APÉRIODIQUE (OU HYPERCRITIQUE)

Il s'agit du cas où . L'équation caractéristique admet alors deux racines réelles

distinctes:

(72)

Soit:

(73)

Les deux racines sont de même signe car en utilisant les relations de Viète (cf. chapitre de

Calcul Algébrique) nous avons:

(74)

Les deux racines sont donc obligatoirement négatives. Nous notons leurs valeurs absolues:

Ces deux racines sont donc négatives. Nous notons leurs valeurs absolues :

(75)

qui vérifie donc:

(76)

Nous avons vu dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral qu'à ce moment la solution

(sans déphasage) est de la forme:

(77)

Ce qui donne pour l'intensité:

(78)

Les constantes A et B sont définies par les conditions initiales:

(79)

Ce qui nous donne:

(80)

Soit sous forme conventionnelle:

(81)

Soit en reportant dans les expressions de la charge et de l'intensité:

(82)

Les figures suivantes illustrent l'évolution temporelle de ces fonctions (se rappeler que les

racines sont négatives!).

(83)

RÉGIME PSEUDO-PÉRIODIQUE (OU DES OSCILLATIONS AMORTIES)

Il s'agit du cas où . L'équation caractéristique admet alors deux racines complexes

conjuguées:

(84)

qui sont assimilées à la résistance du circuit. Nous l'appelons "impédance complexe".

Nous allons voir que contrairement à l'intuition de l'époque, les racines complexes ont une

signification physique réelle.

Notons pour cela et les valeurs absolues des parties réelle et imaginaires de ces racines:

(85)

avec:

(86)

et:

(87)

Nous avons vu dans le chapitre de Calcul Différentiel et Intégral que la solution de l'équation

différentielle s'écrit alors:

(88)

Ce qui nous donne pour l'intensité:

(89)

Les constantes C' et sont déterminées par les conditions initiales:

(90)

Ce qui nous donne:

et (91)

Soit:

et (92)

Soit en reportant dans les expressions de la charge q et du courant i:

(93)

et:

(94)

D'abord nous avons:

(95)

d'où:

(96)

Ce qui nous donne:

(97)

Or, nous avons:

(98)

et:

(99)

Nous avons alors:

(100)

(101)

où:

(102)

est le "facteur d'amortissement". Si nous voulons avoir de belles oscillations peu amorties, il y a

intérêt à avoir ce terme le plus petit possible donc une valeur de R petite.

Lorsque R est nul nous avons alors:

(103)

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