Notes sur le cours complet de génie civil - 2° partie, Notes de Génie civil
Christophe
Christophe13 January 2014

Notes sur le cours complet de génie civil - 2° partie, Notes de Génie civil

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Notes de ingénierie sur le cours complet de génie civil - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le plot de l'intégral de Fresnel, les câbles suspendus, les barrages.
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(25)

Le plot de l'intégral de Fresnel donne dans Maple:

plot([FresnelC(t),FresnelS(t),t=-5..5]);

(26)

En zoomant sur la partie qui nous intéresse:

(27)

La même chose à une constante facteur près en utilisant la série de Taylor présentée

antérieurement:

(28)

Les bureaux d'ingénieur utilisent des logiciels spéciaux intégrant des spirales des clothoïdes

dans des environnements 2D ou 3D sur la base de relevé topographiques fait par des

géomaticiens.

CÂBLES SUSPENDUS

Galilée, fut sans doute le premier à s'intéresser à la chaînette qu'il prit pour un arc de parabole.

Jean Bernoulli, Huygens et Leibniz trouvèrent (indépendamment) en réponse au défi lancé par

Jakob Bernoulli, sa véritable nature en 1691 : engendrée par un cosinus hyperbolique.

(29) Source: Chronomaths

Considérons (source: ChronoMath) pour l'étude un câble homogène, flexible, attaché en deux

points A et B. Dans sa position d'équilibre, le câble pend dans un plan vertical et semble

prendre une forme parabolique. En fait, pas vraiment...

(30)

Créons dans ce plan un repère orthonormé , où O désigne le point le plus bas du

câble et notons le champ de pesanteur à son endroit.

Appelons la tension au point O faisant échec à la tension en M de sorte que la portion de

câble [OM] de longueur L, soumise à son poids linéique au point G, soit en équilibre au sens

statique:

(31)

Projetons sur les axes de coordonnées en notant l'angle .

Nous avons alors les décompositions suivantes:

(32)

Nous pouvons alors écrire le système:

(33)

Soit après simplification:

(34)

Soit:

(35)

En calculant le rapport:

(36)

Pour obtenir une équation différentielle différentions... (là c'est subtil...):

(37)

Ensuite:

(38)

Mais la tangente c'est aussi la dérivée de la fonction décrivant la chaînette. Donc:

(39)

Il vient alors:

(40)

Posons et cherchons la primitive du membre de gauche dans un premier temps (celle du

membre droite étant évidente). Les calculs faits dans le chapitre de Calcul Différentiel Et

Intégral dans la détermination des primitives usuelles nous donne:

(41)

Nous avons donc:

(42)

en passant à l'exponentielle:

(43)

en remarquant que dans notre problème en nous avons bien .

Pour trouver y' nous utilisons une astuce: Nous savons que la fonction est symétrique. Donc si

nous remplaçonsx par -x la tangente change aussi de signe et passe de y' a -y':

(44)

En soustrayant:

et (45)

il vient:

(46)

Donc après intégration:

(47)

Soit:

(48)

Nous voyons bien avec Maple la différence entre une parabole et la chainette:

> plot([x^2,cosh(x)],x=-4...4);

(49)

Considérons maintenant deux points dans le plan , et déterminons l'équation

de la chaînette de longueur L ayant ces deux points comme extrémités.

Nous avons les deux équations :

(50)

Nous obtenons une troisième équation à l'aide de la longueur L qui est connue. En effet (cf.

chapitre de Mécanique Analytique):

(51)

où nous avons toujours:

(52)

Ainsi nous obtenons un système non linéaire de trois équations à trois inconnues ( ):

(53)

Déterminons à titre d'exemple la chaînette de longueur 38 cm passant par les points

, .

Il faut alors résoudre le système suivant :

(54)

Voici les commandes Maple qui nous permettent d'obtenir le résultat.

e1:=0=k*cosh(-9/k+c1)+c2;

e2:=10=k*cosh(9/k+c1)+c2;

e3:=38=k*(sinh(9/k+c1)-sinh(-9/k+c1));

fsolve({e1,e2,e3},{k,c1,c2},{k=0..infinity});

Maple donne : k = 4.073758798, c1 = .2694982504, c2 = -14.46356329.

Graphiquement nous avons alors:

(55)

Dans le cas des lignes de chemins de fer électrifiées, nous pallions à la flèche (cf. chapitre de

Génie Mécanique) rédhibitoire par un câble porteur principal de la caténaire : le câble supérieur

(ci-dessous à droite) subit une flèche acceptée, ce qui diminue les tensions entre les pylônes.

La caténaire reste ainsi bien linéaire grâce aux accroches auxiliaires multiples à un câble

auxiliaire.

(56) Source Chronomaths

Sinon signalons que nous retrouvons aussi les chaînettes dans tous les endroits de la vie de

tous les jours où un câble est suspendu entre deux points sur une même horizontale.

BARRAGES Considérons le barrage de hauteur z, de longueur L et stockant de l'eau de densité ci-

dessous:

(57)

Nous avons vu dans le chapitre de Mécanique des Milieux Continus que la pression

hydrostatique était donnée par:

(58)

mais dans cette situation nous avons évidemment:

(59)

Ainsi lorsque nous nous plaçons à la surface de l'eau en :

(60)

soit la pression de l'air à la surface du lac de barrage.

Sur un élément de surface d'aire dS il s'exerce une force élémentaire:

(61)

Or:

(62)

Ainsi:

(63)

d'où après intégration

(64)

Il s'agit donc de la force exercée sur la face immergée. La force sur la face émergée (à gauche

sur l'illustration) est simplement donnée en posant . Nous avons donc:

(65)

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