Notes sur le cours d'informatique quantique - 1° partie, Notes de Applications informatiques
Francine88
Francine8813 January 2014

Notes sur le cours d'informatique quantique - 1° partie, Notes de Applications informatiques

PDF (111.1 KB)
10 pages
1000+Numéro de visites
Description
Notes d'informatique sur le cours d'informatique quantique - 1° partie.Les principaux thèmes abordés sont les suivants:L'informatique quantique,La grande nouveauté,tableau,la polarisation du photon,qubit.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 10
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

L'informatique quantique (nous devrions plutôt parler de "calculation quantique" car nous

somme actuellement très loin d'un système d'entrée/sortie) est un exemple royal de l'utilisation

des spécificités des modèles théoriques de la physique quantique pour le traitement et la

transmission de l'information.

Toutefois il faut aussi se rappeler que le comportement des transistors gravés sur la puce de

votre ordinateur n'a pu être imaginé en 1947 par Bardeen, Brattain et Shockley qu'à partir de

leurs connaissances en physique quantique. Donc la totalité de nos appareils électroniques

fonctionnant déjà sur la base de semi-conducteurs fonctionnent à l'aide de développements

obtenus grâce à la physique quantique.

La grande nouveauté, depuis le début des années 1980, est la possibilité pour les physiciens de

manipuler et d'observer des objets quantiques élémentaires individuels : photons, atomes, ions,

etc. C'est cette possibilité de manipuler et d'observer des objets quantiques élémentaires qui

est à l'origine de l'information quantique, où ces objets quantiques élémentaires permettront de

construire physiquement les qubits. Cela dit, aucun concept fondamentalement nouveau n'a été

introduit depuis les années 1930, et les pères fondateurs de la physique quantique

(Heisenberg, Schrödinger, Dirac, Planck, Einstein,…), s'ils ressuscitaient aujourd'hui, ne seraient

pas surpris par l'informatique quantique, même s'ils seraient sûrement éblouis par les

prouesses des expérimentateurs qui réalisent aujourd'hui des expériences qualifiées à l'époque

de "gedanken experiment" (expérience imaginaire).

Il vaut aussi la peine de signaler que la miniaturisation croissante de l'électronique va trouver

ses limites en raison des effets quantiques, qui vont devenir incontournables en dessous du

nanomètre. Ainsi, nous estimons que la loi de Moore (hypothèse selon quoi la puissance de

calcul des machine double à peu près tous les 18 mois) pourrait ne plus être valable d'ici 2015-

2020.

Il est fort à parier que la mode de l'étude de la physique quantique et son application à

l'informatique quantique (et l'électronique quantique et la télecommunication quantique) va

exploser dans les décennies à venir (surtout vers la fin du 21ème siècle). Ainsi, les écoles

d'ingénieurs intégreront presque dans tous les domaines la physique quantique dans les

programmes scolaires. Ce que les physiciens étudient depuis bientôt déjà presque 100 ans

dans leur cursus.

Avant de passer au côté formel, nous avons jugé cependant intéressant un côté vulgarisé car

nous avons remarqué que cela aide à comrprendre les calculs qui seront fait par la suite.

Dans les années 70 et 80, les premiers ordinateurs quantiques naissent par retournement dans

l'esprit de physiciens tels que Richard Feynman, Paul Benioff, David Deutsch ou Charles Bennett.

L'idée de Feynman était Au lieu de nous plaindre que la simulation des phénomènes quantiques

demande des puissances énormes à nos ordinateurs actuels, utilisons la puissance de calcul

des phénomènes quantiques pour faire plus puissant que nos ordinateurs actuels.

Longtemps les physiciens ont douté que les calculateurs quantiques utilisables puissent exister,

et même que nous puissions en faire quelque chose de viable s'ils existaient. Mais :

- En 1994, Peter Shor, un scientifique d'AT&T montre qu'il est possible de factoriser des grands

nombres dans un temps raisonnable à l'aide d'un calculateur quantique. Cette découverte

débloque brusquement des crédits.

- En 1996, Lov Grover, invente un algorithme basé sur les calculateurs quantiques permettant

de trouver une entrée dans une base de données non-triée.

- En 1998, IBM est le premier à présenter un calculateur quantique de 2 qubits (pour "Quantum

Bit").

- En 1999, l'équipe d'IBM utilise l'algorithme de Grover pour la recherche quantique rapide sur

une base de données (quantum database search ) sur un calculateur de 3 qubits et battent leur

record l'année suivante avec ordinateur de 5 qubits.

- En 2001, IBM crée un calculateur quantique de 7 qubits et factorise le nombre 15 (!) grâce à

l'algorithme de Shor (cf. chapitre de Méthodes Numériques). Les ordinateurs à 7 qubits sont

bâtis autour de molécules de chloroforme et leur durée de vie utile ne dépasse pas quelques

minutes.

- En 2007, la compagnie Canadienne D-Wave lors d'une démonstraiton a présenté un

ordinateur quantique à 16 qubits.

La mémoire d'un ordinateur classique est faite donc de bits (cf. chapitre de Systèmes Logiques).

Chaque bit porte soit un 1 soit un 0 (mode bipolaire). La machine calcule en manipulant ces

bits. Un calculateur quantique travaille sur un jeu de qubits. Un qubit peut porter soit un un,

soit un zero, soit une superposition d'un un et d'un zéro (ou, plus exactement, il porte une

distribution de phase). Le calculateur quantique calcule en manipulant ces distributions comme

nous le verrons dans les détails plus loin.

Interroger un qubit dont la phase n'est pas de 0° ou de 90° ne sert pas à grand-chose : nous

obtiendrons la réponse 0 avec une probabilité donnée, et la réponse 1 avec une autre

probabilité... et il est possible de construire des générateurs aléatoires bien moins onéreux! En

revanche, si nous arrivons à créer un algorithme qui le conduit systématiquement à une phase

0° ou 90°, nous obtiendrons un résultat déterministe. Encore faut-il que celui-ci corresponde à

une réponse cherchée.

Un calculateur quantique pourrait être implémenté à partir de toute particule pouvant avoir

deux états. Ils peuvent être construits à partir de photons, ou à partir de n'importe qu'elle

particule comportant ou atome comportant un spin.

Comme nous le savons, un ordinateur classique ayant trois bits de mémoire peut stocker

uniquement trois uns ou zéros digitaux (cf. chapitre de Systèmes Logiques) pour un total de 8

états qu'il doit traiter à part. À un moment donné, il pourrait contenir les bits 101.

Un ordinateur quantique ayant trois qubits peut en fait stocker 16 valeurs, assemblées deux par

deux pour former 8 nombres complexes. Il pourrait contenir ceci (nous démontrerons bien sûr

d'où vient cela un peu plus loin!) à un instant donné :

État Amplitude Probabilité

a+ib (a 2 + b

2 )

000 0.37+i0.04 0.14

001 0.11+i0.18 0.04

010 0.09+i0.31 0.10

011 0.03+i0.30 0.18

100 0.35+i0.43 0.31

101 0.40+i0.01 0.16

110 0.09+i0.12 0.02

111 0.15+i0.16 0.05

Tableau: 57.1 - Exemple de valeurs de qubits

La première colonne montre tous les états possibles pour trois bits. Un ordinateur classique

peut donc seulement porter un de ces états à la fois. un ordinateur quantique, lui, peut être

dans une superposition de ces 8 états à la fois. La deuxième colonne montre l'amplitude pour

chacun des 8 états. Ces 8 nombres complexes sont un instantané du contenu d'un ordinateur

quantique à un moment donné. Durant le calcul, ces trois nombres changeront et interagiront

les uns avec les autres. En ce sens, un ordinateur quantique à trois qubits a bien plus de

mémoire qu'un ordinateur classique à trois bits.

Cependant, il n'est pas possible de voir directement ces trois nombres. Quand l'algorithme est

fini, une seule mesure est accomplie. La mesure retourne une simple chaîne (string) de 3 bits et

efface les 8 nombres quantiques. De plus le repport de calculs intermédiaire doit utiliser

l'intriciation quantique ce qui est loin d'être simple.

La troisième colonne donne la probabilité pour chacune des chaînes possibles. Dans cet

exemple, il y a 14% de chance que la chaîne retournée soit 000, 4% que ce soit 001, ainsi de

suite. Chaque nombre complexe est nommé "ampere" et chaque probabilité une "amplitude

carrée". La somme des huit probabilités est égale à un.

Typiquement, un algorithme d'un ordinateur quantique initialisera tous les nombres complexes

à des valeurs égales, donc tous les états auront les même probabilités. La liste des nombres

complexes peut être imaginée comme un vecteur à 8 éléments. À chaque étape de l'algorithme,

le vecteur est modifié par son produit avec une matrice. La matrice provient de la physique de

la machine et sera toujours inversible, et s'assurera que les probabilités continuent à être

égales à un

Il faut d'abord réaliser un calcul conduisant à un état non-superposé. En effet, si on interroge

un qubit qui se trouve dans une superposition d'états, la réponse sera aléatoire et ne nous

apprendra pas grand-chose. Il faut donc trouver un algorithme donnant une réponse unique

pour tous les chemins de calcul possibles. C'est un problème semblable à celui des énigmes où

l'on doit obtenir une réponse toujours vraie en la posant à une série d'intermédiaires dont on

sait que certains mentent toujours et d'autres jamais. La question est donc de trouver un calcul

parvenant à cet invariant, par exemple dans le cas du cassage d'un code la clé de chiffrage que

l'on cherche à déterminer.

Un autre problème ensuite est de le mesurer : la lecture d'un seul bit d'un état quantique détruit

la totalité de cet état. Il faudra donc refaire le calcul autant de fois que la réponse souhaitée

comporte de bits, mais le temps correspondant sera juste proportionnel à ce nombre de bits et

non exponentiellement plus grand, ce qui est justement le but recherché.

Commençons par comprendre les concepts sous-jacents à la théorique quantique de

l'informatique quantique avec une étude la polarisation du photon.

POLARISATION DU PHOTON Depuis Einstein, nous savons que la lumière est composée de photons, ou particules de lumière

et celle-ci a un aspect duaire onde-particule (cf. chapitre d'Optique Ondulatoire). Si nous

réduisons l'intensité lumineuse d'un faisceau de photons, nous devrions pouvoir étudier la

polarisation des photons individuels, que nous savons parfaitement détecter à l'aide de

photomultiplicateurs. Supposons que l'expérience détecte N photons. Lorsque , nous

devons retrouver les résultats de l'optique ondulatoire (voir chapitre du même non).

Effectuons par exemple l'expérience suivante :

(1)

Une lame biréfringente sépare un faisceau lumineux dont la polarisation fait un

angle avec Ox en un faisceau polarisé suivant Ox et un faisceau polarisé suivant Oy, les

intensités étant respectivement et (selon la démonstration de la loi de Malus

fait en optique ondulatoire).

Réduisons l'intensité de telle sorte que les photons arrivent un à un, et plaçon deux

photodétecteurs derrière la lame. L'expérience montre que ne cliquent jamais

simultanément (sauf cas de "dark count" où un compteur se déclenche spontanément) : un

photon arrive entier soit sur , soit sur , un photon ne se divise donc pas. D'autre part,

l'expérience montre que la probabilité de détection d'un photon par est

de . Ainsi, si l'expérience détecte N photons, nous aurons donc

photons détectés par :

(2)

où le tient compte des fluctuations statistique. Comme l'intensité lumineuse est

proportionnelle au nombre de photons, nous retrouvons bien la loi de Malus à la limite

.

Cependant, nous notons deux problèmes :

1. Pouvons-nous prévoir, pour un photon donné, s'il va déclencher ou ? La réponse de

la théorie quantique est NON, énoncé qui a profondément choqué Einstein (Dieu ne joue pas

aux dés!). Certains physiciens (dont Einstein) ont été tentés de supposer que la théorie

quantique était incomplète, et qu'il y avait des "variables cachées" dont la connaissance

permettrait de prévoir le sort individuel de chaque photon. Moyennant des hypothèses très

raisonnables sur lesquelles nous reviendrons, nous savons aujourd'hui que de telles variables

cachées sont exclues. Les probabilités de la théorie quantique sont nous le savons (cf. chapitre

de Physique Quantique Ondulatoire), intrinsèques! Elles ne sont pas liées à une connaissance

imparfait de la situation physique, comme c'est le cas par exemple dans le jeu de pile ou face.

2. Si nous recombinons les deux faisceaux de la première lame biréfringente, en utilisant une

seconde lame symétrique à la première :

(3)

Si nous cherchons la probabilité qu'un photon traverse l'analyseur, un photon peut choisir le

trajet x avec une probabilité , il a ensuite une probabilité de traverser l'analyseur

soit une probabilité totale . S'il choisit le trajet y, il aura une

probabilité de traverser l'analyseur. La probabilité totale s'obtient donc en

additionnant les probabilités des deux trajets possibles :

(4)

Ce résultat est FAUX ! En effet l'optique classique nous apprend que l'intensité

est (cf. chapitre d'Optique Ondulatoire) est le résultat correct, confirmé par

l'expérience est :

(5)

Ce qui n'est pas du tout la même chose !

En fait, pour retrouver les résultats de l'optique ondulatoire, il faut se rappeler que la

probabilité en physique quantique s'obtient par la norme au carré de l'amplitude de probabilité

(cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire). Ainsi :

(6)

et nous devons additionner les amplitudes pour des trajets indiscernables et en utilisant les

relation trigonométriques de base, nous obtenons :

(7)

ce qui redonne bien :

(8)

Supposons que nous ayons un moyen de savoir si le photon emprunte le trajet x ou le

trajet y (impossible dans notre cas, mais des expériences analogiques répondant à la question

"Quel trajet?" ont été réalisées avec des atomes). Nous pourrions alors diviser les photons en

deux classes, ceux qui ont choisi le trajet x et ceux qui ont choisi le trajet y.

Pour les photons ayant choisi le trajet x, nous pourrions bloquer le trajet y par un cache sans

rien changer, et inversement pour les photons ayant choisi le trajet y nous pourrions bloquer le

trajet x. Bien évidemment, le résultat ne peut être alors que . Si nous arrivons à discriminer

entre les trajets, le résultat n'est plus le même, les trajets sont plus indiscernables. Dans les

conditions expérimentales où il est impossible en principe de distinguer entre les trajets, nous

pouvons dire au choix :

1. Soit que le photon emprunte les deux trajets à la fois (...)

2. Soit que cela n'a pas de sens de poser la question "Quel trajet?", puisque les conditions

expérimentales ne permettent pas d'y répondre.

Il faut noter que si l'expérience permet de décider entre les deux trajets, le résultat est ,

même si nous décidons de ne pas les observer. Il suffit que les conditions expérimentales

permettent, en principe, de distinguer entre les deux trajets.

qubit Nous pouvons utiliser la polarisation des photons pour transmettre de l'information, par

exemple par un fibre optique. Nous décidons tout à fait arbitrairement, d'attribuer la valeur 1

du bit à un photon polarisé suivant Ox et la valeur 0 à un photon polarisé suivant Oy.

Pour étudier la théorie, il est devenu traditionnel de se représenter deux personnes qui

échangent de l'information sont appelées conventionnellement Alice (A) et Bob (B). Alice envoie

par exemple à Bob une suite de photons polarisés suivant :

yyxyxyyyx... (9)

Bob analyse la polarisation de ces photons à l'aide d'une lame biréfringente et en déduit le

message d'Alice :

001010001... (10)

Ce n'est évidemment pas une façon très efficace d'échanger des messages, mais c'est à la base

de la cryptographie quantique (cf. chapitre de Cryptographie). Cependant la question

intéressante est maintenant : quelle est la valeur du bit que nous pouvons attribuer par

exemple à un photon polarisé à 45° ? Suivant les résultats précédents, un photon polarisé à 45°

est une superposition linéaire d'un photon polarisé suivant Ox et d'un photon polarisé

suivant Oy. Un qubit est donc une entité beaucoup plus riche qu'un bit ordinaire, qui ne peut

prendre en logique stricte que les valeurs 0 et 1.

En un certain sens, un qubit peut prendre toutes la valeurs intermédiaires entre 0 et 1 et

contiendrait donc une quantité infinie d'information ! Cependant cet énoncé optimiste est

immédiatement démenti lorsque nous nous rendons compte que la mesure du qu-bit ne peut

donner que le résultat 0 ou 1, quelle que soit la base choisie. Malgré tout, nous pouvons nous

poser la question de cette "information cachée" dans la superposition linéaire et nous verrons

que nous pouvons l'exploiter sous certaines conditions.

Afin de rendre compte de la possibilité des superpositions linéaires, il est naturel d'introduire

pour la description mathématique de la polarisation un espace vectoriel complexe (cause :

phaseurs) à deux dimensions correspondant au plan de polarisation comme nous l'avons vu en

optique ondulatoire. Nous noterons cet espace vectoriel (nous reprenons la notation des

espaces de Hilbert) et l'appellerons "l'espace de Hilbert des états de polarisation".

Nous pouvons très bien décomposer le vecteur correspondant aux polarisations

linéaires Ox et Oy en deux vecteurs kets et tel que tout état de polarisation (qu'il soit

linéaire, circulaire ou autre) pourra se décomposer suivant cette base :

(11)

Ainsi, une polarisation linéaire sera décrite par des coefficients réels, mais la description

d'une polarisation circulaire ou elliptique exigera bien évidemment de faire appel à des

coefficients complexes!

Les amplitudes de probabilité vont correspondre à un produit scalaire sur cet espace. Soit deux

vecteurs correspondant donc à deux polarisations différentes:

(12)

Le produit scalaire hermitique (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) sera donc :

(13)

Maintenant, un état de polarisation linéaire (cf. chapitre d'optique Ondulatoire) suivant sera

donné logiquement par (si nous nous restreignons au cas linéaire donc!):

(14)

où sont des vecteurs de norme unité. Ce qui est conforme à la représentation mentale:

(15)

où l'amplitude du champ est normalisée à l'unité.

L'amplitude de probabilité pour qu'un photon polarisé suivant traverse un analyseur orienté

suivant pourra maintenant s'écrire :

(16)

et la probabilité de traverser l'analyseur sera donnée toujours donnée par la norme au carré de

cette amplitude comme nous l'avons démontré plus haut :

(17)

De façon générale, nous définirons des amplitudes de probabilité, où sont des états

de polarisation :

(18)

et la probabilité correspondante sera :

(19)

Nous sommes maintenant prêts à aborder la question cruciale de la mesure dans le cadre de

cette expérience quantique. Reprenons l'ensemble polariseur/analyseur, en supposant que

l'analyseur est orienté suivant Ox. Si le polariseur est aussi orienté suivant Ox, un photon

sortant du polariseur traverse l'analyseur avec un probabilité de 100%; si le polariseur est

orienté suivant Oy, la probabilité est nulle. L'analyseur effectue un test (de la polarisation), et le

résultat du test est 1 ou 0. Le test permet donc de connaître l'état de polarisation du photon.

Mais ceci n'est pas le cas général!

Supposons que le polariseur soit orienté suivant la direction générale ou la direction

orthogonale (il y a une rotation de ) . Nous avons alors en utilisant les propriétés

du cercle trigonométrique:

(20)

et donc si le polariseur prépare par exemple le photon dans l'état et que l'analyseur est

orienté suivant Ox, la probabilité de réussite du test sera toujours quelque soit le type

de polarisation!! Rappelons que dans cet exemple, après le passage dans l'analyseur, l'état de

polarisation du photon n'est plus , mais . La mesure modifie donc l'état de polarisation.

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome