Notes sur le cours d'informatique quantique - 3° partie, Notes de Applications informatiques
Francine88
Francine8813 January 2014

Notes sur le cours d'informatique quantique - 3° partie, Notes de Applications informatiques

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Notes d'informatique sur le cours d'informatique quantique - 3° partie.Les principaux thèmes abordés sont les suivants:le cas de la polarisation du photon,qubit de spin 1/2.
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Nous allons revenir ici sur le cas de la polarisation du photon mais ce coup-ci, nous allons

pouvoir généraliser grâce à la formulation de la sphère de Bloch à n'import qu'elle type de

polarisation.

Imaginons pour cela un polariseur qui ne laisse passer que des photons polarisés verticalement

suivi d'un photo-détecteur, qui fait 'clic' si un photon est détecté et rien sinon. Ce dispositif

nous permet de détecter les photons polarisés verticalement.

Traduisons ceci dans le langage de la mécanique quantique:

Les états du système sont donc les états de polarisation d'un photon. Les mesures de

l'observable auront aussi pour valeur ses états de polarisation.

Les mesures possibles sont:

(72)

Nous noterons les états correspondants . Dans notre configuration, il est alors évident

que le couple sont les valeurs propres et les vecteurs propres d'un opérateur

(que nous ne connaissons pas) et que nous noterons donc .

Comme nous le savons, est une base orthonormée de l'espace des états (de

polarisation). C'est la base appelée "base H/V" pour Horizontale/Verticale et qui est notée

normalement:

(73)

Prenons maintenant plusieurs cas:

1. Soit un photon dans l'état:

(74)

Alors:

(75)

2. Soit un photon dans l'état mi-vertical/horizontal, c'est-à-dire oblique (ce qui peut être

assimilé à la superposition quantique de ces deux polarisations):

(76)

où la racine est juste là pour assurer la condition de normalisation

Alors puisqu'il y a superposition (soit la moitié de chaque dans l'onde totale):

(77)

3. Prenons maintenant n'importe quelle polarisation (et c'est cela que nous n'avions pas avant!):

(78)

qui est bien normé comme nous le savons.

Alors:

(79)

La somme des deux probabilités donnant bien 1!

Maintenant, imaginons que nous tournions le polariseur de . Nous noterons la nouvelle

base de ce polariseur déterminée par une rotation d'angle avec par construction:

(80)

où la première base correspond donc à la polarisation diagonale et la seconde est appelée

polarisation anti-diagonale. Il s'agit donc de la "base D/A" (Diagonale/Anti-Diagonale).

Si nous imaginons que nous avons deux polarisateurs qui se suivent. Le premier ayant la base

D/A et le deuxième la base H/V, le premier va préparer le photon polarisé de manière générale

dans un état (polarisation) particulier qui sera par construction l'état oblique pour la base H/V.

Ainsi notre deuxième polariseur n'aura que des situations du type:

(81)

Ainsi, cela montre que toute mesure perturbe bien évidemment l'état de polarisation du photon

et perturbe donc l'état du système.

Ce résultat est utilisé en cryptographie quantique!

QUBIT DE SPIN 1/2

Nous allons voir ici comment construire un qubit basé sur une particule possédant un spin de

½.

Lors de l'étude de la sphère de Bloch, nous avons examiné un qubit à un instant déterminé et

nous avons vu que dans un espace de Hilbert H, ce qubit est décrit (par choix) par un vecteur

unitaire:

(82)

décomposé dans une base orthonormée .

Considérons l'état initial le plus général et minimal correspondant à une orientation arbitraire

d'un spin:

(83)

qui correspond comme nous le savons a deux états opposés (et superposés) sur la sphère de

Bloch.

Remarquons que nous avons bien une probabilité normalisée de la forme:

(84)

Nous avons également vus que la projection selon z par l'opérateur de l'état est

donné à l'arbitraire de phase par:

(85)

Maintenant rappelons notre exemple:

(86)

où M était donc un opérateur hermitique. Or. les matrices de Pauli sont des opérateurs

hermitiques simples. De plus, comme nous l'avons démontré dans le chapitre de calcul

spinoriel, l'opérateur hermitique (assimilé àM) a comme par hasard les mêmes valeurs

propres et vecteurs propres correspondant aux deux relations. Mais s'écrit alors de manière

traditionnelle comme nous l'avons vu dans le chapitre de Calcul Spinoriel:

(87)

ou de manière encore plus condensée encore:

(88)

De plus cet opérateur satisfait aussi la relation:

(89)

Et quel est la propriété physique associée à ? Eh bien il s'agit du spin et nous y reviendrons

donc un peu plus bas car cela signifie que nous pouvons utiliser le spin 1/2 comme qubit.

Maintenant introduisons l'évolution du système sur cette projection car ce premier n'est pas

statique (mais ceci dit cela ne changerait rien à ce cas particulier de le considérer comme

statique).

Nous avons vu dans le chapitre de physique quantique ondulatoire ce cette opération consistait

dans un cas simple (comme ici) à introduire un terme de phase dépendant du temps du type:

(90)

Ainsi:

(91)

Ce qui est noté plus sobrement:

(92)

Rappelons que l'état d'une particule de spin 1/2 est bi-dimensionnel et décrit par la matrice

d'état (cf. chapitre de Physique Quantique Relativiste):

(93)

Soit :

(94)

Si nous voulons calculer la moyenne (l'espérance) de l'observable (propriété physique) selon

chaque axe nous avons alors en utilisant le cinquième postulat dans le cas de l'axe x :

(95)

Selon y :

(96)

Et selon z :

(97)

Nous retrouvons donc bien pour la composante z (car c'est la seule qui nous intéresse ici) le

résultat qui était imposé plus haut sous la forme:

(98)

à une différence d'angle qui n'est qu'histoire de substitution et d'une amplitude qui permettant

de mettre en adéquation la particularité de la configuration du système. Nous avons dès lors

des relations mathématiques similaires en tout point en ce qui concerne la manipulation des

qubits de spin orientés ou des qubits de photons polarisés.

La question que nous pouvons nous poser sur le spin est comment le préparer dans l'état ?

Au fait nous pouvons le faire avec un champ magnétique en copiant à l'identique l'expérience

de Stern-Gerlach qui permet de séparer un faisceau de particules de spin ½ en deux faisceaux

distincts.

Puisque nous connaissons maintenant toutes les valeurs propres et vecteurs propres de

l'opérateur de spin S, nous pouvons alors déterminer la forme générale de l'opérateur de spin

sous une orientation quelconque:

(99)

Nous avons par ailleurs:

(100)

Nous avons qui est donc un vecteur propre de avec la valeur propre .

Maintenant, nous savons en utilisant le 5ème postulat que la probabilité de trouver la valeur

propre (de l'opérateur ), lors d'une mesure de la propriété S selon l'axe z effectuée au

temps t sur le système quantique préparé dans l'état , est donnée par le carré du module de

la projection de la fonction ou vecteur d'état sur la vecteur ou vecteur propre associé à la

valeur propre (et de son opérateur selon cet axe).

Or l'opérateur selon z est:

(101)

Pour le même opérateur nous avons vu dans le chapitre de Calcul Spinoriel qu'il avait comme

vecteurs propres:

(102)

Prenons le premier vecteur propre orienté donc selon z sur la sphère de Bloch. Nous avons

alors:

(103)

Et la probabilité selon l'autre vecteur propre donnerait une expression la même expression mais

avec un sinus. La somme des deux probabilités nous donnerait alors bien 1!

Nous remarquons donc que les relations sont très similaires entre le photon et le spin dans

notre cas d'étude. Ce qui est normal puisque les deux sont des systèmes à deux niveaux, d'où

les résultats similaires.

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