Notes sur le cours de génie électrique - 3° partie, Notes de Génie Électrique
Christophe
Christophe13 January 2014

Notes sur le cours de génie électrique - 3° partie, Notes de Génie Électrique

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Notes de ingénierie sur le cours de génie électrique - 3° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les circuits linéaires en régime forcé, le filtre passe-bas passif, le filtre passe-haut passif, intégrat...
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avec donc:

(104)

Soit une période de:

(105)

Il faut donc jouer alors avec C ou L pour obtenir la période désirée dans le cas où la résistance

est nulle. Signalons également que cette situation particulière est appelée "oscillateur

harmonique".

Enfin, de par les résultats obtenus nous avons donc la généralisation des circuits RC, RL ou LC

série.

Maintenant, supposons que dans le circuit nous posions une alimentation continue en série

dans le circuit. Nous avons alors:

(106)

L'équation différentielle linéaire à coefficients constants à maintenant un seconde membre

(constant dans ce cas). Nous trouvons alors immédiatement une solution particulière qu'il suffit

ensuite d'ajouter à toutes les solutions que nous avons obtenues précédemment.

Une solution particulière est donc:

(107)

Donc:

(108)

Soit:

(109)

Cette solution particulière qui est à ajouter aux solutions précédentes, n'a aucune influence sur

les équations du courant (sa dérivée étant nulle). Par contre, elle décale sur les graphiques le

tracé de q(t) vers le haut. Voilà donc l'effet qu'il y a à rajouter une source de tension constante

(comme une simple pile par exemple).

CIRCUITS LINÉAIRES EN RÉGIME FORCÉ

L'objectif sera pour commencer, d'étudier le comportement d'un circuit linéaire RLC série excité

par un générateur de tension sinusoïdale puisqu'il est une généralisation des circuits RL ou RC

(il suffit d'annuler L ou C respectivement pour tomber sur les solutions d'un circuit RC ou RL).

Nous avons alors:

(110)

Nous pourrions très bien rajouter un déphasage au terme sinus à droite de l'égalité (arbitraire

de phase). Cela ne changerait rien aux développements qui vont suivre et rappelons aussi que

le cosinus n'est qu'un sinus avec un déphasage bien précis!

Enfin, le plus important, c'est que si nous trouvons une solution particulière à l'E.D. ci-dessus,

alors puisque l'amplitude et la pulsation peuvent prendre n'importe quelle valeur à un

déphasage arbitraire près alors nous avons donc une infinité de solutions particulières. Et

comme nous avons démontré lors de notre étude des équations différentielles que la somme de

solutions particulières est aussi solution alors cela signifie qu'une excitation obtenu avec une

série de Fourier aura aussi une solution et en passant à la limite nous avons une transformée de

Fourier!

Donc passons à notre étude. Pour cela, dérivons cette relation par rapport à t:

(111)

Cherchons alors une solution particulière de la forme:

(112)

Nous remarquons que cette proposition de solution est en tout point identique à la

fondamentale d'une série de Fourier dont le terme est nul (qui est la moyenne du signal ou

la composante continue si elle existe)!

Puis injectons ces relations dans:

(113)

en regroupant les termes trigonométriques de même nature:

(114)

Ce qui est équivalent à:

(11

5)

d'où en identifiant les termes:

(116)

Nous pouvons factoriser:

(117)

Et en simplifiant par :

(118)

et en changeant de signe la deuxième ligne:

(119)

Il s'agit donc d'un système de deux équations à deux inconnues a, b que nous résolvons en

posant:

(120)

Ce qui nous donne immédiatement:

(121)

d'où:

(122)

et donc:

(123)

Nous posons de plus traditionnellement que:

(124)

Ce qui donne la solution particulière suivante:

(125)

à l'arbitraire de phase près.

Il est possible de trouver tel que:

(126)

Ou autrement écrit (ainsi on voit mieux qu'on balaie toues les valeurs possibles hors

singularités):

(127)

Nous avons alors en utilisant les relations trigonométriques remarquables (cf. chapitre de

Trigonométrie):

(128)

est donc la phase du courant, soit l'avance ou le retard du courant sur la tension.

Si alors nous avons:

(129)

et donc:

(130)

nous disons alors qu'il y a résonance du circuit avec donc:

(131)

FILTRE PASSE-BAS PASSIF

Considérons le cas où L est nul. Nous avons alors:

(132)

Donc:

(133)

D'où:

(134)

Soit:

(135)

Nous avons alors aux bornes du condensateur:

(136)

Nous voyons donc que la tension aux bornes du condensateur fait office de ce que nous

appelons un "filtre passe-bas". C'est-à-dire que l'amplitude de la tension aux bornes du

condensateur par rapport à la tension d'excitation du circuit sera amoindrie et ce d'autant plus

que la fréquence sera grande.

Ce genre d'outil est très pratique pour par exemple éliminer les harmoniques à haute fréquence

d'un signal périodique obtenu par série de Fourier ou pour nettoyer un bruit à haute fréquence.

On peut également utiliser des filtres passe-bas en cascade afin de réaliser des analyseurs de

spectre.

Voici le tracé du facteur:

(137)

Nous voyons bien qu'aux basses fréquences (à gauche) l'amplitude est conservée (le filtre

passe-bas laisse donc passer les basses fréquences). Au-delà le signal est coupé.

Le rapport:

(138)

est souvent exprimé en décibels soit par définition en utilisant la mesure:

(139)

et porte alors le nom de "fonction de transfert" du filtre.

FILTRE PASSE-HAUT PASSIF

Pour ce qui est de la tension aux bornes de la résistance, nous avons:

(140)

ce qui est traditionnellement remanié sous la forme suivante:

(141)

Nous voyons donc que la tension aux bornes de la résistance fait office de ce que nous

appelons un "filtre passe-haut". C'est-à-dire que l'amplitude de la tension aux bornes de la

résistance par rapport à la tension d'excitation du circuit sera amoindrie et ce d'autant plus que

la fréquence sera faible.

Voici le tracé du facteur:

(142)

Nous voyons bien qu'aux basses fréquences (à droite) l'amplitude est conservée (le filtre passe-

haut laisse donc passer les hautes fréquences). Au-delà le signal est coupé.

Le rapport:

(143)

est souvent exprimé en décibels soit par définition en utilisant la mesure:

(144)

et porte alors aussi le nom de "fonction de transfert" du filtre.

Avec différents types de filtres assemblés nous pouvons ainsi supprimer (mais jamais

complètement) des plages de fréquences. Nous parlons alors de filtre coupe-bandes. C'est la

technique utilisé par exemple pour la réception d'une certaine radio ou chaîne de télévision se

trouvant dans une plage de fréquence bien précise. Ou encore en musique électronique pour

atténuer sons graves ou aigus. Ou encore pour séparer le signal ADSL ou Voix d'une ligne

téléphonique.

Un filtre passif se caractérise DONC par l'usage exclusif de composants passifs linéaires

(résistances, condensateurs, bobines couplées ou non). Par conséquent, leur gain (rapport de

puissance entre la sortie et l'entrée) ne peut excéder l'unité. Ils ne peuvent donc qu'atténuer en

partie des signaux, mais pas les amplifier car cela nécessiterait un apport d'énergie (ce qui est

le rôle des "filtres actifs").

INTÉGRATEUR ET DÉRIVATEUR

Nous avons donc aux bornes du condensateur:

(145)

Maintenant, si , nous avons:

(146)

Si nous faisons en sorte que nous devons avoir:

(147)

Soit:

(148)

Dès lors:

(149)

Le circuit est alors ce que nous appelons assez logiquement... un "intégrateur".

Regardons maintenant du côté de la résistance:

(150)

Or, nous avons:

(151)

Donc:

(152)

Comme:

(153)

Nous avons alors:

(154)

Si alors:

(155)

Si nous nous arrangeons pour avoir:

(156)

alors:

(157)

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