Notes sur le cours de génie marin et métèo - 2° partie, Notes de Génie Thermique
Christophe
Christophe13 January 2014

Notes sur le cours de génie marin et métèo - 2° partie, Notes de Génie Thermique

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Notes de ingénierie sur le cours de génie marin et métèo - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le modèle atmosphèrique adiabatique, l'équation hypsométrique, le ballon sonde.
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Après simplification :

(31)

Soit :

(32)

Soit écrit de manière plus esthétique :

(33)

Un bon exemple d'application courant de cette relation sont les planeurs et les velta-deltistes.

Ceux-ci attendent de la météo que celle-ci leur communique l'altitude de l'isotherme du zéro

degré lors de ses bulletins. Il en déduisent alors le gradient de température par mètre. Pour ces

sportifs, une bonne condition est d'avoir un gradient de 1 [°C] pour 100 mètres. Il est dès lors

aisé avec la relation précédente de calcul la pression a une altitude 2000 mètres et d'en déduire

la gradient de pression qui leur permet d'utiliser certains ascendants pour leurs exercices de

voltige.

MODÈLE ATMOSPHÈRique ADIABATIQUE

Le gradient thermique adiabatique est, dans l'atmosphère terrestre, la variation de température

de l'air avec l'altitude (autrement dit le gradient de la température de l'air), qui ne dépend que

de la pression atmosphérique, c'est-à-dire :

- Sans considération d'échange de chaleur avec l'environnement (autres masses d'air, relief)

- Sans considération de condensation (formation de nuages) ni de précipitation.

Ce concept a une grande importance en météorologie, ainsi qu'en navigation aérienne et

maritime.

Nous avons démontré dans le chapitre de Thermodynamique la relation de Laplace:

(34)

avec le coefficient de Laplace:

(35)

Soit sous forme massique:

(36)

Nous pouvons en prendre le logarithme:

(37)

Or en prenant la différentielle logarithmique:

(38)

Nous avons alors:

(39)

En prenant aussi la différentielle logarithmique de loi des gaz parfaits ou n est le nombre de

moles:

(40)

Mais sous la forme massique pour une mole:

(41)

où est donc la masse molaire.

Nous avons:

(42)

Soit:

(43)

Nous obtenons alors:

(44)

Soit:

(45)

Utilisons la relation démontrée plus haut:

(46)

Il vient alors:

(47)

Nous avons donc une atmosphère à gradient thermique constant et négatif (la température

diminue de manière linéaire avec l'altitude):

(48)

La dernière forme utilisant la masse molaire étant plus pratique car elle permet de caractériser

le milieu étudié. A remarquer que c'est un modèle qui semble très très bien marcher pour une

altitude de 0 à 90 [km] sur la planète Vénus.

Nous avons alors , et le coefficient adiabatique pour

l'air , et sa masse molaire .

Soit:

(49)

ce qui correspond à l'idée courante (un degré pour 100 mètres).

ÉQUATION HYPSOMÉTRIQUE

Nous avons donc pour l'équilibre hydrostatique :

(50)

Nous pouvons intégrer cette relation si nous connaissons T en fonction de P ou z. La mesure

directe de P dans la pratique est plus facile (les altimètres simples sont en fait des baromètres).

Nous pouvons alors séparer les variables :

(51)

En intégrant entre deux niveaux a et b :

(52)

Puisque :

(53)

Ensuite pour continuer nous allons utiliser une astuce. Nous allons définir la température

moyenne par la relation :

(54)

Ce qui nous permet alors d'écrire :

(55)

Soit :

(56)

Cette relation est appelée "équation hypsométrique" (du grec "hypso" pour "hauteur").

Remarque: En météorologie, est posé comme étant égal à 0 au niveau de la mer où la

pression est supposée connue. Ainsi, nous avons trois paramètres libres. En en connaissant

deux sur les trois il est facile de déterminer le troisième.

A l'armée, par exemple, les ballons sondes donnent la température et la hauteur du ballon et les

militaires au sol mesurent et . Ensuite toutes ces informations sont communiquées aux

chars d'assaut qui peuvent calculer la pression à différentes hauteurs et donc l'influence de

celle-ci sur la trajectoire de leurs obus... via la différence de force.

BALLON SONDE

Un joli petit exemple intéressant d'application des mathématiques appliquées au génie météo

est l'étude des fameux ballons-sonde et particulièrement la caractéristique de leur volume en

fonction de l'altitude qui est souvent sujet à débat dans des groupes de discussions lorsque

personne n'y formalise le problème une bonne fois pour toute. Vous aurez donc compris que

c'est ce que nous allons étudier ici et surtout nous allons tenter de déterminer le diamètre

théorique de ceux-ci à une altitude donnée.

L'énoncé du problème souvent débattu est le suivant:

Un ballon-sonde en PVC (Polyvinyl-Chloride) de masse m sert à emmener à haute altitude un

appareillage en vue d'effectuer des mesures. L'enveloppe du ballon contient n moles de gaz

parfait d'hydrogène ayant donc une masse molaire de :

(57)

L'atmosphère sera assimilée à un gaz parfait, de masse molaire moyenne:

(58)

aux C.N.T.P. (Conditions Normales de Température et de Pression).

Nous voulons d'abord chercher quelle est la force ascensionnelle ressentie par le ballon?

Ensuite, nous voulons évaluer la quantité de matière minimale assurant le décollage de

celui-ci pour une masse totale (ballon compris!) de 2.6 [Kg]. puis le volume correspondant,

à l'altitude de départ.

Rappelons deux choses pour résoudre déjà ce premier point:

1. Tout corps plongé dans un liquide (ou un gaz) subit une force vers la haut égale au poids du

volume qu'il déplace (force d'Archimède) selon la relation démontrée dans le chapitre de

Mécanique des milieux continus:

(59)

2. Tout gaz parfait ayant une masse en gramme égale à la masse molaire occupe selon la loi

des gaz parfaits un volume de 22.4 [L] à 273. 15 [K] et à une pression de 1 [atm] comme nous

l'avons démontré dans le chapitre de Chimie Thermique. Ce qui donne aux C.N.T.P:

(60)

Donc pour que le ballon flotte à hauteur constante (sans monter mais sans tomber aussi...) avec

juste la quantité d'hydrogène suffisante il faut donc d'après le principe d'Archimède que le

volume d'air qu'il déplace ait un poids égal à la masse totale du ballon et de la sonde, soit 2

[Kg] dans notre cas!

Donc puisque 24 [L] d'air pèsent environ 29 grammes, il faut que le volume soit tel qu'il déplace

2.6 [Kg] d'air. Soit en faisant une simple règle de trois:

(61)

Donc si le ballon est sphérique, cela donne un rayon de:

(62)

Soit un diamètre d'environ 1.6 [m]. Ce qui est conforme à la réalité!

Il nous faut encore déterminer le nombre de moles d'hydrogène. Il vient immédiatement:

(63)

Maintenant que nous connaissons le nombre de moles dans la ballon, si nous connaissons la

température et la pression à une hauteur de 22'000 [m] (altitude type d'une petit ballon sonde)

il ne nous reste qu'à appliquer la loi des gaz parfait pour connaître le volume à cette altitude

donné alors par la relation démontrée dans le chapitre de Mécanique des Milieux Continus:

(64)

ainsi à 22'000 [m] d'altitude nous avons environ:

(65)

Mais au fait le rayonnement solaire est environ 30% plus élevé à cette altitude et le ballon est

considéré comme un système adiabatique (sans échange de chaleur) et ne restitue donc pas la

puissance emmagasinée à l'environnement extérieur. Nous considérons alors que la

température est au 30% moins élevée ce qui nous donne comme chiffres:

(66)

Nous avons donc:

(67)

Nous aurions pu également utiliser (hypothèse adiabatique oblige!) la relation de Boyle-Mariotte

(cf. chapitre de Mécanique des Milieux Continus) pour arriver au même résultat:

(68)

Ce qui donne un rayon d'environ 2.12 [m] (diamètre d'environ 4.2 [m]) au lieu des 73 [cm] au

sol! Soit une augmentation du diamètre de 290%. Il est plus important cependant de s'intéresser

à l'augmentation de la surface pour déterminer les forces de contraintes élastiques sur le PVC.

Nous avons donc avant:

(69)

et après:

(70)

Soit une augmentation de la surface de 800% alors qu'un élastomère type (dont le PVC fait

partie) ne résiste pas à une variation relative de 500%!!! Il est donc beaucoup plus aisé de

comprendre sous le point de vue de la surface pourquoi le ballon ne résiste pas à une

augmentation du diamètre de 290%.

Par ailleurs si nous appliquons de manière un peu abusive la loi de Hook au ballon (cf. chapite

de Mécanique des Milieux Continus), avec le module de Young du PVC qui est compris

entre (source Wikipedia.com):

(71)

nous avons:

(72)

Ce qui est conforme aux données des tables numériques qui donnent une valeur limite

inférieure élastique de 50 [MPa] et une limite supérieure de 80 [MPa] pour le PVC (source

Wikipedia.com). Il nous est alors possible de calculer la hauteur minimale et maximale

théorique que le ballon peut atteindre.

Ainsi pour la hauteur minimale nous écrivons d'abord:

(73)

Ce qui correspond alors à un rayon final de:

(74)

Ce qui correspond à un volume de:

(75)

En appliquant Boyle-Mariotte:

(76)

qui est une pression correspondante à une hauteur d'environ 18'000 [m] selon les mesures

expérimentales (www.engineeringtoolbox.com) et c'est effectivement une hauteur à laquelle

certains rares ballons en PVC éclatent.

Maintenant faisons de même avec la hauteur maximale:

(77)

Ce qui correspond alors à un rayon final de:

(78)

Ce qui correspond à un volume de:

(79)

En appliquant Boyle-Mariotte:

(80)

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