Notes sur le cours de génie mécanique - 1° partie, Notes de Génie Mécanique
Christophe
Christophe13 January 2014

Notes sur le cours de génie mécanique - 1° partie, Notes de Génie Mécanique

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Notes de ingénierie sur le cours de génie mécanique - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la résistance des matériaux, les moments quadratiques, l'équation de la ligne élastique.
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Le génie mécanique désigne l'ensemble des connaissances liées à la mécanique, au sens

physique (sciences des mouvements) et au sens technique (étude des mécanismes). Ce champ

de connaissances va de la conception d'un produit mécanique au recyclage de ce dernier en

passant, bien sûr par la fabrication, la maintenance, etc.

Ses applications sont très importantes dans de nombreux domaines de la vie de tous les jours

que ce soit pour la fabrication de machines, de jouets, d'appereils électro-ménagers ou encore

d'immeubles ou de toute sortes de moyens de transports... et la lise est encore longue...

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

La résistance des matériaux (R.D.M. est ResDem pour les intimes...) est, comme tous les autres

chapitres de ce site, un domaine extrêmement vaste dont le niveau de détail et la complexité

des calculs peut exploser. Nous allons dans les paragraphes qui suivent nous attarder sur

l'essentiel que l'ingénieur (en entreprise) doit savoir. Les développements sont simplifiés à

l'extrême pour des cas particuliers triviaux. Dans la réalité il faut utiliser le calcul tensoriel, les

plans d'expérience ou la modélisation informatique avec les MEF (méthodes des éléments finis).

Avant de commencer à étudier quelques cas concrets simples faisons quelques rappels des

démonstrations issues du chapitre de Mécanique des Milieux Continus:

Le solide considéré comme rigide n'existe pas, ce n'est qu'une approximation commode.

L'expérience montre en effet qu'un solide est toujours légèrement déformable sous l'effet de

forces extérieures.

Les relations entre déformations et tensions sont en général compliquées par suite de

l'anisotropie des réseaux cristallins. Cependant, les solides n'étant généralement pas des

monocristaux mais des substances polycristallines, constituées d'assemblages de microcristaux

associés au hasard, ils peuvent être considérés comme isotropes.

Ensuite, il convient de considérer globalement les hypothèses suivantes relativement aux

développements qui vont suivre:

H1. Les déformations (déplacements des points de la ligne caractéristiques) sont petites par

rapport aux dimensions des objets étudiés.

H2. Toute section droite avant déformation reste droite après déformation (Hypothèses de

Navier-Bernoulli).

H3. Les résultats obtenus en R.D.M. ne s'appliquent valablement qu'à une distance

suffisamment éloignée de la région d'application des efforts concentrés (Hypothèse de Barré de

Saint Venant).

Nous avons vus dans le chapitre de Mécanique des Milieux Continus que la loi de Hook stipule,

lorsque les déformations sont réversibles, qu'il y a proportionnalité entre tension et

déformation (une des variantes de formulation de la loi de Hook):

(1)

ou:

(2)

où E est le module de Young, la déformation normale et la contrainte normale.

Nous avons également démontré dans le chapitre de Mécanique des Milieux Continus que la

contrainte tangentielle était donnée par:

(3)

où G est le module de cisaillement, est l'angle de déformation et le coefficient de Poisson,

nombre sans dimensions. Nous avons donc une relation entre le module d'élasticité et de

rigidité valable dans le cas des petites déformations.

Nous avons vu également dans le même chapitre que pour un solide ou un liquide soumis à une

surpression isotrope uniforme nous avions:

(4)

Le coefficient de compressibilité est donc un nombre positif, par conséquent en utilisant la

relation précédente, nous avons:

(5)

et vient alors un résultat connu:

(6)

Donc le coefficient de Poisson ne peut pas être plus grand que ½ et il peut être négatif (dans ce

dernier cas nous parlons alors de matériaux auxétiques).

Enfin, rappelons que nous avons vu dans le chapitre de Mécanique des Milieux Continus que la

contraction unitaire selon l'axe z était donnée lors d'une traction selon l'axe x par:

(7)

Soit autrement écrit (en se concentrant sur le plan XZ):

(8)

Soit:

(9)

Et c'est ce que montre la figure-ci-dessous:

(10)

Nous avons également démontré dans le chapitre de Mécanique des Milieux Continus la relation

suivante:

(11)

qui exprime le moment de flexion pour une poutre sous une effort d'écrivant un arc de cercle et

où I caractérise la "rigidité de forme" d'un matériau d'aire transversale donnée. C'est une

relation très importante dans de nombreux domaines de la construction (navale, automobile,

architecture, etc.).

Remarque:I est appelé le "moment d'inertie statique" ou "moment quadratique" comme nous

l'avons déjà spécifié dans le chapitre de mécanique des milieux continus.

MOMENTS QUADRATIQUES

Voyons les trois moments d'inerties statiques classiques du domaine de la RDM car souvent

rencontrés dans la pratique (construction):

1. Moment d'inertie statique transversal de la plaque rectangulaire de côté b et hauteur h:

(12)

Le domaine occupé par la plaque est donné par:

(13)

Nous avons alors:

(14)

2. Moment d'inertie statique transversal d'un disque de diamètre :

(15)

Ici le domaine d'intégration est :

(16)

où d est le diamètre du disque.

Nous avons toujours:

(17)

Pour calculer cette intégrale nous utilisons les coordonnées polaires :

(18)

Le jacobien de la transformation est égal à r (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral). Nous

obtenons:

(19)

3. Moment d'inertie statique d'une couronne de diamètre extérieur D et diamètre intérieur d:

(20)

Ici le domaine d'intégration est :

(21)

où D et d sont respectivement les diamètres du grand et du petit disque.

Si nous notons le domaine du grand disque et celui du petit disque alors:

(22)

en utilisant le moment d'inertie statique du disque.

Pour résumer, nous avons donc:

(23)

et enfin il existe aussi le moment quadratique polaire de S par rapport à un point O:

(24)

Il est donc aisé dans des cas simples de connaître le moment d'inertie polaire et celui-ci est très

utile dans la cadre de l'étude de la torsion.

Il découle de ces outils que plus les éléments de la section sont situés loin de l'axe, plus le

moment quadratique sera important et plus (nous le démonterons dans ce qui suit) les flèches

seront faibles.

ÉQUATION DE LA LIGNE ÉLASTIQUE

Pour cet exemple de cas d'école mais très utilisé dans la pratique nous allons d'abord devoir

obtenir mathématiquement la forme géométrique que prend la fibre neutre d'une poutre

soumise à des efforts de flexion.

Remarque: Les systèmes mécaniques dont l'étude, excédent les calculs de la statique et qui

exigent la prise en compte des contraintes et des déformations élastiques sont appelés

(curieusement...) "systèmes hyperstatiques".

En faisant l'hypothèse que les déformations sont faibles et que le poids de la poutre est faible

devant la force qui plie la poutre, nous pouvons faire le schéma suivant:

(25)

Par définition de la dérivée et en vertu de l'hypothèse des faibles déformations (cela fonctionne

donc quand même bien jusqu'à 45°...) :

(26)

Soit en dérivant encore une fois:

(27)

D'autre part, la figure montre que (cf. chapitre de Trigonométrie) :

(28)

Mais du fait que la courbe de la fibre neutre s'écarte peu de l'axe y (déformation faibles), nous

pouvons écrire:

(29)

Donc:

(30)

Ainsi, nous pouvons écrire en utilisant les relations obtenus plus haut:

(31)

qui est donc l'équation différentielle donnant , appelée "équation de la ligne

élastique".

Exemples:

E1. Poutre encastrée que d'un seul côté (cas classique dans la construction et les habitations):

(32)

Dans la section S quelconque, le moment de force (de flexion) vaut donc:

(33)

D'autre part:

(34)

En éliminant R entre ces deux relations, il reste:

(35)

La figure montre que les conditions aux limites sont:

(36)

Nous tirons après intégration:

(37)

Soit:

(38)

Si la déformation est maximale et z prend donc la valeur maximale f appelée la "flèche".

Il s'ensuit:

(39)

Tout les données de cette relation nous sont connues (force, longueur, module de Young,

inertie statique).

Les connaissant il est alors possible de déterminer si la barre va casser ou non car il suffit

d'appliquer la relation démontrée plus haut:

(40)

et sachant expérimentalement à partir de quelle valeur de la matériau casse on saura quand

la barre cassera (approximativement!).

Nous avons donc un résultat qui va nous être utile par la suite:

(41)

et en intégrant de 0 à L nous retrouvons la flèche de notre poutre précédente!

E2. La poutre soutenue est l'exemple le plus classique en construction et donc en architecture.

Il s'agit d'une poutre homogène, de section constante, reposant sur deux appuis libres à ses

extrémités et soumis à une chargeF en son centre:

(42)

Nous pouvons donc considérer que tout se passe comme si nous avait F/2 aux deux extrémités

de deux poutres de longueur L/2. Remarquons que nous négligeons le poids de la poutre

devant F, mais F peut être tout simplement le poids de la poutre! En utilisant la relation

précédente, nous avons:

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