Notes sur le cours de génie mécanique - 2° partie, Notes de Génie Mécanique
Christophe
Christophe13 January 2014

Notes sur le cours de génie mécanique - 2° partie, Notes de Génie Mécanique

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Notes de ingénierie sur le cours de génie mécanique - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la torsion, flambage, la traction.
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(43)

Soit:

(44)

Ainsi, pour une même longueur de poutre, à F identique la flèche est donc 16 fois moindre que

pour une poutre encastrée! C'est cette relation qui est aussi utilisée pour les poutres IPN

(fameuses en construction!).

TORSION

Rappelons au lecteur d'abord une étude faite dans le chapitre de Mécanique Classique sur le

pendule de torsion où certains éléments avaient volontairement tus. Étudions cela plus en

détails car très utile pour les arbres de transmission ou les ressort dans la vie de tous les jours.

Considérons maintenant un fil cylindrique fixé en sa base soumis à un moment de torsion .

Sous l'effet de ce moment de torsion, la face supérieure du fil est décalée d'un angle par

rapport à la face inférieure, la matière subissant une tension de torsion (ou cisaillement ):

(45)

Imaginons à l'intérieur du fil un tube élémentaire de rayon r, d'épaisseur dr, et observons l'effet

de la torsion sur ce tube déroulé (cela nous permettra une approche approximative du

phénomène intéressé):

(46)

Cherchons une relation entre le moment de torsion et l'angle de torsion .

Pour le tube déroulé, appliquons les relations du cisaillement:

(47)

or la figure montre que (les déformation étant faibles) au premier ordre en série de Taylor (cf.

chapitre sur les Suites et Séries):

(48)

d'où:

(49)

Le moment élémentaire dû à cette force est par définition du moment de force:

(50)

Soit puisque et sont perpendiculaires:

(51)

Le moment total vaut alors:

(52)

donc:

(53)

Nous retrouvons donc la relation du pendule de torsion que nous avions posé lors de notre

étude du pendule de torsion dans le chapitre de Mécanique Classique avec comme différence

que cette fois la constante k, la "constante de torsion" est explicite!!!!

Voyons donc une application très importante au ressort de compression de type

hélicoïdal (l'approche est approximative à nouveau à défaut de mieux...) travaillant en torsion.

D'abord il faut bien se rendre compte que lorsqu'une force est appliquée au ressort, les

extrémités vont tourner d'un angle alpha faible (torsion) correspondant au parcours d'une

distance x qui elle-même correspond au rétrécissement du ressort (ben oui! il faut bien que

cette longueur soit reprise quelque part).

Soit alors un ressort de rayon extérieur R (soit de diamètre D), de module de cisaillement G,

avec un diamètre de corps d (diamètre du cylindre plié dont est composé le ressort) :

(54)

Pour l'analyse nous aurons besoins simplement de mélanger plusieurs de relations démontrées

jusqu'à maintenant. En premier lieu l'angle de torsion d'une poutre de longueur L (longueur du

ressort en l'occurrence!):

(55)

Avec:

(56)

et:

(57)

Par ailleurs, le moment de torsion s'écrit:

(58)

Nous arrivons donc à:

(59)

Remarque: Le rapport est appelé la "raideur".

Le déplacement (déformation) x vaut lui (cf. chapitre de Trigonométrie):

(60)

Nous arrivons finalement à:

(61)

ce qui nous amène à la relation mondialement connue dans le monde dans la R.D.M. en ce qui

concerne les ressorts:

(62)

où k est la "constante de raideur" du ressort!!

FLAMBAGE

Nous terminons cette étude de la R.D.M. avec le flambage (cas d'étude classique en

construction et mécanique) qui consiste à déterminer (dans un cas particulier simple) la force

minimale à partir de laquelle une barre de longueur L, de module de Young E fixée à ses

deux extrémités peut plier (avec un rayon R) jusqu'à casser sans qu'il y ait besoin de trop

augmenter la force (il s'agit donc à nouveau d'une valeur d'indication!).

Dans l'étude de ce phénomène, nous considérons que dès que la barre commence à plier nous

avons alors (et nous ne sommes alors plus très loin de la force permettant de la casser).

(63)

Lorsque la barre commence à plier nous avons alors une force qui s'applique à chaque

élément de volume de la barre mais ceux-ci ne sont pas distribués de la même manière selon

l'axe z et donc ne créent pas le même moment de force!

A l'équilibre de la force de flambement, la barre soumet un moment de rappel. Nous avons

alors:

(64)

En exprimant le moment de flexion M au moyen de la relation:

(65)

Il vient:

(66)

En utilisant l'équation de la ligne élastique et en remplaçant, nous obtenons:

(67)

soit:

(68)

qui est l'équation différentielle de flambage permettant de calculer la force de flambage avec

les conditions initiales:

(69)

La résolution de cette équation différentielle du second ordre est aisée (cf. chapitre de Calcul

Différentiel et Intégral) puisque l'équation caractéristique est:

(70)

Nous avons alors la solution homogène:

(71)

La condition impose:

(72)

Il vient alors:

(73)

La deuxième condition impose:

(74)

Donc il vient immédiatement que:

(75)

avec (car si k valant zéro n'est pas une solution physique possible et pour k entier

supérieur à 1 signifierait que la barre plie sur plusieurs périodes ce qui n'est pas le cas

puisqu'elle le fait seulement sur une demi-période comme le montrait la figure). Soit:

(76)

Cette relation est parfois appelée "formule d'Euler" (à ne pas confondre avec la formule du

même nom en théorie des graphes) et la charge limite la "charge ou force critique d'Euler".

L'ensemble de l'étude étant le "flambage d'Euler".

TRACTION

Considérons maintenant le cas d'une barre suspendue seulement à son propre poids. La surface

de sa section circulaire est S et h la hauteur totale de cette barre. Le module de Young du

matériau est noté E (cf. chapitre de Mécanique des Milieux Continus) et sa masse volumique.

Il est facile de constater qu'une section située à une altitude z supporte le poids du morceau de

barre situé sous elle:

(77)

La contrainte n'est alors pas constante dans la barre:

(78)

et la déformation non plus:

(79)

z étant l'abscisse sur la barre, la déformation inhomogène est liée au déplacement par la

relation:

(80)

Après intégration, nous obtenons la forme générale du déplacement:

(81)

où la constante est à déterminer en utilisant les éventuelles conditions de liaison aux

extrémités de la barre. Si l'extrémité supérieure est encastrée, le déplacement y est donc nul:

(82)

Le déplacement en tout point de la barre s'exprime donc:

(83)

L'allongement de la barre est l'écart en déplacement entre les deux extrémités de la barre:

(84)

Nous avons alors trivialement:

(85)

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