Notes sur le cours des systèmes logiques formels - 1° partie, Notes de Applications informatiques
Francine88
Francine8813 January 2014

Notes sur le cours des systèmes logiques formels - 1° partie, Notes de Applications informatiques

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Notes d'informatique sur le cours des systèmes logiques formels - 1° partie.Les principaux thèmes abordés sont les suivants:les systèmes logiques formels,Définitions,l'algèbre de boole,les fonctions logiques.
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SYSTÈMES LOGIQUES FORMELS

Le lecteur connaissant bien l'objectif de ce site ne doit pas s'attendre à voir ici de quelconques

schémas de boutons poussoirs, interrupteurs, chronogrammes ou encore de schémas

électriques de norme MIL ou autres. Nous resterons donc dans un cadre purement formel des

systèmes logiques et de leurs outils.

Définitions:

D1. Nous parlons de "modèle logique asynchrone" (courament appelé "modèle logique

séquentiel") lorsque les sorties d'un système dépendent de l'ordre chronologique dans lequel se

succèdent les entrées.

D2. Nous parlons "modèle logique combinatoire" les sorties d'un système dépendent

uniquement de la combinaisons des variables d'entrées.

Remarque: Nous différencions la "logique stricte" de la "logique floue" qui seront définies dans

les détails plus loin.

LOGIQUE STRICTE

Considérons dans un premier temps un ensemble que nous noterons B à deux

éléments (plus formellement noté ).

Définitions:

D1. Une "variable logique stricte" ou "variable booléenne" est un élément de B qui ne possède

que deux états 0 et 1 (à l'opposé d'une variable logique floue dont la valeur peut-être comprise

entre 0 et 1). Elle est représentée par des lettres latines majuscules ou minuscules (au choix).

D2. Une "fonction logique F" de plusieurs variables applique dans B. Elle associe à

un n-uplet de variables logiques une valeur .

D3. Il existe différente manières d'exprimer une fonction logique (ou "fonction booléenne"). Une

fonction de nvariables est entièrement décrite par l'énoncé des valeurs de cette fonction pour

l'ensemble (ou le sous-ensemble de définition) des combinaisons du n-uplet de variables :

(1)

Cet énoncé prend généralement la forme d'un tableau à n+1 colonnes et au plus lignes,

chaque ligne exposant une combinais des variables et la valeur correspondante de la fonction.

Le tableau suivant donne la forme générale d'une "table de vérité" de fonctions de trois

variables totalement (fonction F) définies :

ABCF(A,B,C)

0 0 0 F(0,0,0)

0 0 1 F(0,0,1)

0 1 0 F(0,1,0)

0 1 1 F(0,1,1)

1 0 0 F(1,0,0)

1 0 1 F(1,0,1)

1 1 0 F(1,1,0)

1 1 1 F(1,1,1)

Tableau: 1 - Table de vérité générique

Les éléments d'entrées des systèmes seront considérées comme des variables booléenes sur

lesquelles nous pouvons construire une structure de base anneau et par ajout d'un axiome

particulier, d'une "algèbre" (dans le sens calculatoire du terme et non ensembliste!) appelée

couramment "algèbre de Boole" :

ALGÈBRE DE BOOLE

L'algèbre de Boole (ou "anneau de Boole" à un axiome près...) est donc une structure qui est le

plus souvent utilisée en électronique (ou micro-électronique). Ainsi, Un processeur est composé

de transistors permettant de réaliser des fonctions sur des signaux numériques. Ces

transistors, assemblés entre eux forment des composants permettant de réaliser des fonctions

très simples. A partir de ces composants il est possible de créer des circuits réalisant des

opérations assez complexes. L'algèbre de Boole (du nom du mathématicien anglais Georges

Boole 1815 - 1864) est un moyen d'arriver à créer plus ou moins facilement de tels circuits.

L'algèbre de Boole est donc une algèbre sur elle-même (avec une structure d'anneau comme

nous allons le définir rigoureusement plus loin) se proposant de traduire des signaux dont la

valeur est du type 0/1 (assimilé à : Vrai/Faux) en expressions mathématiques. Pour cela, nous

définissons chaque signal élémentaire par des "variables logiques" et leur traitement par des

"fonctions logiques". Des méthodes ("tables de vérité") permettent de définir les opérations que

nous désirons réaliser, et à transcrire le résultat en une expression algébrique. Grâce à des

règles que nous verrons plus loin, ces expressions peuvent être simplifiées. Cela va permettre

de représenter grâce à des symboles simples un circuit logique capable d'effectuer des

opération arithématique élémentaires, c'est-à-dire un circuit qui schématise l'agencement des

composants de base (au niveau logique) sans se préoccuper de la réalisation au moyen de

transistors (niveau physique).

Remarque: Il serait préférable avant de commencer la lecture de ce chapitre, de parcourir la

partie traitant de la logique au chapitre de la Théorie De La Démonstration et des structures

algébriques dans le chapitre de Théorie Des Ensembles.

Il est nécessaire pour obtenir une définition rigoureuse d'une algèbre de Boole de se la donner

en des termes d'algèbre abstraite.

Rappel : une "algèbre de Boole" est un ensemble contenant deux éléments

particuliers, , (forme abstraite du 0 et du 1) muni de deux lois de composition

internes, (ET et OU logiques) et qui vérifie les axiomes suivants pour former une structure

d'anneau tel que :

A1. et (associativité)

A2. et (commutativité)

A3. et (absorption)

A4. et (distributivité)

A5. et (idempotence)

A6. a possède un complément noté ou (NON) tel que : et

("complémentation" ou "inversion")

Remarque: Les quatre premiers axiomes établissent une structure d'anneau. Le cinquième

axiome (idempotence) ajouté aux quatre premiers définit le concept "d'algèbre de Boole".

Rigoureusement, pour former un algèbre de Boole il faut un élément symétrique (cf. le chapitre

de Théorie Des Ensembles) ce qui n'est pas le cas de l'opération . C'est la raison pour laquelle

les vrais opérateurs d'un algèbre de Boole sont normalement le (ET) et la (différence

symétrique) donnée par l'opération logique :

(2)

mais pour simplifier dans les petits classes il est fréquent que nous y fassions implicitement

référence sans entrer dans les détails.

Il s'ensuit que l'ensemble binaire constitue donc bien par rapport aux lois un

"groupe abélien". Dès lors, étant un groupe abélien, la loi étant associative et

distributive par rapport à , est un "anneau commutatif unitaire" (vu que B possède

un élément neutre pour la loi ).

Remarques:

R1. Ainsi, les opérations et admettent chacune un élément neutre tel que le chiffre 1 est

l'élément neutre de et le chiffre 0 l'élément neutre de

R2. Les deux opérations que nous utilisons habituellement pour former une algèbre de Boole

sont le "ou inclusif" noté rigoureusement mais plus fréquemment par le signe d'addition "+",

et le et "et inclusif" noté rigoureusement mais plus fréquemment par le signe de

multiplication " ".

Les axiomes précédents peuvent cependant se démontrer à partir des "axiomes de la

définition" :

A1.

A2.

A3. (double complémentation)

A4. est l'élément neutre de la loi

A5. est l'élément neutre de la loi

A6. et (ces deux dernières formulations forment le

théorème de De Morgan).

Remarque: Le théorème de De Morgan se démontre à l'aide d'un simple table de vérité ou

algébriquement comme nous le verrons juste un peu plus loin.

Il s'ensuit donc le tableau suivant :

(3)

Nous appelons ces expressions "duales" car en remplaçant dans une même équation logique,

les 0 par 1, les par des + est inversement, cette équation reste vérifiée.

Théorème des constantes :

Soit à prouver que :

(4)

La démonstration est triviale (au besoin faire une table de vérité) car elle provient de la

propriété même du concept "d'anneau" (de Boole) et de son élément neutre (1) par rapport

au et à son élément neutre (0) par rapport au .

Démontrons maintenant la relation suivante:

(5)

Démonstration:

La distributivité nous amène à écrire :

(6)

et en appliquant la complémentation :

(7)

en appliquant la commutativité :

(8)

et enfin en appliquant le théorème des constantes :

(9)

C.Q.F.D.

Cette démonstration va nous permettre de démontrer le fameux "théorèmes du consensus" :

(10)

Démonstration:

Pour vérifier le théorème du consensus relatif au produit logique :

(11)

nous pouvons faire usage d'un diagramme de Venn où nous voyons bien que le terme est

contenu dans les deux autres :

(12)

En procédant de même avec un diagramme de Venn, le lecteur verra sans aucun problème que :

(13)

C.Q.F.D.

Et enfin les très fameux "théorèmes de Shannon" (à ne pas confondre avec le théorème de

Shannon en théorie du signal!):

(14)

Démonstrations:

et:

(15)

C.Q.F.D.

Remarque: Ces deux théorèmes, sont parfois appelés respectivement "premier et deuxième

théorème d'expansion" dans la littérature et peuvent se trouver sous la forme générale :

(16)

Revenons maintenant sur les théorèmes de Morgan précédemment présentés comme des

axiomes :

(17)

Ces deux relations expriment donc que l'inverse (ou l'opposé) d'un produit (respectivement de

la somme) de deux variables est égal à la somme (respectivement au produit) des inverses de

ces variables.

Démonstration:

Supposons juste. Alors en vertu des relations et (axiome de

complémentation) nous devons avoir :

(18)

Donc il nous faut prouver que ces deux relations sont exactes :

(19)

et :

(20)

Le deuxième théorème de De Morgan se démontre de la même façon.

C.Q.F.D.

Remarque: Ces deux théorèmes peuvent s'étendrent à un nombre quelconque de variables.

Corollaires :

(21)

Les expressions logiques, nous l'avons vu à l'aide des axiomes, propriétés et particulièrement

des théorèmes précédents, doivent donc toujours pouvoir se mettre sous deux formes (en

jouant avec les oppositions aussi donc) :

F1. Sous la forme d'une somme de produits logiques, appelée "forme normale disjonctive

F.N.C.", tel que (exemple) :

(22)

Les termes constitutifs de ce polynôme sont les monômes : . Les variables ou

complémentaire de ces monômes sont les "lettres" : .

Remarque: Si chacun (tous) des produits contient toutes les variables d'entrée sous une forme

directe ou complémentée, alors la forme est appelée "première forme canonique" ou "forme

canonique disjonctive". Chacun des produits est alors appelé "minterme".

F2. Sous la forme de produit de sommes logiques , appelée "forme normale conjonctive F.N.D.",

tel que (exemple) :

(23)

Remarque: Si chacune des sommes contient toutes les variables d'entrée sous une forme directe

ou complémentée, alors la forme est appelée "deuxième forme canonique" ou "forme canonique

conjonctive". Chacune des sommes est alors appelée "maxterme".

Ainsi, une forme normale disjonctive est soit un littéral (une lettre), soit une disjonction de

formules écrites comme conjonctions de littéraux. Une forme normale conjonctive est soit un

littéral, soit une conjonction de formules écrites comme disjonctions de littéraux.

Les méthodes de simplifications que nous verrons par la suite viseront à minimiser le nombre

de lettres des expressions de manière à réduire le nombre d'entrées de notre système logique.

Remarque: La simplification algébrique d'une expression consiste à la transformer de manière à

réduire au maximum le nombre de ses lettres en lui appliquant les théorèmes vu précédemment.

Pour simplifier les expressions (ou les déterminer) une technique connue consiste donc à

utiliser les "tables de Karnaugh" que nous verrons plus loin dans les détails.

FONCTIONS LOGIQUES

Donc quand nous parlons d'algèbre de Boole sauf mention contraire, nous faisons référence à

ces aux trois opérations booléennes élémentaires (ET, OU, NON) et quelques autres fonctions

logiques qui en découlent dont voici les symboles tel que définis en théorie des circuits (norme

MIL sauf erreur...) :

(24)

et leurs "tables de vérité" respectives :

Table de vérité ET ( )

ET 0 1

0 0 0

1 0 1

Tableau: 2 - Table de vérité ET

Table de vérité OU ( )

OU 0 1

0 0 1

1 1 1

Tableau: 3 - Table de vérité OU

Table de vérité NON ( )

NON -

0 1

1 0

Tableau: 4 - Table de vérité NON

Toutes les autres "fonctions logiques" connues (communes) peuvent être composées de ces

deux opérateurs fondamentaux. Tels que par définition (données avec leur définition standard

dans la première ligne et avec leurs différentes formes algébriques sous leur table de vérité

respective)

NON-ET (NAND) : NON (a ET b)

NAND 0 1

0 1 1

1 1 0

Tableau: 5 - Table de vérité NON-ET

NON-OU (NOR) : NON (a OU b)

NOR 0 1

0 1 0

1 0 0

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