Notes sur le cours des systèmes logiques formels - 2° partie, Notes de Applications informatiques
Francine88
Francine8813 January 2014

Notes sur le cours des systèmes logiques formels - 2° partie, Notes de Applications informatiques

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Notes d'informatique sur le cours des systèmes logiques formels - 2° partie.Les principaux thèmes abordés sont les suivants:les tables de karnaugh,les opérations arithmétiques,tableau.
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Tableau: 6 - Table de vérité NON-OU

OU EXCLUSIF (XOR) : [a OU b] ET [ NON (a ET b) ]

XOR 0 1

0 0 1

1 1 0

Tableau: 7 - Table de vérité OU EXCLUSIF

où a et b sont, vous l'aurez compris, des variables (ou "bit" de Binary Digit) pouvant prendre

arbitrairement les valeurs binaires 0 ou 1.

Remarque: La fonction logique XOR est souvent notée dans la littérature par l'opérateur et

nous considérerons comme évident que le XOR est également une loi de groupe et permet de

construire ainsi un groupe commutatif abélien. Cette propriété du XOR est particulièrement

utilisée en cryptographie.

TABLES DE KARNAUGH

A part la table de vérité qui simplifie en général la présentation d'un problème logique

(mathématique, électronique, micro-électronique, fiabilité des systèmes), il existe d'autres

formes tabulées en particulier la table de Karnaugh qui est dans de nombreux cas un outil de

travail facile à manipuler.

Considérons pour exemple la fonction (sous forme F.N.D) et sa table de vérité

respective :

baF

0 0 1

0 1 0

1 0 1

1 1 1

Tableau: 8 - Exemple de base pour la table de Karnaugh

La table de Karnaugh est définie par une représentation comme celle ci-dessous :

(25)

La table de Karnaugh d'une fonction logique comporte donc autant de cases que de

combinaisons possibles de variables qui la composent, soit quatre cases pour une fonction à

deux variables, et cases pour une fonction à n variables. Chaque case, qui se trouve à

l'intersection d'une ligne et d'un colonne de la table de Karnaugh porte l'état 0 ou 1 que prend

la fonction pour le produit logique correspondant des variables (mintermes).

Dans l'exemple précédent nous pouvons voir cependant quelque chose d'intéressant, la

fonction F, nous le voyons très bien, peut se simplifier de deux manière ou

encore . Cette simplification possible ce fait toujours avec deux mintermes

adjacents dans la table de Karnaugh tel que :

(26)

Nous voyons que le premier regroupement/simplification (horizontal) se fait sur la ligne et le

second regroupement/simplification (vertical) se fait sur la colonne b tout deux résultats de la

simplification algébrique de la fonction.

Donc nous pourrions émettre l'hypothèse que la table de Karnaugh a pour propriété :

P1. De nous donner la forme disjonctive normale d'une fonction

P2. Que toutes cases adjacentes mises ayant pour valeur 1 peuvent se simplifier en la lettre

respective de leur réunion.

C'est donc un outil extrêmement puissant pour simplifier et déterminer des fonctions logiques.

Voyons un exemple à trois variables :

(27)

La F.N.D est donc mais elle peut se simplifier

algébriquement sous la forme mais nous voyons que ceci peut encore se

simplifier en où nous voyons que les quatre cases adjacents sont là où b vaut

partout 1.

Une autre manière de simplifier :

(28)

Donne .

Une difficulté subsiste cependant avec cette technique : comment choisir la meilleure

construction du tableau (choix des lettres en colonnes ou en ligne) ?

Au fait, il existe une manière spécifique qui consiste à associer la règle de complémentation de

l'algèbre de Boole avec ce que nous appelons le "code Gray".

Définition: Dans le code de Gray, deux termes successifs ne diffèrent que par un seul bit. Les

termes ne différant que par un seul bit sont appelés "adjacents".

En utilisant le code Gray nous pouvons créer des tables de Karnaugh optimales. La raison en est

simple, le code Gray ne change qu'un bit à la fois à chaque incrémentation. En pratique ceci

signifie que pour deux valeurs qui se suivent, un et deux par exemple, une des deux variable

sera le contraire.

Exemple:

Soit 1=01 correspondant à et 2 = 11 correspondant à ba, la somme (forme disjonctive) nous

donnerait par donc ce qui se réduit à l'aide de la règle de complémentation

directement à

Tout ceci pour dire que quand deux formules se retrouvent côte à côte dans le tableau de

Karnaugh, nous conservons des élément semblables seulement.

Les règles sont telles que nous pouvons réduire quand (voir l'exemple concret précédant) :

R1. Deux 1 sont juxtaposés dans le tableau :

(29)

R2. Quand deux 1 sont aux extrémités du tableau :

(30)

R3. Quand une rangée pleine fait disparaître les deux variables BA dans ce cas :

(31)

R4. Une colonne pleine fait disparaître deux variables DC dans ce cas :

(32)

R5. Quatre cases font disparaître deux variables A et C dans ce cas :

(33)

R6. La même case peut servir à deux réductions :

(34)

R7. La même case peut servir à deux réductions :

(35)

OPÉRATIONS ARITHMÉTIQUES

A l'aide de tous les éléments démontrés et donnés précédemment, nous sommes maintenant

capables de déterminer rigoureusement la fonction logique permettant l'addition et la

soustraction booléenne. Rappelons aussi que ceci étant fait, nous pouvons construire la

multiplication et la division à l'aide respectivement de l'addition et de la soustraction.

Cependant, nous ne pouvons avec les systèmes numériques formels construire des éléments

permettant l'intégration et la différentiation. Pour cela, nous renvoyons le lecteur au chapitre

d'Électrocinétique où il est montré comment utiliser des inductances et des condensateurs pour

effectuer de telles opérations avec des signaux.

Remarque: Nous travaillerons sur des nombres entiers mais le lecteur doit se rappeler que les

nombres rationnels peuvent toujours êtres augmentés en puissance pour être représentés de

manière entière (reste après effectuer l'opération inverse au besoin).

La somme de deux bytes sera notée S, la retenue (retenue sortante) et la retenue

reportée (retenue entrante).

La table de vérité sera construite avec pour astuce que les entrées du système ( )

prennent tout les valeurs possibles sur 3 bits (trois lettres) soit lignes que nous avons

représentées dans la table suivante:

Ceab

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

Tableau: 9 - Identifications des retenues reportées pour la somme de bits

et maintenant l'idée consiste à rajouter la colonne de la somme:

(36)

ligne par ligne (sans penser à la retenue sortante ) :

CeabS

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

Tableau: 10 - Retenues reportées pour la somme de bits

Maintenant, ligne par ligne, nous rajoutons la retenue sortante de la somme S :

CeabSCs mintermes

0 0 0 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 1

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 1 0 0 1

1 1 1 1 1

Tableau: 11 - Identification des mintermes de la somme

Il vient alors quatre mintermes (c'est-à-dire les termes pour lesquels S est non nul aux lignes

2,3,5,8) tel que la F.N.D s'écrive :

(37)

Une simplification possible est :

(38)

Il vient également pour la retenue sortante les mintermes suivants :

(39)

Donc finalement nous avons :

(40)

Remarque: La table de vérité de l'addition sans retenue entrante est appelé "demi-additionneur".

La soustraction (différence) de deux bytes sera notée D, l'emprunt (emprunt sortant) et la

emprunt reporté (emprunt entrante). La table de vérité sera construite avec dans un premier

temps comme pour l'addition. C'est-à-dire que les entrées du système ( ) prennent tout

les valeurs possibles sur 3 bits (trois lettres) soit lignes. Ainsi :

eeab

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

Tableau: 12 - Identifications des emprunts reportés pour la soustractoin de bits

Mais nous allons rajouter une petite subtilité. Plutôt que de nous embêter à

calculer , nous allons calculer de manière à travailler avec la

table de vérité ci-dessous :

-eea-b

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

Tableau: 13 - Inversion des emprunts reportés pour la soustractoin de bits

et maintenant l'idée consiste à rajouter la colonne de différence ligne par

ligne (sans penser à l'emprunt ) qui sera strictement identique à la table de vérité de la

somme :

eeabD

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

Tableau: 14 - Emprunts reportés pour la soustraction de bits

Maintenant, ligne par ligne, nous rajoutons l'emprunt sortant de la

différence :

eeabSes mintermes

0 0 0 0 0

0 0 1 1 1

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