Notes sur le cours des systèmes logiques formels - 3° partie, Notes de Applications informatiques
Francine88
Francine8813 January 2014

Notes sur le cours des systèmes logiques formels - 3° partie, Notes de Applications informatiques

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Notes d'informatique sur le cours des systèmes logiques formels - 3° partie.Les principaux thèmes abordés sont les suivants:Une simplification triviale,la logique floue,l'ensemble flou.
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Tableau: 15 - Identification des mintermes de la soustraction

Il vient alors quatre mintermes (c'est-à-dire les termes pour lesquels S est non nul aux lignes

2,3,5,8) tel que la F.N.D s'écrive :

(41)

Une simplification triviale possible est :

(42)

Il vient également pour l'emprunt sortant les mintermes suivants :

(43)

Donc finalement :

(44)

Remarque: La table de vérité de la soustraction sans emprunt entrant est appelé "demi-

soustracteur".

LOGIQUE FLOUE

La plupart des problèmes rencontrés sont modélisables mathématiquement. Mais ces modèles

nécessitent des hypothèses parfois trop restrictives, rendant délicate l'application au monde

réel. Les problèmes de ce monde doivent tenir compte d'information imprécises, incertaines.

Prenons l'exemple d'une climatisation : si nous voulons obtenir une température fraîche, nous

pouvons nous demander quelle gamme de températures conviendra (la demande est

imprécise); de plus la fiabilité des capteurs entre en jeu (la mesure de la température ambiante

est incertaine). Nous voyons apparaître la difficulté d'interprétation des variables linguistiques

comme frais, chaud, …ainsi que du traitement de ces données entachées d'incertitude.

Une approche fut développé à partir de 1965 par Loft. A. Zadeh, professeur à l'Université de

Californie à Berkeley, basée sur la théorie des sous ensembles flous ("fuzzy sets" en anglais),

généralisant la théorie des ensembles classique. Dans la nouvelle théorie de Zadeh, un élément

peut plus ou moins appartenir à un certain ensemble. Les imprécisions et les incertitudes

peuvent ainsi être modélisées, et les raisonnements acquièrent une flexibilité que ne permet

pas la logique classique : la "logique floue" était née. De nombreuses applications ce sont alors

développées dans divers domaines, là où aucun modèle déterministe n'existe ou n'est

pratiquement implémentable, ainsi que dans des situations pour lesquelles l'imprécision sur les

données rend le contrôle par des méthodes classiques impossible.

Dans ce qui suit, nous développerons d'abord la théorie des sous-ensembles flous, puis nous

préciserons le raisonnement en logique floue, nous examinerons les méthodes d'exploitation

des résultats obtenus, et enfin nous verrons une application effective.

Avant de passer au coté formel de la chose (mathématiquement parlant) il peut être préférable

(puisqu'il s'agit quand même d'une technique de l'ingénieur) de présenter brièvement les

concepts de la logique floue de manière imagée.

La logique floue est une technique utilisée dans des domaines aussi variés que l'automatisme

(freins ABS), la robotique (reconnaissance de formes), le gestion de la circulation routière (feux

rouges), le contrôle aérien, l'environnement (météorologie, climatologie, sismologie), la

médecine (aide au diagnostic) et bien d'autres.

A l'inverse de la logique booléenne, la logique floue permet à une condition d'être en un autre

état que vrai ou faux. Il y a des degrés dans la vérification d'une condition.

Considérons par exemple la vitesse d'un véhicule sur une route nationale. La vitesse normale

est de 90 [km/h]. Une vitesse peut être considérée comme élevée au-dessus de 100 [km/h], et

comme plus du tout élevée en dessous de 80 [km/h]. La logique booléenne envisagerait les

choses de la manière suivante :

(45)

La vitesse est considérée à 100% comme élevée à partir de 100 km/h, et à 0% en dessous.

La logique floue, à l'inverse, permet des degrés de vérification de la condition " La vitesse est-

elle élevée ? " selon :

(46)

La vitesse est considérée comme pas du tout élevée en dessous de 80 km/h. On peut donc dire

qu'en dessous de 80 km/h, la vitesse est élevée à 0%. La vitesse est considérée comme élevée

au-dessus de 100 km/h. La vitesse est donc élevée à 100% au-dessus de 100 km/h. La vitesse

est donc élevée à 50% à 90 km/h, et à 25% à 85 km/h.

De la même manière, la fonction " La vitesse est-elle peu élevée ? " sera évaluée de la manière

suivante selon :

(47)

La vitesse est considérée comme peu élevée en dessous de 80 km/h. Elle est donc peu élevée à

100%. La vitesse est considérée comme pas du tout peu élevée au-dessus de 100 km/h. Elle est

donc peu élevée à 0%. La vitesse est donc peu élevée à 50% à 90km/h, et à 75% à 85 km/h.

Nous pouvons également définir une fonction " La vitesse est-elle moyenne ? " selon :

(48)

La vitesse est moyenne à 90 km/h. À cette allure, la vitesse est moyenne à 100%. La vitesse

n'est pas du tout moyenne en dessous de 80 km/h et au-dessus de 100 km/h. Hors de cet

intervalle, la vitesse est moyenne à 0%. La vitesse est donc moyenne à 50% à 85 km/h et 95

km/h.

Il n'est pas obligatoire que la transition soit linéaire. Des transitions hyperboliques (comme une

sigmoïde ou une tangente hyperbolique), exponentielle, gaussienne (dans le cas d'un état

moyen) ou de toute autre nature sont utilisables tel que les méthodes que nous avons vues lors

de notre étude des réseaux de neurones :

(49)

Une fois évaluée la valeur de l'entrée (" La vitesse est-elle élevée ? "), une valeur peut être

déterminée pour une fonction de sortie. Considérons la fonction " Si la fièvre est forte, alors

administrer de l'aspirine ". Une telle fonction est appelée "commande floue". Elle est composée

de deux parties :

1. Une entrée : " La fièvre est-elle forte ? ". Nous considérons qu'une fièvre n'est pas forte en

dessous de 38°C, et qu'elle est forte au-dessus de 40°C.

2. Une sortie : " Administrer de l'aspirine "

Ces deux parties sont liées. Nous pouvons les représenter ensemble comme ci-dessous :

(50)

Il existe plusieurs techniques pour déterminer la valeur de la sortie (dans l'exemple : la quantité

d'aspirine à administrer) :

Un exemple consistant à prendre pour la droite ayant la même ordonnée que le point de la

courbe de départ ayant pour abscisse la valeur de l'entrée coupe la courbe de sortie. L'abscisse

de ce point d'intersection est une valeur de sortie possible comme représenté ci-dessous :

(51)

Une deuxième exemple consiste à prendre la droite ayant la même ordonnée que le point de la

courbe de départ ayant pour abscisse la valeur de l'entrée délimite un trapèze au niveau de la

sortie. Le centre de gravité de ce trapèze est également une valeur de sortie possible comme

représenté sur la figure ci-dessous :

(52)

De par ces deux exemples nous voyons bien que nous sommes à la frontière science/ingénierie

puisqu'il y a un choix technique ou et statistique à faire dans la méthode à choisir.

ENSEMBLE FLOU Définition: Soit X un ensemble. Un "sous-ensemble flou" A de X est défini par une fonction

d'appartenance sur X à valeurs dans l'intervalle [0,1].

Remarque: La fonction d'appartenance peut être fixée arbitrairement. Un problème des

applications pratiques est de définir pour l'ingénieur ces fonctions (nous faisons généralement

appel à des données statistiques ou à l'avis d'un expert).

La notion de sous-ensemble flou englobe celle de sous-ensemble classique pour

laquelle est la fonction indicatrice :

Définition: Si A et B sont deux ensembles, tels que A est inclus dans B, nous appelons "fonction

indicatrice" deA (relativement à B), la fonction définie dans {0,1}, et telle que :

si x est dans A

si x n'est pas dans A

(53)

Les fonctions indicatrices sont souvent des intermédiaires techniques très pratiques!

Exemple:

Une fonction caractéristique possible pour définir le sous-ensemble flou "avoir une vingtaine

d'années"

(54)

Les notions suivantes sont caractéristiques de A :

Définitions:

D1. Support de A :

D2. Hauteur de A :

D3. A est dit normalisé si

Remarque: Les sous-ensembles flous considérés seront tous supposés normalisés, in extenso de

hauteur égale à 1.

D4. Noyau de A :

D5. Cardinalité de A :

Exemple:

Avec l'exemple de la figure précédente :

(55)

D6. Si A et B sont deux sous-ensembles flous de l'ensemble X, nous disons que :

1. A est "plus spécifique" que B si :

et (56)

2. A est "plus précis" que B si :

, et (57)

D7. Il y a égalité entre deux sous-ensembles flous si et seulement si :

(58)

D8. Il y a inclusion si et seulement si :

(59)

D9. L'intersection est définie par :

(60)

D10. L'union est définie par :

(61)

Exemple:

Reprenons le cas déjà envisagé. Nous considérons les personnes ayant une "vingtaine

d'années", et celles "ayant la majorité" (en pointillés sur la figure : nous considérons celle-ci

comme un sous ensemble non-flou!) :

(62)

Selon les définitions de l'intersection ("ET logique" ou multiplication logique selon l'algèbre de

Boole) et de l'union ("OU logique" ou addition logique selon l'algèbre de Boole), nous pouvons

caractériser les sous-ensembles flous correspondant aux personnes "ayant une vingtaine

d'années et la majorité" (à gauche dans la figure ci-dessous) ainsi que celui des personnes

"ayant une vingtaine d'années ou la majorité" (à gauche dans la figure ci-dessous) :

(63)

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