Notes sur le cyclogenèse et l'anticyclogenèse - 1° partie, Notes de Génie Thermique
Christophe
Christophe13 January 2014

Notes sur le cyclogenèse et l'anticyclogenèse - 1° partie, Notes de Génie Thermique

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Notes de ingénierie sur le cours de génie marin et métèo - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les cellules de Hadley, l'équilibre géostrophique, le paramètre de Coriolis, le nombre de Rossby, l'é...
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L'essentiel de la masse atmosphérique est contenu dans les 20 premiers kilomètres d'altitude,

si bien que la météorologie à grande échelle se déroule sur une mince coquille sphérique

(assimilable à de la mécanique des fluides bidimensionnelle).

Le moteur de la circulation atmosphérique dans les tropiques est le réchauffement solaire. À

cause de l'inclinaison de 23.5 degrés de l'axe de rotation de la Terre, le Soleil n'est jamais plus

qu'à quelques dixièmes de degré du zénith à midi tout au long de l'année dans les tropiques ce

qui donne un maximum de réchauffement autour de l'équateur géographique.

Il faut donc distinguer la circulation au voisinage des tropiques, caractérisée par de forts

mouvements verticaux, dus aux convections thermiques, et la circulation des latitudes

moyennes, faites quasiment que de mouvements horizontaux :

(81)

Supposons un moment que nous arrêtions complètement le mouvement de l'air dans

l'atmosphère relativement à la surface de la planète, et que nous le laissions ensuite

recommencer à tourner d'Ouest en Est (de gauche à droite sur les images) partir du repos. La

force du gradient de pression pousse l'air à se mouvoir des régions de haute pression vers les

régions de basse pression (appel du vide). Ces mouvements de convections sont appelés des

"cellules de Hadley".

Toutefois, dès que le mouvement s'amorce la force de Coriolis (due à la rotation de la Terre)

dévie donc les vents Nord-Sud en direction de l'Ouest et les vents Sud-Nord vers l'Est pour un

observateur se situant au Pôle Nord. Nous observons dès lors la formation de cyclones

tournants dans le sens contraires des aiguilles d'une montre dans l'hémisphère Nord et

inversement dans l'hémisphère Sud (à cause de la direction du vecteur dans cette partie de

l'hémisphère).

Plus la vitesse de l'air augmente, plus la force de Coriolis augmente de concert en accentuant la

déviation. Éventuellement la force de Coriolis atteint une valeur égale et opposée à celle de la

force du gradient de pression, produisant ainsi un écoulement d'une vitesse constante (sans

accélération), parallèle aux isobares définissant ainsi la limite géométrique de la cellule de

Hadley. C'est ce que nous appelons"l'équilibre géostrophique". En pratique, l'écoulement en

dehors des tropiques est presque toujours en quasi-équilibre géostrophique.

En l'absence d'observations de vent, les météorologues peuvent estimer la force du vent en un

point donné en mesurant sur une carte d'analyse météo le gradient de pression et la latitude.

L'approximation géostrophique est purement diagnostique. Elle n'a pas de valeur prédictive car

son équation ne contient aucun terme de changement.

Dans les tropiques, où la force de Coriolis est de plus en plus faible jusqu'à être nulle à

l'équateur, ce sont d'autres forces, comme la force centrifuge, qui viennent équilibrer la force

de gradient de pression.

C'est ce que nous allons démontrer ici mathématique à l'aide de la mécanique des milieux

continus (fluides) et la mécaniques classique (voir chapitres correspondants).

Nous savons que dans notre système intervient donc les forces de pression (gradient), les

forces centrifuges, les forces de pesanteur (gravité). Forces auxquelles il ne faut pas oublier

d'ajouter la force (implicitement : l'accélération) de Coriolis interne au système (sous-entendu

le cyclone) de pulsation (cf. chapitre de Mécanique Classique):

(82)

et la force (implicitement : l'accélération) de Coriolis par unité de masse de fluide (la raison de

ce choix d'unité paraîtra évidente quelques paragraphes plus loin) relativement à la

pulsation de la Terre :

(83)

Ainsi, comme nous le savons (cf. chapitre de Mécanique Classique), la force de Coriolis va

tendre à dévier tout mouvement descendant vers la droite (Est) dans l'hémisphère Nord et tout

mouvement montant vers la gauche (Ouest) dans l'hémisphère Sud (selon que l'on se place dans

la direction du fluide en mouvement selon la figure précédente).

C'est ainsi que l'air à la base des cellules de Hadley, voyageant à basse altitude du tropique vers

l'équateur sera dévié vers l'Ouest pour donner les Alizés de vents d'Est.

Nous avons par ailleurs démontré dans le chapitre de mécanique des milieux continus une

forme particulière de l'équation d'Euler de 2ème forme qui était :

(84)

Remaniée, cette relation s'écrit aussi :

(85)

Or, nous avions aussi démontré que :

(86)

Il vient dans la référentiel Terrestre :

(87)

Il s'agit donc de l'équation définissant la pression à l'intérieur du fluide considéré comme isolé.

A cette relation, il faut donc encore soustraire les forces de pression de Coriolis dues au

référentiel géocentrique pour obtenir la dynamique du système "cyclone" :

(88)

Ce qui donne finalement :

(89)

Soit sous forme condensée traditionnelle :

(90)

Représentons maintenant la Terre dans une tranche Nord-Sud :

(91)

Si nous agrandissons la repère lié au cyclone et y translatons le vecteur pulsation de la Terre

nous avons :

(92)

Soit :

(93)

Nous avons donc :

(94)

Comme nous étudions les mouvements (quasi) horizontaux dans l'atmosphère à cette latitude,

nous pouvons considérer que les particules de fluide sont assujetties à demeurer dans le plan

horizontal . Les composantes de la force de Coriolis pour un mouvement plan sont

alors ( ) :

(95)

où f est appelé "paramètre de Coriolis". Donc la force de Coriolis en océanographie et en

météorologie est traditionnellement notée :

(96)

Le nombre f, positif dans l'hémisphère Nord, négatif dans l'hémisphère Sud, varie de 0 à 1.458

aux pôles alors que la force est de l'ordre du millième de Newton pour les masse de fluide

(courants océaniques) et du même ordre de grandeur (car la vitesse compense la faible densité)

pour les gaz (courants atmosphériques).

Nous appliquons maintenant l'approximation de l'équilibre géostrophique, c'est-à-dire que

nous considérons que l'air est animé d'un mouvement rectiligne uniforme (vent géostrophique),

en d'autres termes, nous négligeons l'action de la force centrifuge due à la rotation du

tourbillon devant celle da la force de Coriolis due à la rotation de la Terre, ce qui revient à

supposer que :

(97)

avec R étant le rayon du tourbillon et sa pulsation. Puisque (cf. chapitre de Mécanique

Classique) :

(98)

cette dernière inégalité devient :

(99)

où :

(100)

est appelé le "nombre de Rossby" et n'a pas de dimensions.

Remarque: Pour les moyennes latitudes ( ), l'expérience et les mesures

donnent et . La valeur limite pour

laquelle est . Pour une échelle supérieure, comme c'est le cas pour les

cyclones où , nous sommes donc proche de l'équilibre géostrophique. Pour une

échelle inférieure, Coriolis est négligeable et le vent est accéléré des hautes vers les basses

pressions.

Le nombre de Rossby représente donc le rapport entre les forces d'inerties et les forces dues à

la rotation qui caractérisent le mouvement d'un fluide dans un repère tournant.

Ainsi, nous pouvons faire la différence entre un écoulement géophysique à fort nombre de

Rossby ou à faible nombre de Rossby. Si le nombre de Rossby est très supérieur à l'unité, alors

les forces de Coriolis dues par exemple à la rotation terrestre sont négligeables devant l'inertie

de l'écoulement. Dans le cas contraire d'un nombre de Rossby très inférieur à l'unité, les forces

de Coriolis dominent le mouvement du fluide.

Ainsi, si on se rapproche de l'équateur f tendant vers 0 le nombre de Rossby devient très grand

et aux pôles il devient très faible.

Dans le cadre de cette approximation, notre équation d'Euler peut alors s'écrire sous la forme :

(101)

et puisque nous nous intéressons qu'au plan horizontal de l'atmosphère cela ce simplifie encore

plus sous la forme :

(102)

Soit totalement sous forme vectorielle développée et en reprenant la majuscule P pour la

pression comme il est d'usage en météorologie :

(103)

Il vient ainsi que :

(104)

soit :

(105)

Donc sous forme conventionnelle :

(106)

La norme étant donnée par :

(107)

Soit :

(108)

relation qui est appelée "équation des vents (géostrophiques)"

Quatre scénarios sont à considérer :

1. Nous sommes dans l'hémisphère Nord et donc f est positif. Supposons que dP/dR soit

positif, la pression augmente alors en s'éloignant du centre du tourbillon (qui lui est donc un

minimum de basse pression). Dès lorsv est positif et nous avons un tourbillon appelé

"dépression" dans l'hémisphère Nord. Ainsi, le fluide (le vent) souffle autour de la dépression

dans le sens antihoraire (vers l'Ouest) dans l'hémisphère Nord.

Définitions:

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