Notes sur le fluide incompressible - 1° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le fluide incompressible - 1° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur le fluide incompressible - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: L'équation de Navier-Stokes, l'équation d'Euler de 2ème forme, le fluide compressible, le fluide statique, le n...
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FLUIDE INCOMPRESSIBLE

Dans un fluide incompressible, nous avons par définition . L'équation de conservation

qui est (cf. chapitre de Thermodynamique):

(34.254)

s'écrit alors:

(34.255)

soit:

(34.256)

L'équation de Navier-Stokes:

(34.257)

s'écrit alors:

(34.258)

ou autrement:

(34.259)

Si de plus la viscosité est négligeable, nous avons donc pour un fluide parfait:

(34.260)

C'est équation est appelée "équation d'Euler de 1ère forme" ou encore "équation locale du bilan

de conservation de la quantité de mouvement". Nous réutiliserons cette relation dans le cadre

de notre études des ondes de gravité (vagues) dans le chapitre de Génie Météo et Marin.

Il existe une deuxième forme de l'équation d'Euler dans le cadre d'un fluide incompressible et à

viscosité négligeable que nous allons de suite déterminer (souvent utilisée dans l'industrie) :

Si , nous pouvons écrire:

(34.261)

Ce qui peut aussi s'écrire:

(34.262)

Ce qui s'écrit encore:

(34.263)

Le premier facteur peut être considéré comme le produit scalaire suivant :

(34.264)

Soit:

(34.265)

La "dérivée particulaire" peut alors prendre la forme condensée suivante :

(34.266)

Remarque: La composante en x de la dérivée particulaire est donc (nous retrouverons cela dans

le chapitre de Génie Marin Et Météo!) :

(34.267)

ce que les spécialistes du domaine notent de manière générale pour toute composante :

(34.268)

L'équation d'Euler de 1ère forme:

(34.269)

devient compte tenu de la dérivée particulaire:

(34.270)

ou encore (forme courante dans la littérature):

(34.271)

Nous avons vu dans le chapitre de Calcul Vectoriel que:

(34.272)

Si nous posons , nous avons:

(34.273)

Soit:

(34.274)

Finalement, nous obtenons une nouvelle équation appelée "équation d'Euler de 2ème forme" et

qui s'écrit:

(34.275)

Bien que les deux équations d'Euler soient très importantes, il en existe une forme variée très

utile en météorologie que nous allons de suite déterminer.

Nous nous basons toujours sur l'écoulement d'un fluide incompressible et non visqueux,

mais dont les forces de volume dérivent cette fois-ci d'un potentiel (U étant un

potentiel).

Dans ce cas, nous recourons à l'équation d'Euler sous sa 1ère forme:

(34.276)

Puisque les forces volumiques dérivent d'un potentiel U, nous avons:

(34.277)

Nous rappelons la relation:

(34.278)

Soit un vecteur , il vient:

(34.279)

donc:

(34.280)

donc nous pouvons aussi écrire:

(34.281)

En reprenant la relation:

(34.282)

L'équation:

(34.283)

devient:

(34.284)

Donc:

(34.285)

et puisque:

(34.286)

Nous pouvons écrire:

(34.287)

Nous savons que donc:

(34.288)

En écrivant le produit vectoriel sous forme développée, nous avons:

(34.289)

Ce qui donne:

(34.290)

Supposons que soit un vecteur vitesse angulaire constant, nous avons alors:

(34.291)

Définition: Nous disons qu'un "écoulement est tourbillonnaire" si:

(34.292)

partout ou en certains points. Nous définissons aussi de la relation antéprécédente la "vorticité"

par:

(34.293)

Exemple d'écoulement partiellement tourbillonnaire (en certains points):

(34.294)

L'équation:

(34.295)

s'écrit alors:

(34.296)

Nous retrouvons dans cette équation, utilisée en météorologie, l'accélération de Coriolis que

nous avions déterminé en mécanique classique du point matériel rigide.

Si l'écoulement s'effectue à vitesse constante et n'est pas rotationnel (non

turbulent) , alors l'équation précédente se réduit à:

(34.297)

En dynamique classique du point matériel rigide, nous avons montré que dans le cas d'un

potentiel gravitationnel Terrestre:

(34.298)

z étant l'altitude d'un point du fluide par rapport à un niveau de référence . Si nous

prenons pour le niveau du sol, l'avant dernière relation devient donc dans le cas d'un

écoulement dit alors "écoulement potentiel":

(34.299)

Le terme entre crochet pour satisfaire cette relation doit être tel que:

(34.300)

Nous retrouvons donc bien le théorème de Bernoulli ce qui conforte notre modèle des fluides

newtoniens selon le modèle de Navier-Stokes.

FLUIDE COMPRESSIBLE

Dans ce cas est une fonction de la pression p (cas des "fluides barotropes"). Nous

considérons également que la viscosité est négligeable. Il vient alors:

(34.301)

L'équation:

(34.302)

s'écrit alors:

(34.303)

FLUIDE STATIQUE

Dans le cas statique et l'équation:

(34.304)

devient simplement:

(34.305)

qui est "l'équation de la statique des fluides" ou la "loi fondamentale de l'hydrostatique".

Remarque: Les viscosités disparaissent. La statique des fluides est la même pour les fluides

visqueux ou non visqueux.

NOMBRE DE REYNOLDS

Considérons d'abord, pour simplifier, le cas incompressible. L'équation de continuité, ou de

conservation de la masse, (cf. chapitre de Thermodynamique) s'écrit alors:

(34.306)

s'écrit alors:

(34.307)

Nous choisissons maintenant plusieurs grandeurs de références notées par un indice r tel que:

et (34.308)

Alors:

(34.309)

donc l'équation des déformations par unité de temps devient:

(34.310)

Nous avons également:

(34.311)

Restreignons-nous à l'étude d'une composante:

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