Notes sur le fluide incompressible - 2° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le fluide incompressible - 2° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur le fluide incompressible - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'approximation de boussinesq, la loi de stokes.
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(34.312)

En multipliant par la densité :

(34.313

)

Ecrivons l'équation de Navier-Stokes pour une composante:

(34.314)

Les termes ou apparaissent les coefficients de viscosité peuvent être réécrits tels que:

(34.315)

Ainsi par correspondance:

(34.316)

En introduisant les variables adimensionnelles:

(34.317)

car comme nous l'avons vu:

(34.318)

d'où:

(34.319)

ou encore:

(34.320)

Nous multiplions la relation:

(34.321)

par et la divisons par tel qu'elle devienne:

(34.322)

Au niveau dimensionnel, nous avons:

et (34.323)

Finalement:

(34.324)

Cette équation différentielle exprimée en variables relatives et sans dimensions est appelé

"équation de Navier-Stokes-Reynolds adimensionnelle"

Le terme , appelé "nombre de Reynolds", représente au niveau symbolique le rapport des

forces d'inerties sur les forces visqueuses :

(34.325)

où est la "viscosité cinématique relative".

La viscosité dynamique est donc un terme inversement proportionnel à la valeur du nombre de

Reynolds.

APPROXIMATION DE BOUSSINESQ

Soit la relation déjà démontrée précédemment:

(34.326)

En y remettant le terme contenant la viscosité:

(34.327)

sans oublier qu'au niveau des notations (nous savons… c'est un peu embêtant):

(34.328)

Si le potentiel est de type gravitationnel, il va de soi que:

(34.329)

Donc:

(34.330)

Si l'on peut considérer le contexte de l'expérience tel que la densité volumique est inférieure ou

égale à celle de l'eau et que les vitesses sont petites, alors nous pouvons éliminer les termes de

second degré, tel que la relation précédente s'écrive:

(34.331)

Nous nous plaçons dans le cadre d'un fluide faiblement turbulent, dans lequel la pression et la

densité s'écrivent:

(34.332)

où représentent le terme d'accroissement turbulent par rapport aux valeurs statiques du

fluide.

Nous négligeons également les frottements sur les bords et donc la viscosité en supposant que

l'effet des turbulences devient vite prépondérant sur la valeur du frottement.

Donc nous avons le système d'équations:

(34.333)

qui peut s'écrire:

(34.334)

et encore:

(34.335)

ce qui s'écrit aussi:

(34.336)

Mais dans le cas statique:

(34.337)

Il nous reste donc:

(34.338)

En divisant le tout par :

(34.339)

mais encore une fois:

(34.340)

L'approximation de Boussinesq consistant à supposer que le fluide est incompressible et que le

système est à température constante et peu turbulent, nous avons:

(34.341)

Ce qui nous donne:

(34.342)

Cette équation s'appelle "équation de Boussinesq" et va nous permettre d'introduire la théorie

du chaos dans le domaine de la météorologie et des fluides dans le cas particulier des cellules

de convection.

LOI DE STOKES

La complexité de l'hydrodynamique est un terrain tout désigné pour l'application de l'analyse

dimensionnelle dont nous avons parlé au tout début de notre étude de la mécanique analytique.

L'exemple analysé ici montre clairement les possibilités, mais aussi les limites de la méthode.

Nous envisageons un solide de forme quelconque plongé dans un fluide incompressible animé

d'une vitesse uniforme à grande distance (le problème est équivalent à celui d'un solide qui se

déplace à vitesse constante dans un fluide au repos). Nous cherchons à exprimer la

force F qu'exerce le fluide sur l'obstacle, supposée immobile (et notamment dépourvu de tout

mouvement de rotation).

La solution analytique est trop complexe pour perdre son temps à résoudre ce genre de

problème pratique. Il convient de recourir à l'analyse dimensionnelle.

Les paramètres pertinents sont dans notre étude:

- L la dimension linéaire de l'obstacle

- v la vitesse du fluide à grande distance

- la masse du fluide

- la coefficient de viscosité du fluide

Comme il se doit, tous ces paramètres sont des constantes, bien que la vitesse varie en

direction et en norme au voisinage de l'obstacle: à grande distance, elle es uniforme et sa

valeur v est bien un paramètre pertinent.

Nous pourrions nous demander si la pression ne devrait pas compter au nombre de ces

paramètres. Ce n'est pas le cas. La pression est conditionnée par la valeur de la vitesse et par

celles des paramètres constants comme nous l'avons voyons dans le théorème de Bernoulli.

Inutile donc de rajouter un terme redondant.

Sans chercher l'unique combinaison sans dimension des quatre premières, nous appliquons la

démarche systématique. Nous voulons déterminer A, B, C, D, tels que:

(34.343)

Comme:

(34.344)

Il vient:

(34.345)

Le système de dimensionnalité s'écrit:

(34.346)

Ainsi:

(34.347)

Dès lors:

(34.348)

et curieusement nous retrouvons ici ce que nous avions vu dans notre développement de

l'approximation de Boussinesq:

(34.349)

Donc la force exercée par le fluide s'écrit:

(34.350)

Dans la littérature nous trouvons la notation:

(34.351)

où C dépend de .

Les limites de la méthode analytique dimensionnelle (et même analytique tout court…) apparaît

lorsque l'on confronte ce modèle à l'expérience (évidemment nous pourrions faire des modèles

numériques de l'équation de Navier-Stokes-Reynolds pour l'ordinateur et ainsi l'honneur serait

sauf):

(34.352)

Ce graphique correspond à l'écoulement autour d'un cylindre; la vitesse étant perpendiculaire

à l'axe du cylindre. Les régimes sont signalés en chiffres romains: stationnaire (I), périodique

laminaire (II), turbulent avec superposition d'état périodique (III), turbulent (IV).

La courbe à deux caractéristiques remarquables:

1. Elle a été obtenue en modifiant de manière indépendante les valeurs des quatre paramètres.

Nous constatons que C ne dépend que du seul nombre sans dimension : c'est un succès de

l'analyse dimensionnelle.

2. Il est vain d'espérer trouver une fonction analytique simple qui reproduise la courbe

expérimentale. Il faut donc aller voir de plus près les divers régimes correspondants à cette

courbe complexe.

La figure ci-dessous schématise l'écoulement d'un fluide visqueux autour d'un cylindre pour

différentes valeurs du nombre de Reynolds:

(34.353)

Le régime correspondant à la figure (a) est dit "régime stationnaire". Nous pouvons parler d'un

déplacement "quasi-statique" de la part du fluide où en chaque point l'accélération est

négligeable. Nous devons donc nous attendre à ce que l'inertie du fluide n'intervienne pas dans

l'expression de la force. Pour cela, il faut et il suffit que:

(34.354)

où C est indépendant de .

Nous avons donc:

(34.355)

Le paramètre C' sans dimensions ne peut dépendre que de la géométrie de l'obstacle. Dans le

cas où l'obstacle est sphérique (cas très important en physique avec L=R), C' a été déterminé

expérimentalement comme valant tel que:

(34.356)

connue sous le nom de "loi de Stokes" ou "formule de Stokes". Attention.... cette loi ne

s'applique bien que pour les petites vitesses et des petites sphères.

Dans le régime décrit par (b), deux tourbillons s'installent symétriquement derrière le cylindre.

Quand augmente au-delà de 40, nous distinguons l'allée de "tourbillons de von Kármán".

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