Notes sur le formalisme canonique - 1° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le formalisme canonique - 1° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur le formalisme canonique - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: une nouvelle gamme d'outils pour étudier les phénomènes physiques, la transformation de legendre, hamiltonien, l...
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Le formalisme canonique n'introduit pas une nouvelle physique mais propose une nouvelle

gamme d'outils pour étudier les phénomènes physiques. Son élément central, le "Hamiltonien",

joue un grand rôle en physique quantique.

Comme dans le formalisme de Lagrange nous travaillerons avec des quantités comme

l'énergie, T et V plutôt qu'avec des quantités vectorielles comme la force de Newton.

Dans le formalisme de Lagrange, la description d'un système mécanique à n degrés de liberté

décrits par les coordonnées générales indépendantes (non contraintes) nous mène

à n équations d'Euler-Lagrange:

(29.43)

qui sont des équations différentielles du 2ème ordre.

Dans le formalisme canonique (ou de Hamilton), un système mécanique àn degrés de liberté

toujours décrits par des indépendants nous mènera à 2n équations du premier ordre (plus

simple à résoudre).

Chez Lagrange nous comparons principalement des trajectoires et par conséquent les et

les sont tous indépendants. Chez Hamilton nous devrons d'abord apprendre à définir les

"moments généralisés", notés , pour remplacer les coordonnées généralisées et qui

sont aussi tous indépendants.

Remarque: L'origine des moments conjugués sera triviale dès que nous aurons vu un premier

exemple concret.

TRANSFORMATION DE LEGENDRE

Cette transformation est souvent utilisée en thermodynamique où elle permet de relier entre

eux les différents potentiels thermodynamiques. En mécanique ou en géométrie elle permet de

définir le hamiltonien à partir du lagrangien et inversement. Nous en donnons une description

simplifiée et suffisante.

Soit une fonction f(u,v) où u,v sont les deux variables indépendantes dont dépend f.

Définissons:

(29.44)

La transformation de Legendre permet de définir une fonction qui peut

remplacer :

(29.45)

Soit maintenant la différentielle totale de f (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

(29.46)

De la définition de g nous calculons:

(29.47)

et nous avons donc:

(29.48)

HAMILTONIEN

Soit un lagrangien que nous traiterons comme la fonction f ci-dessus avec

les jouant le rôle de uet les le rôle de v. A la place de w, nous définissons les moments

généralisés également appelés "moments canoniques":

(29.49)

avec .

Avant de continuer voyons ce que nous permet de faire cette définition :

Nous définissons donc, en analogie avec g, une fonction des et des que nous

noterons :

(29.50)

Attention! La relation obtenue :

(29.51)

appelée "fonction de Hamilton" ou "Hamiltonien" est plus qu'importante (comme tout le reste

d'ailleurs). Nous la retrouverons, entre autres, en physique quantique relativiste ou encore en

physique quantique des champs. Par ailleurs, un très joli exemple de tout ce que nous avons vu

maintenant est donné dans le chapitre de Relativité Restreinte où nous calculons le lagrangien

et hamiltonien d'une particule libre. Les résultats sont assez pertinents et leur utilité et justesse

en électrodynamique plus que étonnante.

Exemple:

Une autre application importante et très connue de la mécanique analytique est le calcul des

surfaces minimales (physique et architecture). Si nous nous intéressons à la détermination

d'une telle surface en imposant qu'elle soit une surface de révolution, nous allons voir que nous

trouvons une caténoïde (soit la forme prend un film de savon ente deux anneaux).

Nous nous donnons les rayons et de deux cercles et l'écartement l entre les deux

cercles. Nous cherchons une fonction y de classe telle que:

et (29.52)

et que la surface de révolution sous forme paramétrique:

(29.53)

possède une surface minimale.

Nous savons que la surface d'un volume de révolution peut s'écrire (cf. chapitre Formes

Géométriques):

(29.54)

Soit en faisant varier la fonction:

(29.55)

Puisque l'intégration par parties du deuxième terme donne:

(29.56)

Comme les bornes d'intégration sont fixes, le premier terme sera nul. Il reste alors:

(29.57)

et donc:

(29.58)

Le minimum cherché correspond à quelque soit ce qui impose la condition:

(29.59)

nous retrouvons l'équation d'Euler-Lagrange.

Cette équation peut aussi s'écrire sous une autre forme. En introduisant le moment canonique

pour simplifier:

(29.60)

Nous avons alors immédiatement:

(29.61)

Nous obtenons alors:

(29.62)

Ainsi, en posant l'analogie vue plus haut (méthode de Hamilton):

(29.63)

nous aboutissons à:

(29.64)

Ainsi en se rappelant qu'au début nous avions:

(29.65)

Nous aboutissons à:

(29.66)

Ce que nous pouvons aussi noter (car la constante a un signe indéterminé):

(29.67)

Nous avons alors:

(29.68)

Nous avons déjà intégré ce type d'équation différentielle en détails dans le chapitre de Génie

Civil dans l'étude de la chainette. Le résultat est:

(29.69)

la surface de révolution de cette courbe étant une caténoïde:

(29.70) Source: Wikipédia

Ce qui est un exemple remarquable qui montre l'intime relation entre la mathématique et la

physique!

Cette figure peut-être obtenue avec Maple comme suit:

y:=cosh(x);

plot3d([x,y*cos(phi),y*sin(phi)],x=0..2,phi=0..2*Pi)

Maintenant, si L dépend du temps (ce qui est quand même assez souvent le cas..) nous avons

comme différentielle totale :

(29.71)

nous calculons aussi la différentielle totale de et y substituons le résultat obtenu

précédemment :

(29.72)

ce qui montre bien que est fonction des (et du temps).

Nous pouvons donc aussi écrire pour sa différentielle totale :

(29.73)

et comme les et sont indépendants nous identifions, en comparant nos deux expressions

que:

(29.74)

Ces relations sont elles extrêmement importantes car nous les retrouverons en

magnétostatique, en physique quantique relativiste et aussi en physique quantique des champs

sous une forme un peu plus barbare (mais magnifique aussi...).

Considérons maintenant le deuxième terme du premier membre de l'équation d'Euler-

Lagrange. Nous avons :

(29.75)

et ainsi, nous obtenons les 2n équations ci-dessous :

(29.76)

Ces 2n équations sont appelées "équations canoniques du mouvement" et sont des équations

différentielles du premier ordre.

Remarque: L'apparition du signe moins " - " entre les équations pour les et celles pour leurs

moments conjugués, s'appelle une "symétrie symplectique".

De :

(29.77)

nous pouvons, sur une trajectoire qui obéit aux équations canoniques, calculer:

(29.78)

Remarque: Si H ne dépend pas du temps nous avons alors , alors H (ainsi que L), sont

une "constante du mouvement".

Un exemple s'avère indispensable à ce niveau d'avancement de l'étude du formalisme

Lagrangien. Nous allons nous restreindre à un cas particulier d'une particule soumis à une force

en une dimension. Mais bien que cet exemple et les développements qui y sont liés soient

simples nous retrouverons les résultats obtenus ici dans bien d'autres parties du site. Il est

donc important de bien l'étudier et de bien le comprendre (ce qui nécessite malheureusement

aussi que le contenu du chapitre de Mécanique Classique soit connu par le lecteur).

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