Notes sur le formalisme canonique - 2° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le formalisme canonique - 2° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur le formalisme canonique - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les crochets de poisson, les démonstrations, les transformations canoniques.
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Exemple:

Soit une particule de masse m se déplaçant en une dimension (disons x) et soumise à une force

dérivant d'un potentiel tel que:

(29.79)

Nous savons que son lagrangien est:

(29.80)

Nous n'aurons qu'un seul moment (la quantité de mouvement), noté p, conjugué à x et défini

par:

(29.81)

équation que nous pouvons (que nous devons !) inverser (de la définition de la quantité de

mouvement) :

(29.82)

Nous pouvons noter en ce point le moment p correspond (ô hasard !!) à la composante x de la

définition élémentaire (ce qui ne sera pas toujours aussi trivialement le cas).

Selon la définition de l'Hamiltonien il vient alors :

(29.83)

que nous écrivons souvent sous la forme :

(29.84)

où T est donc l'énergie cinétique exprimée en fonction des moments.

CROCHETS DE POISSON

Le crochet de Poisson est la façon standard de noter une certaine opération qui

implique les quantités et ainsi que l'ensemble des variables

canoniques définie par :

(29.85)

qui exprime la manière de parcourir un champ (le crochet étant nul si les deux types de

parcours sont égaux).

de cette définition nous pouvons déduire certaines propriétés relativement triviales :

P1.

Démonstration:

(29.86)

C.Q.F.D.

P2.

Démonstration:

(29.87)

C.Q.F.D.

P3.

Démonstration:

(29.88)

C.Q.F.D.

P4.

Démonstration (nous allons simplifier la notation pour condenser...):

(29.89)

Bon et ici, histoire de pas avoir un truc illisible, long et ennuyeux on va démontrer la propriété

pour et nous supposerons (bien évidemment) qu'elle est valable pour tout n :

(29.90)

Nous avons en plus (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) sous certaines conditions la

propriété . Dès lors l'ensemble des termes s'annulent (c'est de l'algèbre élémentaire)

pour avoir finalement :

(29.91)

où la dernière expression est appelée "identité de Jacobi".

C.Q.F.D.

Au delà d'une simple notation, le calcul des crochets de Poisson est assez facile et permet

d'obtenir nombre de résultats intéressants. D'autre part, ils sont intimement reliés aux

"commutateurs" de la physique quantique que nous étudierons dans le détail dans le chapitre

concerné.

Considérons maintenant une fonction quelconque dont la dérivée totale par rapport

au temps le long d'une trajectoire s'écrit (vous y reconnaîtrez quelque chose que vous

connaissez déjà... ) :

(29.92)

Si cette trajectoire est une trajectoire physique, elle obéit aux équations canoniques de

l'hamiltonien H du système:

(29.93)

et alors:

(29.94)

En particulier, cette équation permet un calcul facile des constantes du

mouvement, . En effet, le calcul de est immédiat et le calcul de un

assez simple exercice.

Il existe une famille de résultats intéressants des crochets de Poisson. Parmi les plus

importants, calculons certains de ces crochets entre des variables canoniques, coordonnées et

moments :

(29.95)

puisque par définition, les coordonnées et moments ne sont pas directement dépendants :

(29.96)

d'où :

(29.97)

et de manière identique :

(29.98)

Mais :

(29.99)

où rappelons-le, est le symbole de Kronecker défini par :

(29.100)

Attention ! n'est pas commutatif. Effectivement, le lecteur contrôlera facilement que :

(29.101)

Ce qui implique un résultat assez général que nous retrouverons en physique quantique :

(29.102)

TRANSFORMATIONS CANONIQUES

Nous disons des que ce sont des "variables canoniques généralisées". Ce n'est pas un

euphémisme puisqu'il n'y a pratiquement aucune limite à ce qu'elles peuvent représenter

physiquement.

Puisque tel est le cas, il doit exister des transformations entre ces différents choix. Nous

noterons les nouvelles variables canoniques obtenues suite à une telle transformation.

Nous ne sommes pas surpris par contre de constater que ces transformations sont soumises à

des conditions assez sévères. En effet, les sont généralisés et obéissent à :

(29.103)

et les équations canoniques :

(29.104)

sont invariantes de forme. Ainsi, à la suite d'une transformation des vers les et

définissant un nouvel hamiltonien que nous noterons nous devrons avoir :

(29.105)

et les équations canoniques :

(29.106)

Strictement, les équations de transformation peuvent s'écrire :

(29.107)

avec et doivent pouvoir s'inverser puisque la physique reste indépendante des

variables que nous employons pour la décrire, donc nous pouvons écrire les transformations

inverses :

(29.108)

avec . Les forment 4n variables mais il est évident que seules

2n d'entre elles sont indépendantes.

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