Notes sur le formalisme de DIrac, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le formalisme de DIrac, Notes de Physique

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Notes de physique sur le formalisme de DIrac. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les kets et bras, les remarques.
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FORMALISME DE DIRAC

Dirac a conçu un formalisme général très pratique, mondialement utilisé par les physiciens,

dont nous allons donner les éléments essentiels. Les notations utilisées ont d'ailleurs été déjà

partiellement introduites dans ce qui a précédé.

Nous utiliserons le formalisme de Dirac pour deux points, le premier étant de mieux

comprendre ce qui a été vu jusqu'à maintenant lors de l'introduction aux opérateurs

fonctionnels, le second étant d'introduire à une notation et une méthode de résolution que l'on

retrouve dans certains ouvrages. Par ailleurs, dans ce site par simplification d'écriture nous

utiliserons parfois ce formalisme.

KETS ET BRAS

Nous considérons un espace vectoriel à n dimensions où n peut très bien être infini (espace

de Hilbert). Un vecteur est défini par ncomposantes que nous pouvons ranger

en colonne pour former une matrice colonne :

(42.121)

Nous dirons que cette matrice décrit le "vecteur droit" ou le "ket" (cela doit vous rappeler les

"représentatives"). Il est possible d'associer à la matrice colonne la matrice adjointe (transposée

conjuguée) :

(42.122)

où les sont les complexes-conjugués des . Nous dirons que la matrice ligne adjointe

décrit le "vecteur gauche" ou le "bra" (cela doit également vous rappeler les

"représentatives").

L'addition et la multiplication par un nombre vont de soi. Notons que si , nous

avons trivialement .

Avec deux vecteurs de composantes et , nous pouvons former la quantité suivante, dite

"produit scalaire hermitique" :

(42.123)

nous convenons de l'écrire . Notons que:

(42.124)

le produit scalaire hermitique n'est donc pas simplement commutatif!

Le produit dépend linéairement de et de . Réciproquement si un

nombre Q dépend linéairement d'un ket , il existe un bra tel que :

(42.125)

En mécanique quantique, est appelé "l'amplitude" d'être dans l'état x si le système est

dans l'état y. Ce produit scalaire hermitique sera interprété comme la probabilité que le système

physique soit dans l'état x s'il est dans l'état y.

Une base orthonormée de l'espace étudié est constituée par n vecteurs tels que :

(42.126)

où rappelons-le, est le symbole de Kronecker (cf. chapitre de Calcul Tensoriel).

Tout vecteur de peut se développer sur cette base selon (cf. chapitre de Calcul

Vectoriel):

(42.127)

où les sont les composantes de dans la base choisie. Nous vérifions vraiment aisément

que (déjà vu maintes fois dans le chapitre de Calcul Vectoriel):

(42.128)

Si un ket dépend linéairement d'un ket , nous écrivons symboliquement:

(42.129)

où est un opérateur linéaire. Soit donc un opérateur linéaire défini par la relation précédente

et un bra , le produit scalaire hermitique:

(42.130)

est un nombre Q qui dépend linéairement de . D'après ce qui a été vu plus haut, il existe un

bra tel que . dépend visiblement de de manière linéaire. Nous convenons

de poser:

(42.131)

A l'aide de cette convention, nous pouvons écrire:

(42.132)

Si , dépend linéairement de . Par définition, nous écrirons:

(42.133)

où est l'opérateur adjoint de .

Formons avec un bra le produit scalaire hermitique:

(42.134)

et nous pouvons écrire (nous l'avons démontré précédemment):

(42.135)

d'où la relation de première importance que nous avons déjà rencontré plusieurs fois sans en

avoir expliqué vraiment l'origine :

(42.136)

Nous rappelons simplement avec cette relation qu'un opérateur hermitique est un opérateur

égal à son adjoint.

Grâce au formalisme de Dirac, ce qui était avant définitions abstraites sont devenus maintenant

des évidences démontrées.

Remarque: A nouveau, un excellent exemple pratique d'application du formalisme de Dirac est

proposé dans le chapitre d'Informatique Quantique (voir section d'Informatique Théorique).

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