Notes sur le formalisme lagrangien, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le formalisme lagrangien, Notes de Physique

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Notes de physique sur le formalisme lagrangien. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les coordonnées généralisées et référentiels, le principe variationnel.
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La mécanique classique peut être formalisée de différentes manières. La plus courante est la

formulation de Newton, qui utilise la notion de force (cf. chapitre de Mécanique Classique). Elle

est de loin la plus simple lorsqu'il s'agit de considérer un problème concret et c'est pourquoi

c'est celle qui est enseignée. Mais pour pouvoir traiter des problèmes plus complexes ou plus

finement, et pour pouvoir faire des démonstrations rigoureuses, cette formulation n'est pas la

plus pratique.

La mécanique analytique, initiée dès le 18ème siècle, regroupe ainsi différentes formulations

très mathématisées de la mécanique classique, notamment les mécaniques de Hamilton et de

Lagrange (toutes ces formulations sont équivalentes!).

Cette formalisation est assez peu enseignée dans les petites écoles car il faut bien l'avouer le

formalisme lagrangien et hamiltonien (contenant donc le principe de moindre action sous forme

mathématique) fait appel à un niveau d'abstraction un peu plus élevé que les méthodes

normales et malgré qu'il soit souvent d'une aide précieuse dans l'élaboration de théories

(physique fondamentale, physique quantique, relativité générale, théorie quantique des

champs, théorie des supercordes), il en découle rarement de nouvelles solutions (mais plutôt

une réduction et une méthode de validation utile et très puissante).

Commençons donc notre travail :

COORDONNÉES GÉNÉRALISÉES ET RÉFÉRENTIELS Un réflexe naturel conduit généralement à référer la position d'un point dans l'espace à la seule

connaissance de ses trois coordonnées cartésiennes x, y, z. Cette attitude est d'ailleurs le plus

souvent justifiée par la simplicité d'un grand nombre de situations rencontrées dans la

pratique, où il n'est pas nécessaire de rechercher de méthodes plus élaborées ou de passer

dans d'autres systèmes de coordonnées (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).

Pour repérer la position d'un mobile (ou d'un point matériel) en physique il est nécessaire dans

un premier temps d'associer un repère au référentiel. Ainsi, un "repère" est un système

(physique concret) de repérage dans l'espace associé au référentiel.

Les repères conventionnels en mécanique classique constituent majoritairement des bases

d'espaces pré-euclidiens canoniques (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) orientés et où chaque

point, ou vecteur de l'espace, peut-être représenté algébriquement par ses valeurs d'affixes (la

valeur à l'ordoonnée (projection sur l'axe vertical) et la valeur à l'abscisse (projection sur l'axe

horizontal).

Voici quelques exemples triviaux:

(ou plan d'Argand-Cauchy)

(29.1)

Remarque: Comme nous l'avons vu dans le chapitre de Géométrie Différentielle, la distance

entre deux points d'une trajectoire courbe en parcourant la courbe est appelée "abscisse

curviligne". Sinon, la distance entre deux points d'une trajectoire rectiligne est appelée

simplement "abscisse".

Définitions:

D1. Un repère, assimilé à un référentiel, est dit "référentiel Galiléen" (c'est rare que nous en

fassions explicitement mention en physique par manque de rigueur) si :

- Nous pouvons le considérer comme immobile pendant toute l'étude du mouvement du

système ou comme étant en translation rectiligne uniforme par rapport à un autre référentiel lui

même immobile.

Donc si on néglige le mouvement de rotation du Soleil autour du centre de la galaxie, alors le

référentiel héliocentrique peut être considéré comme galiléen. Si on néglige le mouvement de

rotation de la Terre autour du Soleil, alors le référentiel géocentrique peut être considéré

comme galiléen. Si on néglige le mouvement de rotation de la Terre sur elle même, alors le

référentiel terrestre peut-être considéré comme galiléen. Dans beaucoup d'expériences de

mécanique à la surface de la Terre, nous constatons que le référentiel terrestre peut-être

considéré comme galiléen avec une très bonne précision. Heureusement qu'il y a quand même

un tas de phénomène où il faut tenir compte de la rotation de la Terre (déviation vers l'est,

pendule de Foucault...etc.)

- Nous pouvons le considérer comme un système où les lois de Newton sont vérifiées (cf.

chapitre de Mécanique Classique)

D2. Un repère, assimilé à un référentiel, est dit "barycentrique" (cf. le chapitre de Géométrie

Euclidienne) s'il a pour origine le centre de masse (cf. chapitre de Mécanique Classique) du

corps étudié.

Ainsi, le "repère de Copernic" est assimilé au centre de gravité (d'inertie) du système solaire, le

"repère héliocentrique" appelé aussi "repère de Kepler" au centre d'inertie du Soleil.

D3. Un repère, assimilé à un référentiel, est dit "référentiel géocentrique" lorsque nous prenons

pour référence un système d'axes placés au centre d'inertie de la Terre. Les axes, parallèles à

ceux du référentiel de Copernic, pointent vers trois étoiles fixes. Dans ce référentiel la Terre

tourne sur elle même en 24 [h.].

D4. Un repère, assimilé à un référentiel, est dit "référentiel Terrestre" lorsque nous prenons

pour référence un système d'axes placés au centre d'inertie de la Terre et qui à un mouvement

de rotation uniforme correspondant à la vitesse de rotation de la Terre. Traditionnellement un

des axes est dirigé vers l'étoile polaire. C'est le référentiel auquel nous nous référons le plus

dans la vie courante il n'est donc pas galiléen en toute rigueur! Ceci va induire des effets

particuliers sur les mouvements dans l'atmosphère tels que nous les ressentons.

Remarque: Dire qu'un repère orthonormé est un "repère direct" signifie que l'angle

orienté a pour mesure principale (dans le sens horaire). Dire qu'un repère

orthonormé est un "repère indirect" signifie que l'angle orienté a pour mesure

principale . Dans tout ce qui suit, si nous ne spécifions pas l'orientation, cela sous-entend

que est direct.

Il est bien exact que les trois paramètres x, y, z suffisent parfaitement à repérer un point

matériel dans l'espace usuel comme nous en avons déjà fait mention dans notre étude des

espaces ponctuels (cf. chapitre sur les Principes), mais il n'en demeure pas moins qu'il est

parfois inévitable, ou même tout simplement plus avantageux, d'utiliser un nombre de

paramètres supérieur à trois. Nous pouvons évidemment envisager toutes sortes de

paramétrages pour atteindre les coordonnées d'un point dans l'espace, de telle sorte que, d'une

façon plus généralisée nous serons amenés à prendre en considération des relations du type

(nous ne gardons plus la même écriture que celle que nous avions lors de notre étude des

espace ponctuels par cohérence avec les nombreuses références déjà existant sur le sujet):

(29.2)

Les paramètres portent le nom de "coordonnées généralisées", paramètres

auxquels un problème sera le plus souvent référé. Connaître leur expression en fonction du

temps est le problème fondamental de la dynamique. Cela signifie que nous serons parvenus à

une solution quand nous disposerons des relations indépendantes :

(29.3)

Il est donc important de retenir que le nombre de paramètres définissant le repérage d'un

point dans l'espace est au moins égal à trois, sans être nécessairement différent de trois. C'est

finalement la nature des situations envisagées qui suggèrent le choix du nombre des

paramètres à utiliser (coordonnées cartésiennes, cylindriques, sphériques,...).

Dans une vision plus générale, la configuration instantanée d'un système, quelle qu'en soit la

nature, sera déterminée par la connaissance, en fonction du temps,

de n paramètres, n définissant le nombre de "degrés de liberté" du système (cf. chapitre de

Mécanique Classique).

Il est tout naturel, mathématiquement, d'associer la manipulation des n paramètres au

recours à un hyper-espace à n dimensions, dans lequel les apparaîtraient comme les

coordonnées d'un point P représentatif de la configuration d'un système quelconque. Nous

donnons à cet espace à n dimensions , le nom "d'espace de configuration".

Mais la rigueur de la mathématique-physique, nous amène à disposer d'une description plus

précise des phénomènes en ajoutant cette variable importante qu'est le temps, considérée

souvent comme variable indépendante, aux . Nous en arriverons donc fatalement à utiliser

un autre hyper-espace auquel nous avons donné le nom "d'espace des événements".

Ce dernier espace de référence revêt un intérêt capital pour un grand nombre de problèmes de

la science moderne et se trouve particulièrement bien adapté aux raisonnements de nature

relativiste. Les variables indépendantes constituant les coordonnées spatiales et temporelle

forment alors ce que nous appelons les "variables d'Euler".

Dans la mesure où les paramètres sont simplement présentés comme des fonctions

explicites du temps, le point P décrit une courbe paramétrée, définie par ,

avec . Cela revient à exploiter simultanément les équations:

(29.4)

Il arrivera fréquemment que, pour des raisons d'opportunité, nous souhaitions changer de

système de coordonnées généralisées, et utiliser un autre ensemble plus compatible avec les

spécificités du problème envisagé. Nous substituerons alors au jeu des un nouveau jeu de

coordonnées . Il est alors évident que nous devrons, avant toute chose, nous doter des

relations de dépendance existant entre les deux ensembles de coordonnées (cf. chapitre de

Calcul Vectoriel) :

(29.5)

Les fonctions seront maintenant supposées définies, continues, de classe (pour

travailler avec l'accélération) par rapport aux et devront conduire à un jacobien

différent de zéro (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral).

Dans ces conditions, à chaque point de l'espace des configurations des x, noté ,

correspondra un point de l'espace de configuration des q , noté . Nous avons ainsi

effectué une transformation ponctuelle, autrement dit une application de l'espace sur lui-

même.

Pour étudier des milieux continus (concept radicalement différent du point matériel), nous

aurons cependant deux approches différentes:

1. Méthode de Lagrange: nous cherchons à caractériser le mouvement du milieu décrit par une

formulation Lagrangienne consistant donc à le caractériser en se donnant un système

d'équations au sens newtonien. Par dérivations, nous avons alors la vitesse et l'accélération du

milieu.

2. Méthode d'Euler: Au lieu de suivre le parcours d'un point, nous portons notre attention sur

l'évolution des caractéristiques physiques en un point donné comme la vitesse, l'accélération la

température, la pression ou autre. Nous parlons alors fréquemment de "système Eulérien".

PRINCIPE VARIATIONNEL

Le "principe variationnel" n'est donc que la forme mathématique contemporaine du principe de

moindre action qui est, comme nous en avons déjà fait mention, à la base du formalisme

lagrangien.

Rappelons que selon l'énoncé du principe variationnel nous devons trouver dans tout

phénomène physique, une certaine quantité qui est naturellement optimisée (minimisée ou

maximisée) et qui décrit toutes les variables du système étudié et ainsi son issue.

Voici la démarche que nous allons suivre, une fois cette démarche présentée, nous nous

attaquerons à sa formalisation mathématique.

Les propositions sont les suivantes:

P1. Nous supposons donc le principe variationnel et le principe de conservation de l'énergie

comme justes.

P2. L'énergie totale d'un système fermé est constante et constituée de la sommation de

l'énergie cinétique et l'énergie potentielle.

Si nous ne considérons que l'énergie cinétique, alors le système est dit "système libre", si les

deux énergies sont considérées, nous disons alors que le système est un "système généralisé".

P3. Nous définissons une fonction mathématique (dont les variables sont les coordonnées

généralisées) appelée "Lagrangien" qui est donnée par la différence entre les deux énergies

précitées.

P4. Sur l'évolution d'un système entre deux états, nous cherchons les propriétés de la fonction

(du langrangien) qui donne la minimisation de la variation de la différence des deux énergies

sur l'évolution temporelle ou métrique du système.

Enfin, une fois cette propriété déterminée (mise sous la forme que nous appelons "équation

d'Euler-Lagrange") nous chercherons toutes les autres propriétés possibles afin d'avoir les

outils nécessaires pour la physique théorique et vous allez voir cela marche terriblement bien...

Donc, pour mettre cela sous forme mathématique, nous commençons par poser qu'il existe une

fonction réelle de 2n variables:

(29.6)

que nous appellerons "Lagrangien généralisé" du système, dont l'intégrale satisfait à l'énoncé

suivant :

Dans un mouvement naturel partant d'un point à l'instant , arrivant au

point à l'instant , l'intégrale suivante appelée "intégrale d'action" ou

simplement "action":

(29.7)

qui peut aussi être notée dans une écriture plus abrégée :

(29.8)

doit être un extrémum (en fait, "un minimum" ou "un maximum", puisque nous aurions pu tout

aussi bien prendre -L au lieu de +L dans le choix de la définition du Lagrangien généralisé).

L'action S est ce que nous appelons communément en physique une "fonctionnelle" et a les

unités de l'énergie multiplié par le temps puisque L est une énergie.

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