Notes sur le gaz - 1° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le gaz - 1° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur le gaz - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les types de gaz, le théorème du Viriel.
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GAZ

Les solides ont une forme bien définie et sont difficiles à comprimer. Les liquides peuvent

s'écouler librement et leur écoulement est limité par des surfaces autoformées. Les gaz se

dilatent librement pour occuper le volume du récipient qui les contient, et ont une densité

environ mille fois inférieure à celle des liquides et des solides. Ils conduisent peu la chaleur et

l'électricité, sauf si nous les ionisons (formation d'un plasma). Les molécules d'un gaz neutre se

déplacent suivant des trajectoires rectilignes qui changent de direction à chaque collision avec

une autre molécule. Contrairement aux solides et aux liquides, les interactions entre molécules

restent faibles. Les propriétés macroscopiques d'un gaz se déduisent donc directement des

propriétés des molécules qui le composent (ou des atomes dans le cas d'un gaz

monoatomique).

TYPES DE GAZ

En théorie des gaz (nous parlons souvent de "théorie cinétique des gaz") nous considérons

toujours deux types de gaz neutres:

GAZ PARFAIT

Il s'agit d'un modèle dans lequel nous négligeons les interactions moléculaires du gaz, à

l'exception des collisions, et dont le volume propre est négligeable devant le volume du

récipient.

Lorsqu'un gaz est à faible pression, les interactions entre ses molécules sont faibles. Ainsi, les

propriétés d'un gaz réel à basse pression se rapprochent de celles d'un gaz parfait. Nous

pouvons alors décrire le comportement du gaz par "l'équation d'état des gaz parfaits" que nous

démontrons plus bas lors de notre étude du théorème du Viriel:

(34.1)

avec n le nombre de moles de gaz, P la pression du gaz, V le volume occupé par les n moles

et T la température absolue du gaz. La constante R étant la constante des gaz parfaits.

Cette équation montre que trivialement:

- A température T constante (système "isotherme"), le volume d'une quantité fixée de gaz est

inversement proportionnel à sa pression. C'est la "loi de Boyle-Mariotte":

(34.2)

- A pression P constante (système "isobare"), le volume d'une quantité fixée de gaz est

proportionnel à la température absolue. C'est la "loi de Gay-Lussac" (dans le cas des gaz

parfaits...):

(34.3)

C'est cette relation qui est souvent utilisée dans les labos des petites classes pour montrer

qu'avec une extrapolation de la droite mesurée, le volume devient théoriquement....nul à une

température de -273.15 [°C]. Non sérieusement à partir d'une certaine température il faut

utiliser des modèles quantiques et de plus cette relation n'est valable vraiment que pour les gaz

(ainsi, lorsque la vapeur d'eau devient liquide... ce n'est plus valable).

- A volume V constant (système "isochore"), la pression d'une quantité fixée de gaz est

proportionnelle à sa température absolue. C'est la "loi de Charles":

(34.4)

Par la suite, Amedeo Avogadro, à qui l'on doit le vocabulaire de "molécule" affirme le concept

moléculaire des gaz et conclut que des volumes à égaux de gaz différents, pris dans les mêmes

conditions de température et de pression, contienne le même nombre de molécules.

GAZ RÉEL

L'équation d'état des gaz parfaits est approximative. Par exemple, un gaz parfait ne pourrait ni

se liquéfier ni se solidifier, quels que soient le refroidissement et la compression auxquels il est

soumis. Les gaz réels, surtout dans des conditions de pression et de température proches de la

transition à l'état liquide, peuvent présenter des écarts considérables avec la loi des gaz

parfaits!

Il faut donc l'adapter aux cas réels. L'équation d'état de Van der Waals est particulièrement utile

et bien connue peut être obtenu de manière qualitative une fois l'équation des gaz parfaits

démontrée et est alors donnée par (voir plus bas comment nous l'obtenons):

(34.5)

pour une mole, a et b étant des paramètres adaptables déterminés par des mesures

expérimentales effectuées sur le gaz concerné. Ce sont des paramètres qui varient d'un gaz à

un autre.

L'équation de Van der Waals peut également être interprétée au niveau microscopique. Les

molécules interagissent les unes avec les autres. Cette interaction est fortement répulsive pour

les molécules proches les unes des autres, devient légèrement attractive pour un éloignement

moyen et disparaît lorsque l'éloignement est important. À pression élevée, la loi des gaz

parfaits doit être rectifiée pour prendre en compte les forces attractives ou répulsives.

THÉORÈME DU VIRIEL

Nus allons ici aborder une étude des gaz parfaits via une méthode particulière. Elle permet

d'obtenir un résultat intéressant et particulièrement pour l'astrophysique (cf. chapitre

d'Astrophysique). Le théorème du Viriel permet également d'obtenir d'autres résultats très

intéressants mais qui pédagogiquement sont un peu difficiles d'accès. Le lecteur qui serait

intéressé à cette deuxième partie de résultats pourra directement se reporter un peu plus loin

où les concepts de pression et de température cinétique sont traités.

Par définition, "l'expression du Viriel" d'un point matériel est le scalaire:

(34.6)

Par définition, le "Viriel" d'un système composé de N points matériels est:

(34.7)

Soumis à une force centrale, le Viriel s'écrit (par les propriétés du produit scalaire):

(34.8)

Le "théorème du Viriel" s'énonce ainsi : Pour un système en équilibre (!), l'énergie interne est

égale à l'opposé de son demi-Viriel total lorsque toutes les particules sont repérées par rapport

à son centre de masse.

Démonstration:

Soit la relation mathématique:

(34.9)

Sa dérivée seconde:

(34.10)

En multipliant par et en sommant sur i :

(34.11)

Or:

(34.12)

et:

(34.13)

Donc:

(34.14)

Cette dernière expression est valable quelle que soit la position d'un système de coordonnées

adopté. Cependant, il est intéressant de placer son origine au centre de masse du système car

nous ne sommes plus dépendants de son mouvement.

Si le système est en équilibre, les quantités macroscopiques qui la caractérisent ne sont pas

dépendantes du temps. Nous en concluons alors que la somme de n'importe quelle quantité

attachée à n'importe quel point matériel du système est en fait une quantité dudit système.

Ainsi, est une quantité macroscopique indépendante du temps. Cela implique que:

(34.15)

Ce qui s'écrit encore (nous multiplions par ½ des deux côtés):

(34.16)

Nous avons donc finalement:

(34.17)

Cette expression de l'énergie cinétique est connue sous le nom de "théorème de Viriel"et le

membre de droite est donc appelé le "Viriel du système".

C.Q.F.D.

Nous noterons que:

(34.18)

où est l'énergie cinétique totale associée à l'ensemble des points matériels du système.

Nous l'appelons "l'énergie interne du système" et les thermodynamiciens la note souvent avec la

lettre U. est l'énergie d'un point matériel quelconque du système.

Il est possible de retrouver l'expression du Viriel à partir d'un système de particules (nuage en

accrétion). Strictement, l'équilibre n'existe pas dans un tel cas. Néanmoins, nous pouvons

admettre que si la contraction gravitationnelle est suffisamment lente alors ses différentes

phases peuvent êtres considérées comme une succession d'états d'équilibre.

Dans le cas d'une force centrale et dérivant d'un potentiel, nous pouvons écrire:

(34.19)

et donc :

(34.20)

Si l'énergie potentielle est de la forme k/r (ce qui est le cas pour le potentiel électrique et

gravitationnel) alors il vient:

(34.21)

et il reste:

(34.22)

En résumé, le théorème du Viriel nous donne une relation entre les énergies cinétique et

potentielle totales. Pour être valable, le mobile doit décrire une trajectoire autour du centre de

force central et rester indéfiniment dans un volume fini (état lié). Ce type de raisonnement est

applicable à un très grand nombre de phénomène, depuis la structure de certaines galaxies

jusqu'au dégagement d'énergie dans les explosions nucléaires en passant par l'étude du Soleil

et le comportement des gaz réels. Il s'agit du premier résultat qui nous intéressait.

Dans un système gazeux, l'énergie potentielle peut s'écrire comme la somme de l'énergie des

forces agissant de l'extérieur plus celle qui sont interne même au gaz. Tel que:

(34.23)

Or les forces internes peuvent s'écrire comme:

(34.24)

Il ne faut pas dans cette somme prendre la force qu'exerce chacune des particules sur elle-

même. Tel que:

(34.25)

Ce qui nous donne:

(34.26)

Dans la double somme, nous pouvons regrouper les termes deux à deux et utiliser le principe

d'action-réaction tel que:

(34.27)

Pour obtenir:

(34.28)

Ce qui finalement nous donne:

(34.29)

Et:

(34.30)

Le premier terme de droite fait intervenir les forces intérieures (interactions) entre les (paires

de) particules et le deuxième terme de droite fait intervenir les forces extérieures.

Considérons maintenant un gaz contenu dans un récipient. Ses molécules ne sont sujettes à

des forces extérieures que lorsqu'elles heurtent une paroi et nous imaginons qu'en moyenne

cette force est perpendiculaire à la paroi (chocs élastiques).

(34.31)

Pour toutes les faces contenues dans les plans définis par les axes, nous avons toujours:

(34.32)

Puisque en moyenne est toujours perpendiculaire à .

Pour les autres faces (BCFE par exemple) nous avons et donc:

(34.33)

où nous appelons a la coordonnée selon Oy de l'extrémité de (ne pas confondre avec

l'accélération!). Dès lors pour chaque face:

(34.34)

Effectivement car la pression interne du système sur les parois étant définie par:

(34.35)

Par le théorème du Viriel, en ajoutant les contributions non nulles des

faces BCFE, DEFG et ABED, il vient:

(34.36)

Si l'énergie cinétique moyenne d'une molécule est:

(34.37)

L'énergie cinétique moyenne totale pour N molécules est alors (nous reviendrons sur cette

relation plus loin mais avec une autre approche) :

(34.38)

ce que les thermodynamiciens notent souvent:

(34.39)

où U est donc l'énergie interne du gaz et ddl le nombre de degrés de liberté des contituants.

La relation antéprécédente, appelée "théorème d'équipartition de l'énergie", est importante car

elle permet:

1. Une interprétation microscopique de température T et de déterminer l'énergie interne d'un

gaz parfait monoatomique (et par extension d'autres gaz avec des degrés de libertés autres).

2. De constater que le système de température en Celsius n'est pas adapté à la réalité physique.

Effectivement, dans le système utilisant les Celsius, à 0 °C tout devrait être immobile (énergie

cinétique nulle) or il est évident que ce n'est pas le cas pour toutes les substances. Donc il faut

introduire une nouvelle température qui met en adéquation l'énergie cinétique mesurée et la

température traditionnelle. Il s'agira de la "température absolue" mesurée en Kevlin [K] dont

l'équivalence énergie cinétique/température mesurée est elle que le 0 °C correspond à 273.15

[K].

L'énergie interne est une contribution à l'énergie qui n'apparaît pas en mécanique classique. Du

point de vue macroscopique, un récipient immobile qui contient un fluide ne possède pas

d'énergie cinétique, alors que son énergie potentielle est constante. Nous pouvons l'ignorer en

donnant la valeur zéro à cette constante.

Du point de vue microscopique, les choses changent cependant! Effectivement, les atomes ou

molécules du fluide sont en mouvement et interagissent. Il faut leur associer une énergie

(l'énergie interne) qui est la somme des contributions relatives à chaque atome.

Dès lors:

(34.40)

C'est "l'équation générale d'état d'un gaz réel", c'est-à-dire l'équation d'état qui tient compte

des interactions entre molécules. Il est intéressant de remarquer que finalement cette relation

peut nous permette de calculer l'énergie du gaz même s'il n'y pas de parois!

Si le gaz est parfait, il n'y a pas d'interactions entre les N molécules (par hypothèse) et alors

nous avons "l'équation des gaz parfaits" suivante:

(34.41)

Que nous retrouvons beaucoup plus fréquemment sous la forme:

(34.42)

si n est exprimé en moles avec R la constante des gaz parfaits.

Si la température est constante, nous retrouvons la "loi de Boyle-Mariotte":

(34.43)

Pour arriver à l'équation des gaz parfaits, il est utile de rappeler que nous avons fait trois

hypothèses :

H1. Les molécules sont assimilées à des sphères dures dont le diamètre est négligeable devant

la distance moyenne qui les sépare. C'est que ce que nous appelons "l'hypothèse structurale".

H2. A la limite, et c'est ce que nous avons retenu, si nous considérons les molécules comme

ponctuelles, la possibilité d'interaction entre les particules s'annule. Les seules interactions qui

subsistent seront les chocs sur les parois du récipient qui contient le gaz. Ces chocs sont

parfaitement élastiques de sorte que nous puissions appliquer les lois de conservation de la

quantité de mouvement de l'énergie cinétique. C'est ce que nous appelons "l'hypothèse

interactive limite"

H3. Le gaz est étudié dans un état d'équilibre thermodynamique ce qui se traduit par

l'homogénéité des variables intensives et extensives. C'est que ce que nous appelons

"l'hypothèse du chaos moléculaire".

Dans un cas particulier, si les interactions dérivent d'un potentiel central:

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