Notes sur le gaz - 2° partie, Notes de Physique

Télécharge Notes sur le gaz - 2° partie et plus Notes au format PDF de Physique sur Docsity uniquement! (34.44) Il vient ainsi: (34.45) Si en outre l'énergie potentielle est du type (attention de ne pas confondre le caractères k avec la constante de Boltzmann notée de la même manière!) : (34.46) nous avons: (34.47) et dès lors: (34.48) où est l'énergie totale moyenne du système. Au fait, il faut bien prendre garde au fait que nous n'avons pas rigoureusement démontré l'équation des gaz parfaits. Effectivement, lorsque nous avions posé plus haut: (34.49) Cela supposait implicitement que l'équation des gaz parfaits était déjà connue (…). Cette approche de la cinétique des gaz est intéressant car utile en astrophysique. Cependant, ce n'est de loi pas la plus simple dans un cadre scolaire et pédagogiquement. Nous nous proposerons de revenir sur ces mêmes résultats via les concepts de pression et de température cinétique une fois l'équation de Van der Waals déterminée. En 1875, le savant hollandais J.D. Van der Waals (1837-1923) essaya donc de remplacer l'équation des gaz parfaits par une relation qui tiendrait compte des forces intermoléculaires et de la taille des molécules. La première correction, et la plus évidente, à l'équation des gaz parfaits: (34.50) est de soustraire le volume des molécules de gaz du volume V. Nous pouvons le faire logiquement en remplaçantV par V-Nb où b est une constante très faible représentant bien évidemment le volume moyen par molécule (il existe des tables pour cela). Donc: (34.51) où le terme est communément appelé le "covolume". Pour tenir compte des forces intermoléculaires que nous avons négligées précédemment, nous pouvons tenter une approche approximative en sachant déjà que la force d'attraction de chaque molécule se fera sur N-1 molécules. Par conséquent, le numérateur de la force d'attraction contiendra (par la somme des tous les termes) trivialement si le gaz est isotrope et homogène un terme du type N(N-1) pour l'influence de toutes les molécules entre elles ce qui si N est très grand peut être approximé par . Nous savons également qu'au numérateur il y aura un terme de masse pour chaque particule. Si nous connaissonsN/V alors il ne reste plus qu'à connaître la densité massique du gaz (mais ce n'est pas une variable extensive donc nous éviterons de la faire apparaître explicitement). Ainsi, le terme peut s'écrire directement En suivant ce raisonnement, Van der Waals ajouta au terme de droite de l'équation ci-dessus un terme négatif proportionnel à la quantité . La présence de ce terme se traduit par un abaissement de la pression au fur et à mesure que croit la densité du gaz. La relation modifiée est ainsi: (34.52) où a est une constante de proportionnalité. Nous pouvons réécrire cette relation sous la forme: (34.53) qui est appelée "équation de Van der Waals". Elle est une excellente description de l'équation d'état dans un large domaine des variables P,V,T, les valeurs a et b étant caractéristiques de chaque gaz. Les constantes a et b sont déterminées expérimentalement comme nous en avons déjà fait mention. L'équation de Van der Waals peut être mise sous forme d'un développement du type Viriel en utilisant un développement de Taylor (MacLaurin) : En appliquant le principe fondamental de la dynamique, nous pouvons passer à la force subie par la paroi pendant la percussion de ces molécules : (34.63) donc : (34.64) Or par définition de la pression et en prenant le module : (34.65) nous avons alors la "pression cinétique" donnée par : (34.66) La pression cinétique est donc la traduction de la fréquence des chocs sur la paroi. Plus les molécules sont nombreuses (terme en ) et rapides (terme en v), plus le nombre de chocs augmentent. Cela est conforme à l'expérience et à l'intuition. TEMPÉRATURE CINÉTIQUE En remplaçant par le quotient N/V, l'équation précédente peut se mettre sous la forme : (34.67) Si nous l'identifions avec l'équation d'état des gaz parfaits vue plus haut : (34.68) il vient : (34.69) Or la quantité de matière n est égale au rapport du nombre de particules sur le nombre d'Avogadro : (34.70) ce qui permet de définir la "température cinétique" par : (34.71) Nous pouvons alors introduire une constante qui nous est déjà connue appelée par Max Planck "constante de Boltzmann" et telle que : (34.72) Remarque: Nous avions déjà fait mention de cette relation lors de notre présentation des constantes universelles dans le chapitre traitant des Principes de la mécanique. L'expression de température cinétique prend alors la forme : (34.73) Cette relation montre que la température cinétique est le reflet de l'énergie cinétique des particules. D'une façon imagée, c'est l'image de la violence des chocs. Ainsi, l'énergie d'un gaz parfait se réduit à la somme des énergies cinétique des particules qui le constitue : (34.74) Les atomes d'un gaz parfait monoatomique sont assimilables à des points matériels. Leur énergie cinétique est une énergie cinétique de translation dont la valeur moyenne, par atome, s'écrit : (34.75) Dans l'espace des vitesses, toutes les directions sont équivalentes : il y a isotropie de la distribution des vitesses. En coordonnées cartésiennes, il vient : (34.76) et par suite de l'isotropie : (34.77) d'où : (34.78) ainsi, l'énergie cinétique moyenne par degré de liberté de translation est égale à : (34.79) Le lecteur remarquera bien évidemment que nous obtenons ici les mêmes résultats et conclusions que lors de notre étude du théorème du Viriel à la différence que l'approche est ici plus simple et donc plus didactique. LIBRE PARCOURS MOYEN Nous allons voir maintenant un cas d'études très intéressant des gaz qui permet de mettre au clair beaucoup d'incompréhensions dans la vie de tous les jours (fumée dans les restaurants, chaleurs près d'un radiateur, ...). Cependant les phénomènes sont en réalité plus complexes il faut aussi prendre en compte la diffusion, la convection, etc. Considérons une molécule, qui se déplace à la vitesse moyenne . Sa sphère d'influence balaie alors, pendant l'unité de temps de son déplacement, un volume: (34.80) Si l'unité de volume renferme n molécules, le nombre de chocs pendant l'unité de temps sera alors de: (34.81) si les autres molécules étaient immobiles... Donc pour tenir compte du mouvement des autres molécules, considérons les schémas ci-dessous avec trois scénarios simplistes: (34.82) De gauche à droite nous avons: