Notes sur le gaz - 2° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le gaz - 2° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur le gaz - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la pression cinétique, la température cinétique, le libre parcours moyen.
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(34.44)

Il vient ainsi:

(34.45)

Si en outre l'énergie potentielle est du type (attention de ne pas confondre le caractères k avec

la constante de Boltzmann notée de la même manière!) :

(34.46)

nous avons:

(34.47)

et dès lors:

(34.48)

où est l'énergie totale moyenne du système.

Au fait, il faut bien prendre garde au fait que nous n'avons pas rigoureusement démontré

l'équation des gaz parfaits. Effectivement, lorsque nous avions posé plus haut:

(34.49)

Cela supposait implicitement que l'équation des gaz parfaits était déjà connue (…).

Cette approche de la cinétique des gaz est intéressant car utile en astrophysique. Cependant, ce

n'est de loi pas la plus simple dans un cadre scolaire et pédagogiquement. Nous nous

proposerons de revenir sur ces mêmes résultats via les concepts de pression et de température

cinétique une fois l'équation de Van der Waals déterminée.

En 1875, le savant hollandais J.D. Van der Waals (1837-1923) essaya donc de remplacer

l'équation des gaz parfaits par une relation qui tiendrait compte des forces intermoléculaires et

de la taille des molécules. La première correction, et la plus évidente, à l'équation des gaz

parfaits:

(34.50)

est de soustraire le volume des molécules de gaz du volume V. Nous pouvons le faire

logiquement en remplaçantV par V-Nb où b est une constante très faible représentant bien

évidemment le volume moyen par molécule (il existe des tables pour cela). Donc:

(34.51)

où le terme est communément appelé le "covolume".

Pour tenir compte des forces intermoléculaires que nous avons négligées précédemment, nous

pouvons tenter une approche approximative en sachant déjà que la force d'attraction de chaque

molécule se fera sur N-1 molécules. Par conséquent, le numérateur de la force d'attraction

contiendra (par la somme des tous les termes) trivialement si le gaz est isotrope et homogène

un terme du type N(N-1) pour l'influence de toutes les molécules entre elles ce qui si N est très

grand peut être approximé par .

Nous savons également qu'au numérateur il y aura un terme de masse pour chaque particule. Si

nous connaissonsN/V alors il ne reste plus qu'à connaître la densité massique du gaz (mais ce

n'est pas une variable extensive donc nous éviterons de la faire apparaître explicitement). Ainsi,

le terme peut s'écrire directement

En suivant ce raisonnement, Van der Waals ajouta au terme de droite de l'équation ci-dessus un

terme négatif proportionnel à la quantité . La présence de ce terme se traduit par un

abaissement de la pression au fur et à mesure que croit la densité du gaz. La relation modifiée

est ainsi:

(34.52)

où a est une constante de proportionnalité. Nous pouvons réécrire cette relation sous la forme:

(34.53)

qui est appelée "équation de Van der Waals". Elle est une excellente description de l'équation

d'état dans un large domaine des variables P,V,T, les valeurs a et b étant caractéristiques de

chaque gaz. Les constantes a et b sont déterminées expérimentalement comme nous en avons

déjà fait mention.

L'équation de Van der Waals peut être mise sous forme d'un développement du type Viriel en

utilisant un développement de Taylor (MacLaurin) :

(34.5

4)

ou en réorganisant les termes:

(34.55)

Remarquons qu'il existe une température pour laquelle est nulle. Nous l'appelons

"température de Boyle" du gaz: c'est la température à laquelle le gaz réel ressemble à un gaz

parfait. Il est très délicat d'obtenir ces paramètres expérimentalement.

PRESSION CINÉTIQUE

Recherchons le nombre de molécules d'un gaz parfait toutes supposées animées d'une vitesse

égale v qui viennent frapper une surface S pendant une durée dt.

Si le gaz étudié est dans un état d'équilibre thermodynamique, cela se traduira par

l'homogénéité des variables intensives (hypothèse du chaos moléculaire).

Il s'ensuit que la densité des particules est constante :

(34.56)

Si nous admettons que les molécules sont en mouvement, nous supposerons qu'il y a isotropie

des vitesses. En d'autres termes, puisque les vitesses peuvent vectoriellement être décrites dans

un système de 3 axes orthogonaux (trois dimensions spatiales), il y a 6 directions possibles

primaires au total (2 directions par axe : en avant, en arrière...).

Cela se traduit par l'équivalence entre les différentes directions. Il y a :

(34.57)

particules ayant une vitesse v selon l'une des directions primaire.

Donc pendant une durée dt, la surface S de la paroi est percutée par une partie des molécules

contenues dans le volume . En effet, seul 1/6 des molécules contenues dans ce volume

se dirigent effectivement vers la surface S.

(34.58)

Le nombre de molécules qui viennent heurter la paroi pendant la durée dt est donc :

(34.59)

Étudions maintenant la dynamique du choc d'une particule sur la paroi :

La particule de masse m qui arrive sur la paroi avec la vitesse repart avec une vitesse si

le choc est parfaitement élastique.

La variation de la quantité de mouvement de la particule est donc :

(34.60)

En vertu de la conservation de la quantité de mouvement, cette quantité de mouvement est

transférée à la paroi : la variation de la quantité de mouvement subie par la paroi est l'opposé

de celle de la particule :

(34.61)

La variation totale de la quantité de mouvement de toutes les particules qui viennent frapper la

paroi pendant la durée dt vaut alors en module :

(34.62)

En appliquant le principe fondamental de la dynamique, nous pouvons passer à la force subie

par la paroi pendant la percussion de ces molécules :

(34.63)

donc :

(34.64)

Or par définition de la pression et en prenant le module :

(34.65)

nous avons alors la "pression cinétique" donnée par :

(34.66)

La pression cinétique est donc la traduction de la fréquence des chocs sur la paroi. Plus les

molécules sont nombreuses (terme en ) et rapides (terme en v), plus le nombre de chocs

augmentent. Cela est conforme à l'expérience et à l'intuition.

TEMPÉRATURE CINÉTIQUE

En remplaçant par le quotient N/V, l'équation précédente peut se mettre sous la forme :

(34.67)

Si nous l'identifions avec l'équation d'état des gaz parfaits vue plus haut :

(34.68)

il vient :

(34.69)

Or la quantité de matière n est égale au rapport du nombre de particules sur le nombre

d'Avogadro :

(34.70)

ce qui permet de définir la "température cinétique" par :

(34.71)

Nous pouvons alors introduire une constante qui nous est déjà connue appelée par Max Planck

"constante de Boltzmann" et telle que :

(34.72)

Remarque: Nous avions déjà fait mention de cette relation lors de notre présentation des

constantes universelles dans le chapitre traitant des Principes de la mécanique.

L'expression de température cinétique prend alors la forme :

(34.73)

Cette relation montre que la température cinétique est le reflet de l'énergie cinétique des

particules. D'une façon imagée, c'est l'image de la violence des chocs.

Ainsi, l'énergie d'un gaz parfait se réduit à la somme des énergies cinétique des particules qui

le constitue :

(34.74)

Les atomes d'un gaz parfait monoatomique sont assimilables à des points matériels. Leur

énergie cinétique est une énergie cinétique de translation dont la valeur moyenne, par atome,

s'écrit :

(34.75)

Dans l'espace des vitesses, toutes les directions sont équivalentes : il y a isotropie de la

distribution des vitesses. En coordonnées cartésiennes, il vient :

(34.76)

et par suite de l'isotropie :

(34.77)

d'où :

(34.78)

ainsi, l'énergie cinétique moyenne par degré de liberté de translation est égale à :

(34.79)

Le lecteur remarquera bien évidemment que nous obtenons ici les mêmes résultats et

conclusions que lors de notre étude du théorème du Viriel à la différence que l'approche est ici

plus simple et donc plus didactique.

LIBRE PARCOURS MOYEN

Nous allons voir maintenant un cas d'études très intéressant des gaz qui permet de mettre au

clair beaucoup d'incompréhensions dans la vie de tous les jours (fumée dans les restaurants,

chaleurs près d'un radiateur, ...). Cependant les phénomènes sont en réalité plus complexes il

faut aussi prendre en compte la diffusion, la convection, etc.

Considérons une molécule, qui se déplace à la vitesse moyenne . Sa sphère

d'influence balaie alors, pendant l'unité de temps de son déplacement, un volume:

(34.80)

Si l'unité de volume renferme n molécules, le nombre de chocs pendant l'unité de temps sera

alors de:

(34.81)

si les autres molécules étaient immobiles... Donc pour tenir compte du mouvement des autres

molécules, considérons les schémas ci-dessous avec trois scénarios simplistes:

(34.82)

De gauche à droite nous avons:

1. La vitesse relative des molécules est

2. La vitesse relative est nulle

3. La vitesse relative vaut (Pythagore)

Les deux premiers cas sont quand même un peu extrêmes... Le troisième sera considéré

comme représentant une moyenne et peut servir de nouvelle base au calcul précédent.

Ainsi, en utilisant la vitesse relative du dernier scénario, le nombre de chocs pendant l'unité de

temps devient :

(34.83)

Ainsi, entre deux chocs, une molécule parcourt une distance moyenne :

(34.84)

C'est donc l'expression du libre parcours moyen en fonction de la densité moléculaire n et du

rayon r de la sphère moléculaire, paramètre intrinsèque du gaz considéré. Compte tenu de la

relation:

(34.85)

Soit:

(34.86)

Une application numérique donne pour l'oxygène aux conditions normales de température et

de pression ce qui signifie que le libre parcours moyen vaut environ 100 fois le

diamètre d'une molécule de taille standard.

En utilisant la relation de la vitesse moyenne la plus probable dans le cadre de l'hypothèse

d'une distribution de Maxwell des vitesses (cf. chapitre de Mécanique Statistique) nous avons:

(34.87)

pour une molécule de masse molaire de 30 [g] à température normale. Ce qui donne un nombre

de collisions:

(34.88)

Cette fréquence élevée de chocs explique, dans les conditions normales de température et de

pression, la rapidité avec laquelle l'équilibre statistique s'établit au sein d'un gaz.

A la température ambiante et pour un vide de , nous obtenons avec les mêmes

valeurs : .

Les dimensions des récipients contenant les gaz étant toujours inférieures à cet ordre de

grandeur, il apparaît que lorsque le vide est réalisé dans une enceinte, les chocs

intermoléculaires sont négligeables vis à vis des chocs molécules-parois.

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