Notes sur le laplaciens d'un champ scalaire - 2° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur le laplaciens d'un champ scalaire - 2° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur le laplaciens d'un champ scalaire - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Les opérateurs différentiels scalaires et vectoriels, quelques propriétés remarquables sans démons...
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Les opérateurs différentiels scalaires et vectoriels ont des identités remarquables très simples que

nous retrouverons très souvent en physique.

Voyons d'abord les relations qui n'ont aucun sens (au cas où vous tomberiez dessus sans faire

exprès...):

ou (12.317)

Le rotationnel d'une divergence n'existe pas puisque l'opérateur rotationnel s'applique à un champ

vectoriel alors que la divergence est un scalaire.

ou (12.318)

Le rotationnel d'un laplacien scalaire n'existe pas puisque l'opérateur rotationnel s'applique à un

champ vectoriel alors que par construction, le laplacien est un scalaire.

Voyons maintenant quelques propriétés remarquables sans démonstrations (cependant si vous en

avez besoin car vous n'y arrivez pas seul, n'hésitez pas à nous contacter, nous compléterons):

I1. Par construction le laplacien scalaire est la divergence du gradient du champ :

(12.319)

I2. Le rotationnel du gradient est nul:

(12.320)

Donc si le rotationnel d'une variable vectorielle est nul, la variable peut être exprimée comme le

gradient d'un potentiel scalaire! C'est une propriété très important en éléctromagnétisme et

mécanique des fluides!

Démonstration:

(12.321)

C.Q.F.D.

I3. La divergence du rotationnel d'un champ vectoriel est toujours nulle :

ou (12.322)

Démonstration:

(12.323)

C.Q.F.D.

I4. Le rotationnel du rotationnel d'un champ vectoriel est égal au gradient de la divergence de ce

champ moins son laplacien vectoriel :

ou (12.324)

Démonstration:

(12.325)

Il est ensuite facile de vérifier que cette dernière égalité est égale à :

(12.326)

C.Q.F.D.

I5. La multiplication de l'opérateur nabla par le produit scalaire de deux vecteurs est égale à... (voir

ci-dessous), qui donne une relation très utile en mécanique des fluides :

(12.327)

I6. Le produit scalaire du rotationnel d'un vecteur est la différence des opérateurs commutés tel

que :

(12.328)

Nous réutiliserons cette dernière relation lors de notre étude en électromagnétisme de la pression

de radiation (entre autres).

RÉSUMÉ

Dans le cadre de ce site Internet, nous faisons usage des différentes notations présentées et

résumées dans le tableau ci-dessous. Leur usage permet dans le cadre de différentes théories

d'éviter des confusions avec d'autres êtres mathématiques. C'est embêtant certes mais il faudra

faire avec.

ÊTRE MATHEMATIQUE NOTATIONS

Gradient d'un champ scalaire

Gradient d'un champ vectoriel

Divergence d'un champ de vecteurs

Rotationnel d'un champ de vecteurs rot( )

Laplacien d'un champ scalaire

Laplacien d'un champ vectoriel

Tableau: 12.1 - Résumé des opérateur différentiels vectoriels

Et pour les pragmatiques voici un résumé des explications des opérateurs les plus importants en

physique :

- Le gradient signifie "la pente" (exemple : le champ électrique est la pente du potentiel

électrostatique).

Les différentes expressions du gradient (mises sous la forme de l'opérateur nabla) en coordonnées

cartésiennes, polaires, cylindriques et sphériques sont les suivantes :

(12.329)

(12.330)

(12.331)

(12.332)

- La divergence caractérise un flux de quelque chose qui vient de quelque part, d'une source, ou

qui y va. Si la divergence n'est pas nulle, c'est qu'il y a concentration autour d'un point, donc la

densité augmente (ou diminue, c'est selon le signe). Ca peut être la densité de charges électriques

ou bien la masse volumique. D'où le fameux théorème qui dit que le flux (ce qui passe dans une

surface) est égal à l'intégrale de la divergence (ce qui reste).

Les différentes expressions de la divergence (mises sous la forme de l'opérateur nabla) en

coordonnées cartésiennes, polaires, cylindriques et sphériques sont les suivantes :

(12.333)

(12.334)

(12.335)

(12.336)

- Le rotationnel caractérise l'existence d'un tourbillon (très utilisé en mécanique des fluides). S'il y

a un tourbillon, on peut suivre une ligne de courant sur une courbe fermée sans qu'elle change de

sens : la circulation ne sera pas nulle (elle vaut l'intégrale du rotationnel).

Les différentes expressions du rotationnel en coordonnées cartésiennes, cylindriques et

sphériques sont les suivantes :

- Le laplacien d'un champ scalaire est le champ scalaire qui mesure la différence entre la valeur de

la fonction en un point et sa moyenne autour de ce point. En d'autres termes, la dérivée partielle

deuxième mesure les variations de la pente au point étudiée dans un entourage immédiat et selon

une dimension à la fois. Si la dérivée partielle deuxième est nulle selon une direction, alors la

pente est constante dans un entourage immédiat et selon cette dimension, cela implique que la

valeur de la fonction au point étudié est la moyenne de son entourage (selon une dimension).

Les différentes expressions du laplacien (mises sous la forme de l'opérateur nabla) en

coordonnées cartésiennes, polaires et sphériques sont les suivantes :

(12.337)

(12.338)

(12.339)

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