Notes sur le magnétostatique - 1° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le magnétostatique - 1° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur le magnétostatique - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la notion de magnétite, le champ magnétique, le Théorème d'Ampère, les électro-aimant, la force d'un aimant ou electr...
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Les aimants sont connus depuis l'Antiquité (sans pour autant qu'on savait qu'elle était l'origine

de leurs propriétés) sous le nom de "magnétite", pierre trouvée à proximité de la ville de

Magnesia (Turquie). C'est de cette pierre par ailleurs que provient le nom actuel de champ

magnétique. Les chinois furent les premiers à utiliser les propriétés des aimants différentes de

celles des particules chargées, il y a plus de 1'000 ans, pour faire des boussoles. Elles étaient

constituées d'une aiguille de magnétite posée sur de la paille flottant sur de l'eau contenue

dans un récipient gradué.

Au même titre que le champ électrique, une bonne/meilleure compréhension de l'origine de ce

champ ne peut se faire que par l'intermédiaire de théories modernes comme la physique

quantique ondulatoire ou la physique quantique des champs. Le lecteur débutant devra donc

prendre son mal en patience avant d'avoir les connaissances nécessaires pour étudier ces

théories.

L'étude quantitative des interactions entre aimants et courants fut faite par les physiciens Biot

et Savart seulement en à partir de 1820. Ils mesurèrent l'amplitude des oscillations d'une

aiguille aimantée en fonction de sa distance à un courant rectiligne. Ils trouvèrent que la force

agissant sur un pôle est dirigée perpendiculairement à la direction reliant ce pôle au conducteur

et qu'elle varie en raison inverse de la distance. C'est le premier cas que nous allons étudier:

Soit un déplacement de charges électriques produisant dans l'espace un champ vectoriel dont

les effets sont mesurable et dont les propriétés diffèrent de celles du champ électrostatique.

Nous en déduisons l'existence d'un nouveau champ vectoriel que nous appelons

(temporairement) "champ magnétique" et que nous noterons .

Le cas d'étude le plus simple consiste en un fil rectiligne indéfini (exemple que nous pouvons

aussi assimiler à un simple déplacement de charges sans nécessairement avoir un fil comme

support) parcouru par un courant I (cf. chapitre d'Électrocinétique) montre que les lignes de

champ magnétique sont des cercles ayant le fil pour axe.

(36.1)

Remarque: Le sens de se définit habituellement par l'intermédiaire de "l'observateur

d'Ampère", c'est-à-dire un observateur qui serait placé le long du fil, de façon que le courant aille

de ses pieds vers sa tête et qui regarderait le point M où nous évaluons le champ ma. est dirigé

de la droite vers la gauche de cet observateur.

Il a été expérimentalement établi que la valeur de à la distance r du fil est proportionnelle au

courant I qui le parcourt inversement proportionnel à r :

(36.2)

Ce résultat a été obtenu expérimentalement par les physiciens Biot et Savart et constitue

traditionnellement la base de l'étude théorique du champ magnétique.

Le coefficient de proportionnalité k dépend comme toujours des unités choisies. Pour

l'ensemble de ces conséquences, il est avantageux d'écrire l'expression précédente sous une

forme qui fasse apparaître la longueur du cercle de rayon r. Nous posons donc :

(36.3)

et obtenons ainsi la valeur du champ magnétique à une distance r d'une fil conducteur parcouru

par un courant constant:

(36.4)

où est une nouvelle constante que nous appelons "susceptibilité magnétique" (à nouveau au

même titre que la permittivité électrique il existe une "susceptibilité relative")

Théorème d'Ampère

Il est intéressant de calculer la "circulation du champ magnétique" de le long d'un

contour qui tourne une fois dans le sens positif autour du fil orienté dans le sens du courant

(observateur d'Ampère) :

(36.5)

Remarque: Le long du contour, le champ est colinéaire au contour comme nous l'avons vu

précédemment d'où le fait que le produit scalaire puisse s'écrire comme simple produite de

normes.

Nous obtenons ainsi par définition "loi d'Ampère" (ou "théorème d'Ampère") :

(36.6)

L'expression que nous avons obtenue peut encore être simplifiée si nous introduisons un

nouvel être physique appelé "intensité du champ magnétique" ou encore plus

couramment "excitation magnétique" et qui est notée par la lettre: .

Si nous considérons que nous sommes dans le vide où il n'y a aucun dipôle magnétique alors

nous le définissons par :

(36.7)

Dès lors, nous sommes souvent amenées à parler de "induction magnétique" pour et de

"champ magnétique" pour . Mais les deux sont allégrement confondus suivant les auteurs et

surtout les contextes (de même que ce sera le cas dans ce site).

Alors, finalement nous pouvons écrire la loi d'Ampère sous la forme :

(36.8)

L'intérêt de la loi d'Ampère ainsi que du concept de circulation du champ magnétique paraît

(peut paraître) ainsi plus évident.

Cette dernière relation à bien évidemment une grande utilité en physique théorique car elle

nous permettra de déterminer d'autres résultats forts importants. Sinon, au niveau de la

pratique, le physicien de laboratoire ou l'électricien/électrotechnicien sera souvent confronté à

utiliser pour de petites et moyennes expériences des électro-aimants dont il pourrait souhaiter

re-calibrer les valeurs nominales ou encore de solénoïdes.

ÉLECTRO-AIMANT

Déterminons donc par exemple (important et intéressant) le champ magnétique dans l'entrefer

de longueur et de section d'un électro-aimant d'un de longueur et de section .

La loi d'Ampère nous donne :

(36.9)

dans le cas de l'électro-aimant nous pouvons écrire que la circulation du champ est la somme

de la circulation du champ de l'entrefer et de l'aimant lui-même:

(36.10)

où N correspondant au nombre de boucles de courant entourant l'aimant et qui permet la

production du champ magnétique.

Nous avons par définition:

et (36.11)

d'où :

(36.12)

Si l'entrefer n'est pas trop grand et que d'où :

(36.13)

ce qui revient à écrire alors :

(36.14)

d'où :

(36.15)

La relation est la même pour un électro-aimant ayant deux bobines.

FORCE D'UN AIMANT OU ELECTRO-AIMANT

Si nous avons connaissance du champ magnétique B produit par un aimant à sa surface, nous

pouvons calculer avec une certaine approximation la force nécessaire pour le décoller d'une

surface en Fer.

Pour cela, nous noterons F la force nécessaire pour faire décoller l'aimant à une

distance d d'une surface de Fer. Nous supposerons la distance d suffisamment petite pour que

l'on puisse accepter que dans tout le volume situé entre l'aimant et le Fer, le champ magnétique

est constant.

Ainsi, le travail fait par la force F est (cf. chapitre de Mécanique Classique) :

(36.16)

Ce travail s'est transformé en énergie du champ magnétique dans le volume créé entre l'aimant

et le Fer. La densité volumique d'énergie due au champ magnétique dans l'air étant (cf. chapitre

d'Électrodynamique) :

(36.17)

Le volume de l'espace créé entre l'aimant et le Fer étant égal à où S est la surface de

l'aimant qui était collée au Fer. Nous avons alors l'équivalence dimensionnelle suivante :

(36.18)

Nous en déduisons la force de contact pour de petites valeurs de d:

(36.19)

où B est la valeur limite du champ magnétique qui amène notre matériau à se coller à l'aimant

(de façon à ce qu'en soulevant l'aimant, le matériau associée suive)

BOBINE SOLONOÏDALE INFINIE

Une application aussi particulièrement importante en électronique et électrotechnique est celle

du calcul d'une bobine de fil parcourue par un courant que nous considérerons comme constant

dans un premier temps. Il s'agit ni plus ni moins d'une bobine d'induction ou plus

techniquement appelée une "inductance". Voyons de quoi il s'agit:

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